Funkcja kwadratowa f(x)=ax²+bx+c ma dwa miejsca zerowe x₁=-2 i x₂=6. Wykres funkcji f przechodzi przez punkt A=(1,-5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji f.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: -16/3
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:
f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) f(x)=a(x-(-2))(x-6) f(x)=a(x+2)(x-6)
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego a.
W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego a. Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu A=(1,-5). Wtedy:
-5=a(1+2)(1-6) -5=a · 3 · (-5) -5=-15a a=1/3
To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: f(x)=1/3(x+2)(x-6).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej p).
Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy a=1/3, a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:
p=(x₁+x₂)/2 p=(-2+6)/2 p=4/2 p=2
Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.
Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla x=2. W związku z tym możemy podstawić x=2 do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:
f(x)=1/3(x+2)(x-6) f(2)=1/3(2+2)(2-6) f(2)=1/3 · 4 · (-4) f(2)=1/3 · (-16) f(2)=-16/3
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.