Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| oraz A = (2, 1) i C = (1, 9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y=1/2 x. Oblicz współrzędne wierzchołka B.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B=(34/5, 34/10)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.
Krok 2. Określenie współrzędnych punktu B.
Współrzędne każdego punktu możemy określić jako (x;y). Z treści zadania wiemy, że przez punkt B przechodzi prosta o równaniu y=1/2 x. Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną y i zapisać współrzędne tego punktu jako: B=(x;1/2 x).
Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej y, a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.
Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki AC oraz BC mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne A i C, zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu B z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:
|AC|=|BC| √((x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²)=√((x_C-x_B)²+(y_C-y_B)²) (1-2)²+(9-1)²=(1-x)²+(9-x/2)² 1+64=1-2x+x²+81-9x+x²/4 65=x²+1/4 x²-11x+82 5/4 x²-11x+17=0 / · 4 5x²-44x+68=0
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=5, b=-44, c=68
Δ=b²-4ac=(-44)²-4 · 5 · 68=1936-1360=576 √(Δ)=√(576)=24
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-44)-24)/(2 · 5)=(44-24)/10=20/10=2 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-44)+24)/(2 · 5)=(44+24)/10=68/10
Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu B.
Dla x=2 otrzymaliśmy współrzędną punktu A. To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt A także leży na prostej y=1/2 x).
Współrzędne punktu B otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli x=68/10. Brakuje nam jeszcze współrzędnej y, ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:
y=1/2 x y=1/2 · 68/10 y=68/20
Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:
x=68/10=6 4/5 y=68/20=3 2/5
Poszukiwane współrzędne to B=(6 4/5;3 2/5).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.