Prawdopodobieństwo, że osoby stoją obok siebie albo nie sąsiadują - ustawienia w rzędzie na maturze rozszerzonej

Prawdopodobieństwo, że wskazane osoby ustawione losowo w rzędzie stoją obok siebie, liczysz metodą sklejania: $k$ wskazanych osób traktujesz jak jeden blok, więc z $n$ osób robi się $n - k + 1$ elementów do ustawienia, a sam blok można ułożyć na $k!$ sposobów. Stąd $P = \frac{k! \cdot (n-k+1)!}{n!}$, a dla dwóch osób po prostu $P = \frac{2}{n}$. Gdy wskazane elementy mają nie sąsiadować, ustawiasz najpierw pozostałe i wstawiasz wyróżnione w wolne luki między nimi (metoda luk). Oba schematy wracają w zadaniach z prawdopodobieństwa na maturze rozszerzonej.

W arkuszach rozszerzonych CKE ten typ zadania ma kilka wersji. W maju 2018 (zadanie 9) żadne dwie liczby parzyste nie mogły stać obok siebie w ciągu. W czerwcu 2021 (zadanie 11) znane było prawdopodobieństwo, że trzej sportowcy siedzą obok siebie, a szukało się liczby uczestników. W czerwcu 2023 (zadanie 2 w formule 2023) to samo pytanie wróciło w wersji czysto kombinatorycznej, a w maju 2026 (zadanie 2) warunek dotyczył każdych trzech kolejnych wyrazów ciągu. Podstawy, czyli klasyczną definicję prawdopodobieństwa i liczenie permutacji, masz we wpisach jak obliczyć prawdopodobieństwo oraz silnia, permutacje i kombinacje. Tutaj jest jeden temat: kto stoi obok kogo.

Ile jest wszystkich ustawień w rzędzie

Wszystkich ustawień $n$ różnych elementów w rzędzie jest $n!$, bo na pierwsze miejsce wybierasz jeden z $n$ elementów, na drugie jeden z $n - 1$ pozostałych i tak dalej. Losowe usadzenie osób na krzesłach, ustawienie książek na półce i ułożenie liczb w ciąg bez powtórzeń to ta sama przestrzeń zdarzeń: każda permutacja jest jednakowo prawdopodobna, więc liczysz z klasycznej definicji $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$.

Mianownik jest więc zawsze ten sam, $|\Omega| = n!$, a cała praca polega na policzeniu ustawień sprzyjających.

Metoda sklejania: elementy obok siebie

Metoda sklejania polega na potraktowaniu elementów, które mają stać obok siebie, jako jednego bloku. Ustawiasz blok razem z pozostałymi elementami, a potem mnożysz przez liczbę sposobów ułożenia elementów wewnątrz bloku. Dla $k$ elementów w bloku daje to $(n - k + 1)! \cdot k!$ ustawień.

Skąd $n - k + 1$? Z $n$ elementów $k$ zlepiasz w jeden, więc do ustawienia zostaje $n - k$ luźnych elementów i jeden blok. Mnożenie przez $k!$ jest potrzebne, bo blok „Ola, Piotr” i blok „Piotr, Ola” to dwa różne ustawienia. Jeśli treść mówi, że elementy stoją obok siebie w ustalonej kolejności (na przykład tomy I, II, III od lewej), mnożnika $k!$ nie ma.

Dla dwóch osób wzór upraszcza się do $P = \frac{2 \cdot (n-1)!}{n!} = \frac{2}{n}$. Warto to zapamiętać, bo pozwala sprawdzić wynik w pamięci.

Metoda luk: żadne dwa nie stoją obok siebie

Metoda luk polega na tym, że najpierw ustawiasz elementy zwykłe, a wyróżnione wstawiasz w luki między nimi, po jednym w każdą lukę. Przy $m$ zwykłych elementach luk jest $m + 1$: po jednej między każdymi dwoma sąsiadami i dwie na końcach rzędu. Skoro w każdej luce stoi najwyżej jeden wyróżniony, żadne dwa wyróżnione się nie stykają.

Zwykłe elementy ustawiasz na $m!$ sposobów. Pierwszy wyróżniony wybiera jedną z $m + 1$ luk, drugi jedną z pozostałych $m$, i tak dalej, aż do $k$-tego. Metoda działa tylko wtedy, gdy $k \le m + 1$. Przy większej liczbie wyróżnionych takich ustawień po prostu nie ma.

Gdy wyróżnione są tylko dwa, prościej jest policzyć zdarzenie przeciwne: $P(\text{nie obok siebie}) = 1 - \frac{2}{n}$. Przy trzech i więcej wyróżnionych ten skrót zawodzi, o czym piszę w pułapkach.

Wzory

W ostatnim wzorze $m$ to liczba elementów zwykłych, $k$ to liczba wyróżnionych, a $n = m + k$.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z prawdopodobieństwa klasycznego z arkuszy rozszerzonych, w których liczbę zdarzeń sprzyjających liczysz kombinatoryką: ciągi cyfr, losowanie kul i rzuty kostką. Wszystkie zadania z działu są na stronie prawdopodobieństwo, a zadania czysto kombinatoryczne w dziale kombinatoryka. Gdy w treści pojawia się „pod warunkiem”, sięgnij po wpis o prawdopodobieństwie warunkowym i wzorze Bayesa, a przy powtarzanych próbach po schemat Bernoulliego.

• Matura rozsz. maj 2024 (formuła 2015)3 pkt
  Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne.
  
  Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą - w podanej kolejności - sześciowyrazowy ciąg malejący.
• Matura rozsz. maj 20144 pkt
  Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.
• Matura rozsz. cze 20114 pkt
  Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1, 2, 3\}$ losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa $7$.
• Matura rozsz. cze 20184 pkt
  Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru $\{ 0, 1, 3, 5, 7, 9 \}$, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa $3$.
• Matura rozsz. maj 20134 pkt
  Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy $60$.
• Matura rozsz. maj 20174 pkt
  W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Następny krok Wszystkie działy matury rozszerzonej

Najczęstsze pytania