Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x-y-3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C=(3,3)
Krok 1. Ramię zawarte w danej prostej.
Punkt A=(2,1) spełnia równanie prostej, bo 2 · 2-1-3=0, a punkt B=(5,2) go nie spełnia, bo 2 · 5-2-3=5 ≠ 0. Tą prostą jest więc ramię AC i wierzchołek C leży na prostej y=2x-3.
Krok 2. Symetralna podstawy AB.
W trójkącie równoramiennym o podstawie AB wierzchołek C leży na symetralnej odcinka AB. Środek odcinka AB i współczynnik kierunkowy prostej AB są równe:
S =((2+5)/2,(1+2)/2) =(7/2,3/2) a_(AB) =(2-1)/(5-2)=1/3
Symetralna jest prostopadła do AB, więc ma współczynnik kierunkowy -3 i przechodzi przez punkt S:
3/2 =-3 · 7/2+b b =12 y =-3x+12
Krok 3. Współrzędne wierzchołka C.
Wierzchołek C jest punktem wspólnym symetralnej i prostej y=2x-3:
2x-3 =-3x+12 5x =15 x =3 y =2 · 3-3=3
Sprawdzenie: |AC|=√(1²+2²)=√(5) oraz |BC|=√(2²+1²)=√(5).
Odpowiedź: C=(3,3).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.