W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: sin α=√(42)/7
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną AC, bo z treści zadania wynika, że będziemy pracować na trójkącie ACS.
Warto zauważyć, że skoro ACS jest trójkątem równobocznym, to |AC|=|AS|=|SD|=8.
Potrzebujemy obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
sinα=|SE|/|SF|
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on na pewno kwadrat. My znamy długość przekątnej tego kwadratu, bo |AC|=8. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku a ma przekątną o długości a√(2), zatem:
a√(2)=8 a=8/√(2)=8√(2)/2=4√(2)
Krok 3. Obliczenie długości odcinka SE, czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, wiedząc że bok naszego trójkąta ACS ma długość a=8.
|SE|=a√(3)/2 |SE|=8√(3)/2 |SE|=4√(3)
Krok 4. Obliczenie długości odcinka SF, czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt FDS. Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo wysokość ściany bocznej jest opuszczona pod kątem prostym. Punkt F znajduje się w połowie długości odcinka AD, bo ADS jest trójkątem równoramiennym, a wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Długość odcinka AD wyliczyliśmy w drugim kroku, a to oznacza, że:
|FD|=1/2 · 4√(2) |FD|=2√(2)
Skoro znamy długość |FD|=2√(2), wiemy też, że |SD|=8, to z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy potrzebną nam długość |SF|:
|FD|²+|SF|²=|SD|² (2√(2))²+|SF|²=8² 4 · 2+|SF|²=64 8+|SF|²=64 |SF|²=56 |SF|=√(56)=√(4 · 14)=2√(14)
Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Wszystkie potrzebne długości już wyznaczyliśmy, zatem wystarczy je tylko podstawić do wzoru który zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku.
sinα=|SE|/|SF| sinα=4√(3)/(2√(14)) sinα=4√(3) · √(14)/(2√(14) · √(14)) sinα=4√(3) · √(14)/(2√(14) · √(14)) sinα=4√(42)/(2 · 14) sinα=4√(42)/28 sinα=√(42)/7
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.