Matura czerwiec 2017 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura czerwiec 2017

Sesja dodatkowa z czerwca 2017 to arkusz, po który sięga mało osób - a niesłusznie. 34 zadania (25 zamkniętych po 1 punkcie i 9 otwartych za 2-5 punktów, razem 50 punktów) stanowią świetny materiał do ćwiczeń, bo prawie nikt ich wcześniej nie widział. Jeśli przerabiasz już trzeci raz te same majowe arkusze, to jest twój moment.

Cechą wyróżniającą tego arkusza jest dominacja planimetrii - aż 7 zadań z geometrii płaskiej! To więcej niż na jakiejkolwiek sesji głównej z tamtego okresu. CKE w sesji dodatkowej wyraźnie postawiła na figury płaskie, twierdzenie Pitagorasa i pole trójkąta. Do tego mocna reprezentacja geometrii analitycznej (4 zadania, 10 punktów) - sam ten dział to 20% arkusza.

Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów, ale jeśli celujesz w studia techniczne, potrzebujesz co najmniej 35-40.

Porównaj ten arkusz z maturą maj 2017 - sesja główna była bardziej zbalansowana tematycznie. Pełną listę arkuszy znajdziesz w bazie arkuszy CKE 2010-2025.

Rozkład kategorii w arkuszu

Planimetria absolutnie króluje - 7 zadań to rekordowa liczba dla jednego arkusza. Oprócz tego wyróżnia się geometria analityczna z aż 10 punktami (4 zadania, w tym jedno otwarte za 5 pkt). Razem sama geometria odpowiada za 18 z 50 punktów - ponad jedną trzecią arkusza. Jeśli geometria nie jest twoją mocną stroną, ten arkusz brutalnie to obnażi.

Warto porównać ten rozkład z sesją majową 2017. Tam rozkład był bardziej równomierny, z większym udziałem funkcji i ciągów. Sesja dodatkowa postawiła wszystko na geometrię.

Poziom trudności

Łatwe (ok. 17 punktów) - proste potęgi, procenty, odczytywanie wykresów, podstawowa planimetria zamknięta, logarytm. Jeśli robisz błędy w tych zadaniach, zacznij od przewodnika po potęgach i planimetrii na maturze. To fundament, bez którego nie ruszysz dalej.

Średnie (ok. 19 punktów) - ciągi, trygonometria, funkcja kwadratowa, prawdopodobieństwo, stereometria zamknięta, geometria analityczna zamknięta. Tu zdobywasz punkty na 50-70%. Kluczowe tematy to ciągi arytmetyczne i geometryczne, trygonometria i prawdopodobieństwo.

Trudne (ok. 14 punktów) - geometria analityczna za 5 punktów (zad. 33), stereometria za 5 punktów (zad. 34), dowód algebraiczny (zad. 29), nierówność otwarta (zad. 26). To zadania, które oddzielają wynik 70% od 90%+. Nawet niepełne rozwiązanie otwartego zadania daje punkty cząstkowe - sam poprawny rysunek i wyznaczenie jednej wielkości to 1-2 punkty.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 3 - Potęgi (1 pkt) ↗

Treść: Suma $16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}$ jest równa

Rozwiązanie:

Masz cztery identyczne składniki, więc suma to po prostu:

$$4 \cdot 16^{24}$$

Teraz sztuczka - zapisz czwórkę jako potęgę dwójki i szesnastkę też:

$$4 = 2^2, \quad 16 = 2^4$$

Zatem:

$$4 \cdot 16^{24} = 2^2 \cdot (2^4)^{24} = 2^2 \cdot 2^{96} = 2^{98}$$

Możesz to też zapisać inaczej. Skoro $2^{98} = (2^2)^{49} = 4^{49}$, to jest jedna z możliwych odpowiedzi.

Ale jest jeszcze krótsza droga. Zauważ, że $4 = 16^{1/2}$ (bo $\sqrt{16} = 4$), więc:

$$4 \cdot 16^{24} = 16^{1/2} \cdot 16^{24} = 16^{24{,}5}$$

Hmm, $24{,}5$ nie wygląda elegancko w odpowiedziach. Zostańmy przy $2^{98} = 4^{49}$.

