Zliczanie liczb o zadanych własnościach - podzielność, suma cyfr i warunek „lub”

Liczby o zadanej własności liczysz jedną z czterech metod: rozpisujesz pozycje cyfr i mnożysz liczby możliwości, liczysz wielokrotności w przedziale wzorem z części całkowitej, odejmujesz od wszystkich liczby złe (dopełnienie) albo przy warunku „lub” dodajesz dwie grupy i odejmujesz część wspólną. Najpierw nazywasz własność (parzystość, podzielność, różne cyfry, suma cyfr), a dopiero potem dobierasz metodę. Na maturze podstawowej to zwykle zadanie zamknięte za 1 punkt, w którym wynik da się sprawdzić w dwie minuty.

Jakie własności liczb pojawiają się w zadaniach maturalnych

Zadania o zliczaniu liczb to stały punkt działu kombinatoryka na maturze. W arkuszach CKE powtarza się kilka własności i dobrze jest je rozpoznawać od pierwszego czytania polecenia:

• •parzystość i nieparzystość: decyduje ostatnia cyfra (parzysta to 0, 2, 4, 6, 8, nieparzysta to 1, 3, 5, 7, 9);
• •podzielność przez 2, 3, 4, 5, 9: albo cecha podzielności (ostatnia cyfra 0 lub 5 przy piątce), albo zliczanie wielokrotności w przedziale;
• •cyfry się nie powtarzają: każda kolejna pozycja ma o jedną możliwość mniej;
• •cyfry tylko z danego zbioru: na przykład wyłącznie 0, 5, 7 albo wyłącznie 2, 4, 7;
• •cyfra występuje dokładnie raz: trzeba rozbić zadanie na przypadki według pozycji tej cyfry;
• •zadana suma cyfr: rozkłady sumy na cyfry i liczenie ustawień;
• •liczba większa lub mniejsza od danej: ograniczenie pierwszej cyfry albo zliczanie w przedziale.

Każda z tych własności ma swoją metodę. Kiedy polecenie łączy dwie własności (parzyste i o różnych cyfrach), zwykle trzeba rozbić zadanie na przypadki. Ogólne podstawy, czyli regułę mnożenia na liczbach czterocyfrowych, znajdziesz we wpisie ile jest liczb czterocyfrowych i jak działa reguła mnożenia. Tutaj idziemy krok dalej: liczby, które mają spełniać konkretny warunek.

Wzory

Symbol $\lfloor x \rfloor$ to część całkowita, czyli największa liczba całkowita nie większa od $x$. Na przykład $\lfloor 1000/3 \rfloor = 333$, bo $3 \cdot 333 = 999$, a $3 \cdot 334 = 1002$ to już za dużo. Żadnego z tych wzorów nie musisz uczyć się na pamięć słowo w słowo: każdy wynika z jednej prostej obserwacji, którą pokazuję niżej.

Metoda 1: pozycje cyfr i reguła mnożenia z ograniczeniami

Liczbę trzycyfrową zapisujesz jako trzy pozycje: setki, dziesiątki, jedności. Dla każdej pozycji liczysz, ile cyfr wolno na niej postawić, a potem mnożysz te liczby. Bez żadnych warunków wychodzi $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$ liczb trzycyfrowych: na pierwszej pozycji nie wolno postawić zera, więc zostaje 9 cyfr.

Cała sztuka polega na kolejności. Zaczynasz od pozycji, na której warunek jest najostrzejszy:

• •przy parzystości zaczynasz od jedności (5 możliwości: 0, 2, 4, 6, 8);
• •przy nieparzystości też od jedności (5 możliwości: 1, 3, 5, 7, 9);
• •przy podzielności przez 5 od jedności (2 możliwości: 0 albo 5);
• •przy „większa od 700” od setek (dozwolone tylko 7, 8, 9).

Przykład bez powtórzeń cyfr: liczby czterocyfrowe nieparzyste to $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5 = 4500$. Pierwsza cyfra ma 9 możliwości, ostatnia 5, dwie środkowe po 10.

