Punkt A=(1,-3) jest wierzchołkiem trójkąta ABC, w którym |AC|=|BC|. Punkt S=(5,-1) jest środkiem odcinka AB. Wierzchołek C tego trójkąta leży na prostej o równaniu y=x+10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B=(9,1), C=(-1/3,29/3)
Krok 1. Współrzędne wierzchołka B.
Punkt S jest środkiem odcinka AB, więc x_S=(x_A+x_B)/2 oraz y_S=(y_A+y_B)/2:
(1+x_B)/2=5, (-3+y_B)/2=-1
x_B=9, y_B=1, B=(9,1)
Krok 2. Prosta, na której leży wierzchołek C.
Z równości |AC|=|BC| wynika, że punkt C leży na symetralnej odcinka AB, czyli na prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt S. Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy:
a_(AB)=(-1-(-3))/(5-1)=1/2
Prosta prostopadła do AB ma współczynnik kierunkowy -2, a ta, która przechodzi przez punkt S=(5,-1), ma równanie:
y=-2(x-5)-1=-2x+9
Krok 3. Współrzędne wierzchołka C.
Punkt C leży także na prostej y=x+10, więc jego pierwsza współrzędna spełnia równanie:
x+10 =-2x+9 3x =-1 x =-1/3
y =-1/3+10=29/3 C =(-1/3,29/3)
Odpowiedź: B=(9,1), C=(-1/3,29/3).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.