Odpowiedź: $4^{49}$

Schemat jest prosty: sumowanie identycznych potęg to mnożenie. $n$ razy ta sama potęga = $n \cdot$ ta potęga. Potem sprowadzasz do wspólnej podstawy. Więcej o tym w przewodniku po potęgach i pierwiastkach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 9 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Treść: Funkcja $f(x) = x^2 + bx + c$ spełnia warunki $f(-1) = f(3) = 1$. Współczynnik $c$ jest równy

Rozwiązanie:

Warunek $f(-1) = f(3)$ mówi ci coś kluczowego - te dwa punkty leżą symetrycznie względem osi paraboli. Oś symetrii to:

$$x_0 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Z drugiej strony oś symetrii paraboli $f(x) = x^2 + bx + c$ to $x_0 = -\frac{b}{2}$. Zatem:

$$-\frac{b}{2} = 1 \implies b = -2$$

Teraz korzystasz z drugiego warunku $f(-1) = 1$:

$$f(-1) = (-1)^2 + (-2)(-1) + c = 1 + 2 + c = 3 + c = 1$$ $$c = -2$$

Odpowiedź: $c = -2$

Najczęstszy błąd to rozwiązywanie układu dwóch równań "na piechotę" - $f(-1) = 1$ i $f(3) = 1$. Da to ten sam wynik, ale zajmie trzy razy więcej czasu. Sprytne podejście przez oś symetrii załatwia sprawę w kilku linijkach. Pamiętaj: jeśli dwa punkty dają tę samą wartość, leżą symetrycznie względem wierzchołka. Przeczytaj więcej o funkcji kwadratowej na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 15 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Treść: Kąt $\alpha$ jest ostry i $\tg \alpha = \frac{12}{5}$. Wartość $\sin \alpha$ jest równa

Rozwiązanie:

Skoro $\tg \alpha = \frac{12}{5}$, wyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna naprzeciwko kąta $\alpha$ ma długość 12, a przyprostokątna przy kącie $\alpha$ ma długość 5. Wtedy tangens to stosunek przeciwnej do przyległej, czyli $\frac{12}{5}$ - zgadza się.

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

$$c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Zatem:

$$\sin \alpha = \frac{\text{przeciwna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{12}{13}$$

Odpowiedź: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$

Trójkąt 5-12-13 to jeden z klasycznych trójkątów pitagorejskich (obok 3-4-5 i 8-15-17). Warto go zapamiętać - CKE go uwielbia. Alternatywne podejście: użyj jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ i zależności $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, ale trójkąt prostokątny jest szybszy. Więcej o trygonometrii na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 23 - Stereometria (1 pkt) ↗

Treść: Przekątna sześcianu ma długość 6. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Rozwiązanie:

Przekątna sześcianu o boku $a$ to:

$$d = a\sqrt{3}$$

Masz $d = 6$, więc:

$$a\sqrt{3} = 6 \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Pole powierzchni całkowitej sześcianu (6 ścian, każda to kwadrat o boku $a$):

$$P = 6a^2 = 6 \cdot (2\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 6 \cdot 12 = 72$$

Odpowiedź: $P = 72$

Dwa wzory do zapamiętania na sześcian: przekątna $d = a\sqrt{3}$ i przekątna ściany $d_s = a\sqrt{2}$. Nie myl ich - na maturze to częsty podstęp. Sześcian to najprostszy przypadek w stereometrii, więc te punkty musisz brać.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 25 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) ↗

Treść: Rzucamy dwa razy kostką do gry. Prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą parzystą, jest równe

Rozwiązanie:

Podejście przez dopełnienie jest najszybsze. Iloczyn jest parzysty, gdy co najmniej jedna kostka pokaże liczbę parzystą. Dopełnienie to sytuacja, gdy obie kostki pokażą liczbę nieparzystą.

Liczby nieparzyste na kostce: 1, 3, 5 - to 3 z 6 możliwości.

$$P(\text{obie nieparzyste}) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Zatem:

$$P(\text{iloczyn parzysty}) = 1 - P(\text{obie nieparzyste}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $P = \frac{3}{4}$

Gdy zadanie pyta o "co najmniej jedno", myśl od razu o dopełnieniu. Zamiast liczyć dziesiątki przypadków sprzyjających, liczysz kilka przypadków niesprzyjających i odejmujesz od 1. To szybsze i mniej podatne na błędy. Przeczytaj przewodnik po prawdopodobieństwie, żeby opanować tę technikę.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Nierówność (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $\left(x - \frac{1}{2}\right)x > 3\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right)$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Przenieś wszystko na jedną stronę:

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)x - 3\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) > 0$$

Krok 2 - Wyciągnij wspólny czynnik $\left(x - \frac{1}{2}\right)$:

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)\left[x - 3\left(x + \frac{1}{3}\right)\right] > 0$$

