Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4x+1/x ≥ 4.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez x, ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że x jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
4x+1/x ≥ 4 / · x 4x²+1 ≥ 4x 4x²-4x+1 ≥ 0 (2x-1)² ≥ 0
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.