Kłopot zaczyna się, gdy cyfry nie mogą się powtarzać, a ostatnia cyfra może być zerem. Zero na końcu nie zabiera możliwości pierwszej cyfrze, a cyfra 2 na końcu zabiera. Wtedy jedna reguła mnożenia nie wystarczy i rozbijasz zadanie na przypadki rozłączne, a wyniki przypadków dodajesz. To jest reguła dodawania: mnożysz w obrębie jednego przypadku, dodajesz między przypadkami.

Metoda 2: ile jest wielokrotności liczby k w przedziale

Gdy warunek brzmi „podzielne przez $k$”, nie rozpisujesz cyfr, tylko liczysz wielokrotności. Wśród liczb od 1 do $n$ wielokrotności $k$ jest dokładnie $\lfloor n/k \rfloor$. Liczb od 1 do 100 podzielnych przez 7 jest $\lfloor 100/7 \rfloor = 14$, bo $7 \cdot 14 = 98$.

W przedziale od $a$ do $b$ liczysz wielokrotności od 1 do $b$ i odejmujesz te od 1 do $a-1$. Przykład: liczby trzycyfrowe podzielne przez 7.

Ten sam wynik daje druga metoda, przez pierwszą i ostatnią wielokrotność. Pierwsza trzycyfrowa wielokrotność 7 to 105, ostatnia to 994. Liczba wyrazów to

To jest wzór na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego. Ta „jedynka” na końcu jest najczęstszym miejscem błędu: od 105 do 994 robisz 127 skoków o 7, ale liczb jest o jedną więcej niż skoków.

Krótko o cechach podzielności, które przydają się tu najczęściej: przez 5 dzielą się liczby z ostatnią cyfrą 0 lub 5, przez 4 te, których dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, przez 3 i przez 9 te, których suma cyfr dzieli się przez 3 albo 9. Pełne zestawienie znajdziesz we wpisie o cechach podzielności liczb i resztach z dzielenia.

Metoda 3: dopełnienie, czyli liczysz liczby złe

Niektóre warunki łatwiej policzyć od drugiej strony. Sygnałem są słowa „co najmniej jedna”, „nie wszystkie”, „przynajmniej raz”. Zamiast liczyć liczby dobre (z jedną siódemką, z dwiema, z trzema, z czterema) liczysz liczby złe, czyli bez siódemki, i odejmujesz je od wszystkich.

Tutaj $W$ to liczba wszystkich liczb danej długości, $Z$ to liczba złych, a $D$ to liczba dobrych, czyli tych, o które pyta zadanie.

Przykład: liczby trzycyfrowe, w których jakaś cyfra się powtarza. Wszystkich liczb trzycyfrowych jest 900. Liczb o trzech różnych cyfrach jest $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$: pierwsza cyfra ma 9 możliwości (bez zera), druga 9 (wraca zero, odpada cyfra pierwsza), trzecia 8. Liczb z powtórzoną cyfrą jest więc $900 - 648 = 252$.

Gdybyś chciał policzyć to wprost, musiałbyś rozbić zadanie na trzy przypadki (powtarzają się cyfry na pozycjach 1 i 2, na pozycjach 1 i 3, na pozycjach 2 i 3) i jeszcze pilnować liczb typu 777, które wpadają do wszystkich trzech naraz. Dopełnienie usuwa cały ten kłopot. W prawdopodobieństwie ten sam trik nazywa się zdarzeniem przeciwnym i działa identycznie w zadaniach typu „co najmniej” z rzutami monetą.

Metoda 4: warunek „lub” i podwójne liczenie

Warunek „podzielne przez 3 lub przez 5” obejmuje liczby, które spełniają choć jedną z własności. Kiedy policzysz osobno podzielne przez 3 i osobno podzielne przez 5, liczby podzielne przez obie (czyli przez 15) policzysz dwa razy. Trzeba je raz odjąć:

W prawdopodobieństwie ten sam wzór opisuje sumę zdarzeń i jej część wspólną. Część wspólna dla podzielności to podzielność przez najmniejszą wspólną wielokrotność. Dla 3 i 5 to 15, dla 4 i 6 to 12 (nie 24), dla 2 i 3 to 6.

