Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE|=1/2|AC|. Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Tak naprawdę kluczem do sukcesu jest dorysowanie wspólnej wysokości trójkąta ACD oraz rozwartokątnego trójkąta DCE z wierzchołka D. Warto też zauważyć, że pole trójkąta ACD jest dwa razy mniejsze od pola naszego równoległoboku.
Krok 2. Zapisanie wzoru na pole trójkąta DCE oraz ACD.
Trójkąt DCE jest rozwartokątny, jego podstawą niech będzie |CE|, a wysokością dorysowany odcinek h. Otrzymamy więc:
P_(DCE)=1/2 · |CE| · h
W treści zadania mamy podaną informację, że |CE|=1/2|AC| tak więc po podstawieniu tej informacji do powyższego wzoru otrzymamy:
P_(DCE)=1/2 · 1/2|AC| · h P_(DCE)=1/4 · |AC| · h
Możemy jeszcze zapisać sobie wzór na pole trójkąta ACD, bo przyda nam się on w kolejnym kroku:
P_(ACD)=1/2 · |AC| · h
Krok 3. Zapisanie wzoru na pole równoległoboku ABCD.
Nasz równoległobok ma dwa razy większą powierzchnię od trójkąta ACD, zatem:
P_(ABCD)=2 · P_(ACD) P_(ABCD)=2 · 1/2 · |AC| · h P_(ABCD)=|AC| · h
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
P_(ABCD)/P_(DCE)=|AC| · h/(1/4|AC| · h)=4
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że pole równoległoboku ABCD jest czterokrotnie większe od pola trójkąta DCE, co kończy nasze dowodzenie.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.