Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ≠ y prawdziwa jest nierówność (1/5 x+4/5 y)² < (x²+4y²)/5
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Rozwinięcie lewej strony.
(1/5 x+4/5 y)²=1/25 x²+8/25 xy+16/25 y²
Krok 2. Przekształcenia równoważne.
Po pomnożeniu obu stron przez 25 nierówność jest równoważna kolejno nierównościom:
x²+8xy+16y² < 5x²+20y² 0 < 4x²-8xy+4y² 0 < 4(x-y)²
Krok 3. Uzasadnienie ostatniej nierówności.
Z założenia x ≠ y, więc x-y ≠ 0 i kwadrat (x-y)² jest liczbą dodatnią. Zatem 4(x-y)² > 0, a nierówność wyjściowa, równoważna tej nierówności, też jest prawdziwa.
Wniosek: Dla każdych liczb rzeczywistych x i y takich, że x ≠ y, zachodzi nierówność (1/5 x+4/5 y)² < (x²+4y²)/5, co należało wykazać.
Wyrażenia algebraiczne: Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i wyrażenia wymierne wraz z dziedziną.