Rozwiąż nierówność x(2x-1) < 2x Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: x ∈ (0, 3/2)
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy jakiekolwiek obliczenia, musimy wykonać odpowiednie przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie 0, zatem:
x(2x-1) < 2x 2x²-x-2x < 0 2x²-3x < 0
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Musimy teraz wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić, kiedy 2x²-3x=0. Moglibyśmy oczywiście wyznaczyć te miejsca zerowe za pomocą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik c=0), ale takie równania kwadratowe da się rozwiązać znacznie szybciej - wystarczy wyłączyć x przed nawias. Całość wyglądałaby następująco:
2x²-3x=0 x(2x-3)=0
Teraz postępujemy jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy do zera to co jest przed nawiasem oraz to, co jest w nawiasie, zatem:
x=0 2x-3=0 x=0 2x=3 x=0 x=3/2
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy a jest dodatni (bo a=2), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak <) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli zerkamy na to, co znajduje się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
x ∈ (0;3/2)
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.