Zadania CKE z funkcji wykładniczej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Funkcja wykładnicza pojawia się na maturze podstawowej rzadziej niż funkcja kwadratowa czy trygonometria, ale gdy się pojawia, zwykle jest to zadanie na rozpoznanie schematu, a nie na skomplikowany rachunek. Kłopot w tym, że ten schemat trzeba znać: sprowadzanie do wspólnej podstawy, czytanie monotoniczności z podstawy potęgi i pilnowanie, w którą stronę odwraca się nierówność. W naszej bazie masz komplet zadań CKE z funkcji wykładniczej, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ten tekst to przewodnik po tym zasobie: teoria, typowe schematy zadań, pięć rozwiązanych przykładów i lista pułapek, przez które najczęściej lecą punkty.

Ile funkcji wykładniczej jest na maturze

Funkcja wykładnicza to mniejszy dział niż funkcja kwadratowa, ale regularnie wraca w arkuszach CKE, zwykle jako jedno zadanie zamknięte albo krótkie otwarte o równaniu lub nierówności wykładniczej. Rzadko dostajesz za to więcej niż dwa lub trzy punkty na jednym egzaminie, ale są to punkty łatwe do zdobycia, jeśli znasz dwa lub trzy powtarzalne schematy. Pełną teorię z wykresami i przekształceniami znajdziesz w przewodniku funkcja wykładnicza na maturze, a tutaj skupiamy się na samych zadaniach CKE i ich rozwiązaniach.

Definicja i własności - komplet wzorów

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci

$f(x) = a^x, \quad a>0, \quad a \neq 1$

Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział $(0, +\infty)$ - wartość funkcji wykładniczej nigdy nie jest zerem ani liczbą ujemną, niezależnie od tego, jak duże albo jak małe jest $x$.

Monotoniczność zależy wyłącznie od podstawy $a$:

• •gdy $a>1$, funkcja jest rosnąca,
• •gdy $0<a<1$, funkcja jest malejąca.

Każda funkcja wykładnicza przechodzi przez punkt $(0,1)$, bo $a^0=1$ dla dowolnego $a>0$. Wykres ma asymptotę poziomą $y=0$, do której się zbliża, ale nigdy jej nie osiąga.

Przy przekształceniach wykresu przesunięcie w pionie zmienia asymptotę: wykres funkcji $f(x)=a^x+c$ ma asymptotę $y=c$, a nie $y=0$. To jedna z częstszych pomyłek w zadaniach o przekształceniach wykresów.

Baza zadań CKE według typu

Zadania z tego działu pochodzą z arkuszy CKE z różnych lat, w tym z arkuszy pokazowych i próbnych. Wszystkie rozwiążesz w trybie losowym z pełnym rozwiązaniem po każdej próbie.

Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Zadanie 1

Rozwiąż równanie $3^{x+1}=27$.

Zapisujemy $27=3^3$, więc równanie ma postać $3^{x+1}=3^3$. Funkcja wykładnicza o podstawie $3$ jest różnowartościowa, więc wykładniki muszą być równe:

$x+1=3 \quad\Rightarrow\quad x=2$

Odpowiedź: $x=2$.

Zadanie 2

Rozwiąż równanie $2^{2x}-5\cdot 2^{x}+4=0$.

Podstawiamy $t=2^x$, gdzie $t>0$. Równanie przyjmuje postać

$t^2-5t+4=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t-4)=0$

Stąd $t=1$ lub $t=4$. Wracamy do podstawienia: $2^x=1=2^0$ daje $x=0$, a $2^x=4=2^2$ daje $x=2$.

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=2$.

Zadanie 3

Podaj własności funkcji $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział $(0,+\infty)$. Podstawa $a=\frac{1}{2}$ spełnia $0<a<1$, więc funkcja jest malejąca. Wykres przechodzi przez punkt $(0,1)$ i ma asymptotę poziomą $y=0$.

Odpowiedź: funkcja malejąca, dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0,+\infty)$, asymptota $y=0$.

Zadanie 4

Rozwiąż nierówność $2^x>8$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Zapisujemy $8=2^3$, więc nierówność ma postać $2^x>2^3$. Podstawa $2>1$, funkcja rosnąca, więc kierunek nierówności zostaje bez zmian przy porównywaniu wykładników:

$x>3$

Odpowiedź:

$x\in(3,+\infty)$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność $\left(\frac{1}{3}\right)^x\leq 9$.

