W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są cztery okręgi: o₁, o₂, o₃, o₄, o równaniach: o₁:(x-1)²+(y-2)²=1 o₂:(x+1)²+(y+2)²=9 o₃:(x-3)²+(y-4)²=4 o₄:(x+3)²+(y+4)²=16 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych (x, y), jest
Odpowiedzi do wyboru
- A.o₁
- B.o₂
- C.o₃
- D.o₄
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: C
Równanie okręgu o środku w punkcie S=(x_S, y_S) i promieniu r zapisujemy jako:
(x-x_S)²+(y-y_S)²=r²
Ustalmy może najpierw co się tak naprawdę musi stać, by okrąg miał jakieś punkty wspólne z osią Ox lub Oy. Aby tak się stało, długość promienia musi być równa lub większa od jednej ze współrzędnych wierzchołka środka okręgu, a nawet można powiedzieć, że musi być równa lub większa od wartości bezwzględnej jednej z takich współrzędnych. Tak przykładowo, gdybyśmy mieli okrąg o środku w punkcie S=(5;6) i promień miałby długość r=2, to wtedy okrąg nie stykałby się z żadną osią, ale gdyby ten promień był większy i był równy przynajmniej 5, no to okrąg zacząłby się stykać z osią Ox, a każdy jeszcze większy okrąg zacząłby tę oś przecinać w dwóch miejscach.
Z podanych okręgów wynika, że:
okrąg o₁ ma promień r=1
okrąg o₂ ma promień r=3
okrąg o₃ ma promień r=2
okrąg o₄ ma promień r=4
Teraz zerkając na współrzędne środka okręgu (które możemy odczytać z równań) widzimy, że punktów wspólnych z osiami nie będzie mieć okrąg o₃, bo tutaj S=(3,4), a promień to r=2.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.