Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność ((a+b)/2)² ≤ (a²+b²)/2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Przekształcenie nierówności.
Lewa strona jest równa (a+b)²/4. Po pomnożeniu obu stron przez 4 otrzymuje się nierówność równoważną:
(a+b)² ≤ 2(a²+b²)
Krok 2. Uporządkowanie wyrazów.
a²+2ab+b² ≤ 2a²+2b² 0 ≤ a²-2ab+b²
Krok 3. Wzór skróconego mnożenia.
Prawa strona ostatniej nierówności jest kwadratem różnicy:
a²-2ab+b²=(a-b)² ≥ 0
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a i b. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem prawdziwa jest też nierówność wyjściowa.
Wniosek: Dla każdych liczb rzeczywistych a i b zachodzi ((a+b)/2)² ≤ (a²+b²)/2, co należało wykazać.
Wyrażenia algebraiczne: Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i wyrażenia wymierne wraz z dziedziną.