Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB|=90° i |∢ABC|=60° . Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD|:|DB|=3:1.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację nanosząc na rysunek dane z treści zadania:
Przy okazji możemy od razu zapisać, że skoro jest to trójkąt prostokątny i |∢ABC|=60° to |∢CAB|=30°, co ułatwi nam późniejsze obliczenia.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka |AD| (czyli x).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny ADC. Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
tg30°=h/x √(3)/3=h/x √(3)/3 x=h / · 3/√(3) x=3h/√(3)
Krok 3. Obliczenie długości odcinka DB (czyli y).
Tym razem spójrzmy na trójkąt DBC. Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
tg60°=h/y √(3)=h/y √(3)y=h y=h/√(3)
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Już po otrzymanych wynikach widzimy wyraźnie, że odcinek AD oznaczony jako x jest trzykrotnie większy od odcinka DB oznaczonego jako y. Formalnie możemy jeszcze to zapisać w taki sposób:
|AD|:|DB|=x:y=3h/√(3):h/√(3)=3h/√(3) · √(3)/h=3
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.