Zapisujemy $9$ jako potęgę o podstawie $\frac{1}{3}$: skoro $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9$, nierówność przyjmuje postać

$\left(\frac{1}{3}\right)^x\leq\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

Podstawa $0<\frac{1}{3}<1$, funkcja jest malejąca, więc przy porównywaniu wykładników kierunek nierówności się odwraca:

$x\geq -2$

Odpowiedź: $x\in\langle -2,+\infty)$.

Zadanie 6

Wyznacz punkt przecięcia wykresu funkcji $f(x)=2^x-4$ z osią $OX$ oraz podaj równanie asymptoty tego wykresu.

Wykres przecina oś $OX$ tam, gdzie $f(x)=0$:

$2^x-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2^x=4=2^2 \quad\Rightarrow\quad x=2$

Wykres przecina więc oś $OX$ w punkcie $(2,0)$. Ponieważ funkcję $f(x)=2^x$ przesunięto o $4$ w dół, przesuwa się razem z nią asymptota: zamiast $y=0$ mamy $y=-4$.

Odpowiedź: punkt przecięcia $(2,0)$, asymptota $y=-4$.

Najczęstsze pułapki

Pułapka pierwsza: mylenie kierunku nierówności w zależności od podstawy. Dla $0<a<1$ trzeba odwrócić znak nierówności przy porównywaniu wykładników, dla $a>1$ znak zostaje bez zmian. To najczęstsza przyczyna utraty punktów w tym dziale.

Pułapka druga: zakładanie, że $a^x$ może być równe zeru albo liczbie ujemnej. To niemożliwe, więc równania typu $a^x=-4$ albo $a^x=0$ nie mają rozwiązania w liczbach rzeczywistych, i to właśnie bywa poprawną odpowiedzią.

Pułapka trzecia: błędne sprowadzanie do wspólnej podstawy. Zanim zamienisz liczbę na potęgę, sprawdź dokładnie wykładnik, na przykład $8=2^3$, a nie $2^2$ czy $2^4$.

Pułapka czwarta: ignorowanie przesunięcia asymptoty przy przekształceniach wykresu. Dodanie stałej do $a^x$ przesuwa całą asymptotę, a nie tylko sam wykres.

Pułapka piąta: traktowanie $\left(\frac{1}{a}\right)^x$ jak zupełnie innej funkcji niż $a^{-x}$. To ta sama funkcja zapisana na dwa sposoby, bo $\left(\frac{1}{a}\right)^x=a^{-x}$. Zamiana między tymi zapisami często upraszcza sprowadzanie do wspólnej podstawy.

Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Ponieważ dział jest niewielki, najlepiej przerobić wszystkie dostępne zadania CKE z funkcji wykładniczej za jednym zamachem, zanim przejdziesz dalej. Zacznij od trybu losowego z filtrem na ten dział, a gdy utkniesz na własnym zadaniu ze szkoły, wrzuć je do solvera. Po przerobieniu całej bazy sprawdź się na pełnym arkuszu CKE, gdzie zadanie z funkcji wykładniczej pojawi się wymieszane z innymi działami, tak jak na prawdziwej maturze. Postępy śledzisz w panelu, a wzory na potęgi masz zawsze pod ręką w karcie wzorów.

Ten dział świetnie łączy się z potęgami i pierwiastkami oraz z logarytmami - jeśli sprawiają ci trudność działania na potęgach, warto najpierw wrócić do tamtych działów. Jeśli wolisz uczyć się z telefonu, przeczytaj też, jak pobrać naszą aplikację na Androida i iPhone'a i ćwiczyć ten dział w wolnych chwilach dnia.

Najczęstsze pytania

Podsumowanie: co musisz umieć

Z funkcji wykładniczej na maturze podstawowej musisz pewnie: znać definicję i dziedzinę, odczytywać monotoniczność z podstawy, sprowadzać potęgi do wspólnej podstawy, rozwiązywać równania z podstawieniem oraz pilnować kierunku nierówności przy podstawie mniejszej od jedności. To komplet, który zamyka niemal wszystkie zadania z tego działu.

Masz tu komplet zadań CKE z funkcji wykładniczej z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w trybie nauki już dziś.

Następny krok Losuj kolejne zadanie