Ten sam wzór działa przy cyfrach. Liczby trzycyfrowe, które zaczynają się od 5 lub kończą się na 5: zaczynających się od 5 jest $1 \cdot 10 \cdot 10 = 100$, kończących się na 5 jest $9 \cdot 10 \cdot 1 = 90$, a jednych i drugich (postaci $5\_5$) jest 10. Razem $100 + 90 - 10 = 180$.

Odwrotna sytuacja, warunek „i” (podzielne przez 3 i przez 5), to po prostu część wspólna: liczysz od razu wielokrotności 15. Warunek „ani przez 3, ani przez 5” to dopełnienie warunku „lub”: wszystkie minus $|A \cup B|$.

Suma cyfr równa danej liczbie: wypisywanie rozkładów

Kiedy polecenie podaje sumę cyfr, reguła mnożenia nie zadziała, bo cyfry zależą od siebie nawzajem. Zamiast tego wypisujesz wszystkie rozkłady sumy na odpowiednią liczbę cyfr, a dla każdego rozkładu liczysz, na ile sposobów da się go ustawić tak, żeby zero nie stało na początku.

Liczby trzycyfrowe o sumie cyfr 4. Rozkłady liczby 4 na trzy cyfry:

Razem $1 + 4 + 2 + 3 = 10$ liczb.

Przy rozkładzie z zerem liczysz wszystkie ustawienia i odejmujesz te z zerem z przodu. Dla rozkładu 3, 1, 0 wszystkich ustawień jest $3! = 6$, a z zerem na początku $2! = 2$ (031 i 013), więc zostają 4. Zapis $3!$ to silnia, czyli $1 \cdot 2 \cdot 3$, a jej pełne omówienie znajdziesz w przewodniku po silni, permutacjach i kombinacjach.

Teraz ty

Spróbuj sam zadania tego samego typu z arkusza próbnego CKE z marca 2021: parzystość i warunek na jedną cyfrę naraz.

Zadania z matury krok po kroku

Poniżej trzy zadania z arkuszy CKE, każde na inną metodę. Najpierw spróbuj sam, potem rozwiń rozwiązanie pod kartą. Więcej zadań z tego działu w jednym miejscu zebrałem we wpisie zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami.

Matura sierpień 2020, zadanie 23: wielokrotności w przedziale

Liczby czterocyfrowe mniejsze od 2020 to liczby od 1000 do 2019. Szukasz wśród nich wielokrotności 4, więc to czysta Metoda 2.

Matura czerwiec 2023, zadanie 31: suma cyfr

Tu nie ma podzielności ani parzystości, jest suma cyfr równa 3. To zadanie na wypisanie rozkładów.

Matura czerwiec 2025, zadanie 28: parzystość i dokładnie jedno zero

Dwie własności naraz: liczba ma być parzysta, a zero ma wystąpić dokładnie raz. Zero nie może stać na początku, więc stoi na końcu albo w środku. To dwa rozłączne przypadki.

Typowe błędy przy zliczaniu liczb

Większość zgubionych punktów w tych zadaniach to nie brak wiedzy, tylko kilka powtarzających się pomyłek.

Jeżeli chcesz zobaczyć, jak te same reguły działają przy permutacjach, wariacjach i kombinacjach, zajrzyj do wpisu o permutacjach, wariacjach i kombinacjach na maturze.

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Cztery zadania na metody z tego wpisu: suma cyfr, wielokrotności w przedziale i warunek na jedno zero. Każde ma rozwiązanie krok po kroku.

• Matura prób. kwi 20201 pkt
  Ile jest liczb czterocyfrowych, takich, że suma cyfr danej liczby jest nie większa niż $3$?
• Matura sie 20131 pkt
  Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez $5$?
• Matura sie 20161 pkt
  Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez $3$?
• Matura maj 20251 pkt
  Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0$, jest

Najczęstsze pytania