Krok 3 - Uprość nawias kwadratowy:

$$x - 3\left(x + \frac{1}{3}\right) = x - 3x - 1 = -2x - 1$$

Zatem nierówność ma postać:

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)(-2x - 1) > 0$$

Wyciągnij minus z drugiego czynnika:

$$-\left(x - \frac{1}{2}\right)(2x + 1) > 0$$

Mnożymy obie strony przez $-1$ (odwracamy znak nierówności):

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)(2x + 1) < 0$$

Krok 4 - Miejsca zerowe:

Krok 5 - Tabelka znaków:

Szukamy iloczynu ujemnego (< 0):

Odpowiedź: $x \in \left(-\frac{1}{2},\; \frac{1}{2}\right)$

Kluczem do tego zadania jest rozpoznanie wspólnego czynnika $\left(x - \frac{1}{2}\right)$. Gdybyś rozwinął wszystkie nawiasy i doprowadził do nierówności kwadratowej - też by wyszło, ale ryzyko błędu rachunkowego rośnie. Faktoryzacja jest szybsza i bezpieczniejsza. Schemat CKE: 1 pkt za poprawne sprowadzenie do iloczynu, 1 pkt za rozwiązanie nierówności z iloczynem.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 29 - Dowód (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że $(1{,}5)^{100} < 6^{25}$

Rozwiązanie:

Zapisz $1{,}5$ jako ułamek:

$$1{,}5 = \frac{3}{2}$$

Zatem trzeba wykazać, że:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 6^{25}$$

Kluczowa obserwacja: $100 = 4 \cdot 25$, więc:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{100} = \left[\left(\frac{3}{2}\right)^4\right]^{25}$$

Obliczmy $\left(\frac{3}{2}\right)^4$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$$

Sprawdźmy, czy $\frac{81}{16} < 6$:

$$\frac{81}{16} = 5{,}0625 < 6 \quad \checkmark$$

Skoro $\left(\frac{3}{2}\right)^4 < 6$ i funkcja potęgowa $t^{25}$ jest rosnąca dla $t > 0$, to:

$$\left[\left(\frac{3}{2}\right)^4\right]^{25} < 6^{25}$$

Co daje:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 6^{25} \quad \square$$

To piękny dowód, który opiera się na jednym pomyśle: rozbić wykładnik 100 na $4 \cdot 25$, żeby sprowadzić porównanie do czegoś obliczalnego. Schemat CKE: 1 pkt za doprowadzenie do porównania $\left(\frac{3}{2}\right)^4$ z 6, 1 pkt za poprawne uzasadnienie nierówności. Najczęstszy błąd to brak uzasadnienia, dlaczego z $a < b$ wynika $a^{25} < b^{25}$ - musisz napisać, że potęga o naturalnym wykładniku zachowuje nierówność dla liczb dodatnich.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 34 - Stereometria (otwarte, 5 pkt) ↗

Treść: Graniastosłup prosty $ABCDA'B'C'D'$, którego podstawą jest romb $ABCD$. Przekątna $AC'$ graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $30°$, a przekątna $BD'$ tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $45°$. Przekątna $AC$ rombu ma długość $6\sqrt{3}$.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Rysunek i oznaczenia.

Romb $ABCD$ - przekątne rombu przecinają się w punkcie $O$ pod kątem prostym. Oznaczmy:

Krok 2 - Kąt przekątnej $AC'$ z podstawą.

Przekątna $AC'$ łączy wierzchołek $A$ z $C'$. Jej rzut na podstawę to odcinek $AC$. Kąt z podstawą to kąt $\angle C'CA$... Poprawmy: $AC'$ to odcinek od $A$ do $C'$. Rzut $C'$ na podstawę to $C$. Zatem rzut odcinka $AC'$ na podstawę to $AC$, a kąt nachylenia to kąt przy wierzchołku $A$:

$$\tg(\angle C'AC) = \frac{C'C}{AC} = \frac{h}{6\sqrt{3}}$$

Skoro ten kąt to $30°$:

$$\tg 30° = \frac{h}{6\sqrt{3}} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{6\sqrt{3}} \implies h = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$$

Krok 3 - Kąt przekątnej $BD'$ z podstawą.

Analogicznie: rzut $BD'$ na podstawę to $BD$, kąt nachylenia to:

$$\tg(\angle D'BD) = \frac{h}{BD} = \frac{6}{2d}$$

Ten kąt to $45°$:

$$\tg 45° = \frac{6}{2d} \implies 1 = \frac{6}{2d} \implies 2d = 6 \implies d = 3$$

Zatem $BD = 2d = 6$.

