Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że tg α=4/3 (zobacz rysunek). Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: h=10
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został zaznaczony na rysunku. Mamy informację, że tgα=4/3 i to będzie nasz punkt wyjścia do zapisania pewnych oznaczeń. Moglibyśmy zapisać, że w takiej sytuacji przyprostokątna będąca jednocześnie wysokością ostrosłupa ma długość 4x, a przyprostokątna przy kącie α (która jest połową długości krawędzi podstawy) będzie miała długość 3x. Od razu też możemy dodać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa), że przeciwprostokątna tego trójkąta (która jest jednocześnie poszukiwaną wysokością ściany bocznej) będzie miała długość 5x.
Krok 2. Zapisanie długości krawędzi podstawy i pola podstawy.
Krawędź podstawy będzie dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej analizowanego przed chwilą trójkąta prostokątnego, zatem zapisalibyśmy, że:
a=2 · 3x a=6x
W podstawie naszego ostrosłupa znajduje się kwadrat (ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny), zatem od razu możemy zapisać, że jego pole jest równe:
P_p=(6x)² P_p=36x²
Krok 3. Wyznaczenie długości x.
Z treści zadania wynika, że objętość naszej bryły jest równa 384. Wiemy już, że P_p=36x² oraz H=4x, zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
V=1/3 P_p · H 384=1/3 · 36x² · 4x 384=12x² · 4x 384=48x³ x³=8 x=2
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Na koniec została już tylko formalność. Celem zadania jest poznanie wysokości ściany bocznej, a skoro ta ma długość 5x, to możemy zapisać, że:
h_b=5 · 2 h_b=10
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.