Punkt C=(0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D=(3,4). Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2017-33.png]

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej CD.

Równanie prostej przybiera postać y=ax+b. Współczynnik b mówi nam o tym w którym miejscu prosta przetnie się z osią igreków. W naszym przypadku prosta CD przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem przecina oś igreków dla y=0. To oznacza, że także b=0, czyli prostą CD możemy opisać wzorem y=ax.

To czego teraz potrzebujemy, to wyznaczyć współczynnik kierunkowy a tej prostej. Zrobimy to podstawiając współrzędne punktu D=(3,4), który przez tą prostą przechodzi:

y=ax 4=a · 3 a=4/3

Wyszło nam więc, że prosta CD przyjmuje postać y=4/3 x.

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej AB.

Prosta AB jest prostopadła do prostej CD, a to oznacza, że iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy -1. Skoro prosta CD ma współczynnik kierunkowy a=4/3, to znaczy że prosta AB ma ten współczynnik równy:

a · 4/3=-1 a=-3/4

Możemy więc już zapisać, że prosta AB wyraża się równaniem y=-3/4 x+b. Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik b naszej prostej, a zrobimy to podstawiając do wzoru współrzędne punktu D, który przez tą prostą przechodzi:

y=-3/4 x+b 4=-3/4 · 3+b 4=-9/4+b 16/4=-9/4+b b=25/4

W ten sposób poznaliśmy już pełne równanie prostej AB i jest to y=-3/4 x+25/4.

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu A.

O punkcie A wiemy tyle, że na pewno jego współrzędna igrekowa jest równa 0, bo leży ten punkt na osi iksów. Skoro tak, to brakuje nam już tylko współrzędnej iksowej tego punktu, a obliczymy ją podstawiając do równania prostej AB właśnie y=0:

y=-3/4 x+25/4 0=-3/4 x+25/4 3/4 x=25/4 / · 4/3 x=25/3

Możemy więc zapisać, że A=(25/3,0).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu B.

Współrzędna iksowa punktu B jest dość oczywista, bo skoro punkt B leży na osi igreków, to współrzędna iksowa jest równa 0. Współrzędną igrekową możemy wprost odczytać z równania prostej AB. Skoro współczynnik b tej prostej jest równy 25/4, to współrzędna igrekowa także będzie równa y=25/4. Gdybyśmy nie pamiętali o tej własności, to wystarczy do równania prostej AB podstawić x=0, otrzymamy dokładnie to samo:

y=-3/4 x+25/4 y=-3/4 · 0+25/4 y=25/4

W związku z tym B=(0,25/4).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka AB.

Znając współrzędne punktów A oraz B nie pozostaje nam nic innego jak podstawić je do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

|AB|=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²) |AB|=√((0-25/3)²+(25/4-0)²) |AB|=√((-25/3)²+(25/4)²) |AB|=√(625/9+625/16) |AB|=√(625 · 16/(9 · 16)+625 · 9/(16 · 9)) |AB|=√(10000/144+5625/144) |AB|=√(15625/144) |AB|=125/12