Krok 4 - Bok rombu.

Przekątne rombu dzielą go na 4 trójkąty prostokątne. Przyprostokątne to $AO = 3\sqrt{3}$ i $BO = 3$:

$$a = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$$

Krok 5 - Objętość graniastosłupa.

Pole rombu:

$$P_{\text{rombu}} = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot 6}{2} = 18\sqrt{3}$$

Objętość graniastosłupa prostego:

$$V = P_{\text{podstawy}} \cdot h = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3}$$

Krok 6 - Pole powierzchni całkowitej.

Obwód podstawy: $4a = 4 \cdot 6 = 24$.

Pole powierzchni bocznej:

$$P_{\text{boczna}} = \text{obwód} \cdot h = 24 \cdot 6 = 144$$

Pole powierzchni całkowitej:

$$P_{\text{całkowita}} = P_{\text{boczna}} + 2 \cdot P_{\text{podstawy}} = 144 + 2 \cdot 18\sqrt{3} = 144 + 36\sqrt{3}$$

Schemat punktowania CKE (5 pkt): (1) wyznaczenie wysokości graniastosłupa z kąta $30°$ - 1 pkt, (2) wyznaczenie drugiej przekątnej z kąta $45°$ - 1 pkt, (3) obliczenie boku rombu - 1 pkt, (4) objętość - 1 pkt, (5) pole powierzchni - 1 pkt.

To klasyczne zadanie, w którym każdy podpunkt daje jeden punkt i korzysta z wyników poprzedniego kroku. Nawet jeśli utkniesz na kroku 3, masz już 2 punkty za kroki 1-2. Dlatego zawsze rozwiązuj po kolei i nie pomijaj żadnego etapu. Więcej o bryle i kątach w przewodniku po stereometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza czekają na ciebie na Sprawnej Maturze z rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2017

1. Planimetria to ponad 1/6 arkusza - 7 zadań z geometrii płaskiej oznacza, że CKE traktuje ją jako fundament. Twierdzenie Pitagorasa, pola figur, kąty w trójkącie, okrąg opisany - to nie jest opcjonalne. Przećwicz zadania z planimetrii do bólu.

2. Geometria analityczna warta 10 punktów - 4 zadania, w tym jedno za 5 pkt. Równanie prostej, odległość punktu od prostej, równanie okręgu, wektory - musisz to umieć biegle. Nasz przewodnik po geometrii analitycznej zawiera wszystkie potrzebne wzory.

3. Dowody pojawiają się regularnie - zadanie 29 z dowodem nierówności wymaga kreatywności, nie mechanicznego stosowania wzorów. Klucz to rozbicie wykładnika na czynniki ($100 = 4 \cdot 25$). Tego typu "sztuczki" ćwiczysz, rozwiązując arkusze z różnych lat.

4. Trójkąty pitagorejskie wracają co roku - 5-12-13, 3-4-5, 8-15-17. CKE je uwielbia, bo pozwalają uniknąć "brzydkich" liczb w odpowiedziach. Zapamiętaj je i rozpoznawaj automatycznie.

5. Stereometria za 5 pkt to maraton, nie sprint - zadanie 34 wymaga 5-6 kroków, ale każdy krok daje 1 punkt. Nie panikuj na widok długiego zadania - rozwiązuj etapami, a punkty cząstkowe same się zbiorą.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Etap 1 - Symulacja egzaminu (180 minut)
Otwórz arkusz na Sprawnej Maturze i rozwiąż w warunkach zbliżonych do egzaminu. Bez telefonu, bez kalkulatora, z zegarkiem. Po skończeniu zanotuj, przy których zadaniach zgadywałeś lub wahałeś się.

Etap 2 - Autokorekta (45 minut)
Sprawdź odpowiedzi z rozwiązaniami powyżej. Policz punkty. Dla każdego błędu określ przyczynę: brak wiedzy (nie znałeś wzoru), brak techniki (znałeś wzór, nie umiałeś zastosować) czy błąd rachunkowy (umiałeś, ale się pomyliłeś w obliczeniach).

Etap 3 - Praca nad słabymi stronami

Etap 4 - Kolejny arkusz
Gdy opanujesz ten arkusz, przejdź do matury maj 2017 lub innych arkuszy z bazy CKE. Możesz też spróbować symulatora matury, który losuje zadania z różnych roczników.

Powodzenia! Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań krok po kroku dla wszystkich 2438 zadań CKE, sprawdź nasz plan premium. A na rozgrzewkę - losowe zadanie.