W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 4√(2). Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=32√(6)/3
Krok 1. Krawędź i pole podstawy.
Podstawą jest kwadrat o boku a, którego przekątna ma długość a√(2):
a√(2) =4√(2) a =4 P_p =a²=16
Krok 2. Trójkąt ASC.
Krawędzie boczne ostrosłupa prawidłowego mają równe długości, więc trójkąt ASC jest równoramienny i |SA|=|SC|. Kąt przy wierzchołku S ma miarę 60°, więc każdy z kątów przy podstawie AC ma miarę 180°-60°2=60°. Trójkąt ASC jest zatem równoboczny o boku 4√(2).
Krok 3. Wysokość ostrosłupa.
Spodek O wysokości ostrosłupa jest środkiem przekątnej AC, więc wysokość SO ostrosłupa jest wysokością trójkąta równobocznego ASC:
H=|SO|=4√(2) · √(3)/2=2√(6)
Krok 4. Objętość ostrosłupa.
V=1/3 P_p · H=1/3 · 16 · 2√(6)=32√(6)/3
Odpowiedź: V=32√(6)/3.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.