Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Pan Nowak: 36 km/h, pan Kowalski: 25 km/h
Krok 1. Oznaczenia.
Niech v oznacza średnią prędkość pana Kowalskiego w km/h, a t jego czas przejazdu w godzinach, czyli v · t=150. Czas 1 h 50 min to 110/60=11/6 h, więc pan Nowak jechał z prędkością v+11 w czasie t-11/6.
Krok 2. Układ równań.
v · t=150 (v+11)(t-11/6)=150
Krok 3. Równanie z jedną niewiadomą.
Z pierwszego równania t=150/v. Po wstawieniu do drugiego równania:
(v+11)(150/v-11/6)=150
Po wymnożeniu nawiasów:
150-11/6 v+1650/v-121/6 =150 -11/6 v+1650/v-121/6 =0
Pomnożenie obu stron przez -6v/11 (przy v > 0) daje równanie kwadratowe:
v²+11v-900=0
Krok 4. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Δ=11²+4 · 900 =121+3600=3721 √(Δ) =61
v₁ =(-11-61)/2=-36 v₂ =(-11+61)/2=25
Prędkość jest dodatnia, więc v=25 km/h.
Krok 5. Prędkości obu kolarzy.
Pan Kowalski jechał ze średnią prędkością 25 km/h, a pan Nowak z prędkością 25+11=36 km/h. Sprawdzenie: 150/25=6 h oraz 150/36=4 1/6 h, a różnica tych czasów to 1 5/6 h, czyli 1 h 50 min.
Odpowiedź: pan Nowak jechał ze średnią prędkością 36 km/h, a pan Kowalski ze średnią prędkością 25 km/h.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.