Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB=90° | (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4:3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=192
Krok 1. Obliczenie długości boku AB.
Skoro trójkąt ABC jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok AB) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy r=5 (bo odcinek SC jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek AB będzie równy:
|AB|=2 · 5 |AB|=10
Krok 2. Obliczenie długości boków AC oraz BC.
Skoro stosunek boków AC do BC jest równy 4:3, to możemy zapisać, że |AC|=4x, natomiast |BC|=3x. Wartość niewiadomej x obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:
|AC|²+|BC|²=|AB|² (4x)²+(3x)²=10² 16x²+9x²=100 25x²=100 x²=4 x=2 x=-2
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam x=2. Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków AC oraz BC jako 4x oraz 3x, czyli:
|AC|=4x |AC|=4 · 2 |AC|=8 |BC|=3x |BC|=3 · 2 |BC|=6
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt BEFC. Wiemy, że jego pole jest równe 48 i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok BC) ma długość 6. To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
P=|BC| · |BE| 48=6 · |BE| |BE|=8
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych 6 oraz 8, czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa 8, zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
V=P_p · H V=1/2 · 8 · 6 · 8 V=192
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.