Jak obliczyć medianę - tabela, diagram i niewiadoma x

Mediana to środkowa wartość zestawu danych uporządkowanych od najmniejszej do największej. Jeśli danych jest nieparzyście wiele, mediana to wyraz stojący dokładnie pośrodku, czyli wyraz o numerze $\frac{n+1}{2}$ . Jeśli danych jest parzyście wiele, mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, o numerach $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2} + 1$ . Zanim cokolwiek policzysz, ustaw dane od najmniejszej do największej: liczenie mediany z nieuporządkowanej listy to typowa pomyłka w tym zadaniu.

Na maturze podstawowej mediana pojawia się zwykle w zadaniach za 1 punkt, w trzech wersjach: zwykła lista liczb, dane w tabeli albo na diagramie oraz mediana z niewiadomą, którą trzeba wyznaczyć. Ten trzeci typ był w arkuszach z maja 2014 (zadanie 25), maja 2019 (zadanie 23) i maja 2021 (zadanie 28), a medianę ocen z diagramu trzeba było wyznaczyć między innymi w maju 2024 (zadanie 35) i w maju 2025 (zadanie 37). Przegląd wszystkich miar statystycznych naraz znajdziesz we wpisie o średniej, medianie i dominancie. Tutaj jest tylko mediana, za to we wszystkich wariantach z arkuszy.

Co to jest mediana i czym różni się od średniej

Mediana dzieli uporządkowane dane na dwie równe części: połowa wartości jest od niej nie większa, a połowa nie mniejsza. Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę. Obie miary często wychodzą różne, a różnicę najlepiej widać, gdy w danych jest jedna wartość odstająca.

Weź pensje sześciu osób z zadania z sierpnia 2012: $2000$ , $2800$ , $3400$ , $3600$ , $4200$ i $8000$ zł, przy czym ostatnia to pensja dyrektora. Średnia wynosi $\frac{24000}{6} = 4000$ zł, czyli więcej, niż zarabiają cztery z sześciu osób. Mediana to średnia dwóch środkowych pensji: $\frac{3400 + 3600}{2} = 3500$ zł. Mediana lepiej opisuje typową pensję w tej firmie, bo jedna wysoka wartość jej nie przesuwa.

Jak obliczyć medianę krok po kroku

Medianę liczysz zawsze w trzech krokach:

1.Uporządkuj dane niemalejąco, czyli od najmniejszej do największej. Powtarzające się wartości zapisz tyle razy, ile występują.
2.Policz, ile jest danych, i sprawdź, czy ich liczba $n$ jest parzysta.
3.Przy nieparzystym $n$ mediana to wyraz numer $\frac{n+1}{2}$ . Przy parzystym $n$ to średnia wyrazów numer $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2} + 1$ .

Dla danych $7, 2, 9, 4, 5$ po uporządkowaniu dostajesz $2, 4, 5, 7, 9$ . Danych jest pięć, środkowy jest trzeci wyraz, więc mediana jest równa $5$ . Gdy dojdzie szósta liczba, na przykład $10$ , dane $2, 4, 5, 7, 9, 10$ mają medianę $\frac{5 + 7}{2} = 6$ .

Mediana z tabeli liczebności i z diagramu

W tabeli liczebności, tak samo jak na diagramie słupkowym, każda wartość stoi raz, a obok jest liczba jej wystąpień. Nie wypisuj wszystkich danych, tylko zrób tak:

•policz liczbę danych $n$ , czyli sumę liczebności, a nie liczbę kolumn tabeli,
•ustal numery środkowych wyrazów,
•idź po wartościach od najmniejszej i dodawaj liczebności, aż dojdziesz do numerów środkowych wyrazów.

Przykładowo, gdy ocenę $2$ dostało trzech uczniów, ocenę $3$ pięciu, a ocenę $4$ dwóch, to $n = 10$ , a środkowe są wyrazy piąty i szósty. Wyrazy od pierwszego do trzeciego to dwójki, od czwartego do ósmego trójki. Piąty i szósty wyraz to $3$ , więc mediana jest równa $3$ . Na diagramie słupkowym robisz dokładnie to samo, tylko liczebności odczytujesz z wysokości słupków.

Mediana z niewiadomą

W zadaniach z niewiadomą znasz medianę, a szukasz brakującej liczby. Najważniejsze pytanie brzmi: na którym miejscu w uporządkowanym zestawie stoi niewiadoma?

•Jeśli treść mówi, że zestaw jest uporządkowany albo że ciąg jest niemalejący, miejsce niewiadomej jest dane i od razu piszesz równanie.
•Jeśli kolejność nie jest dana, uporządkuj liczby bez niewiadomej i sprawdź, w jakim przedziale musi ona leżeć, żeby mediana wyszła taka jak w treści.
•Na koniec zawsze sprawdź, czy wynik nie psuje uporządkowania. Jeśli psuje, niewiadoma stoi gdzie indziej i trzeba rozważyć inny przypadek.

Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów, więc ich suma jest równa podwojonej medianie. Ta jedna obserwacja zamienia większość takich zadań w proste równanie liniowe.

Wzory

Mediana dla nieparzystej liczby danych:

Me = x_{\frac{n+1}{2}}

Mediana dla parzystej liczby danych:

Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}

Średnia arytmetyczna dla porównania:

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

We wzorach na medianę $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n$ to dane już uporządkowane niemalejąco.

Przykład 1: Dziesięć liczb z loterii

0/6

Matura próbna luty 2013Zadanie 10Statystyka

Treść: W loterii liczbowej wylosowano dziesięć liczb: $4, 3, 3, 3, 4, 6, 1, 5, 1, 6$ . Mediana tych danych jest równa:

A $5$
B $3{,}6$
C $3{,}5$
D $3$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Uporządkuj dane
$1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6$
Krok 2
Znajdź środkowe wyrazy
Danych jest $10$ , więc środkowe są wyrazy piąty i szósty, czyli $3$ i $4$ .
Krok 3
Policz średnią środkowych wyrazów
$Me = \frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$

Odpowiedź C

Odpowiedź B to średnia arytmetyczna wszystkich liczb, $\frac{36}{10} = 3{,}6$ , a odpowiedź D to dominanta. Obie są tu pułapką.

Przykład 2: Mediana ocen z tabeli

0/6

Matura sierpień 2018Zadanie 24Statystyka

Treść: Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena	6	5	4	3	2
Liczba ocen	2	3	5	5	1

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa:

A $3$
B $3{,}5$
C $4$
D $4{,}5$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Policz dane
Liczba danych to suma liczebności, a nie liczba kolumn:
$n = 2 + 3 + 5 + 5 + 1 = 16$
Krok 2
Ustal środkowe wyrazy
Przy $n = 16$ środkowe są wyrazy ósmy i dziewiąty.
Krok 3
Licz od najmniejszej oceny
Dwójka to wyraz pierwszy, trójki to wyrazy od drugiego do szóstego, czwórki od siódmego do jedenastego. Wyraz ósmy i dziewiąty to czwórki:
$Me = \frac{4 + 4}{2} = 4$

Odpowiedź C

Tabela zaczyna się od najwyższej oceny, więc przed liczeniem przepisz ją w kolejności rosnącej albo licz uważnie od prawej strony.

Przykład 3: Niewiadoma w nieuporządkowanym zestawie

0/6

Matura maj 2014Zadanie 25Statystyka

Treść: Mediana zestawu danych $2, 12, a, 10, 5, 3$ jest równa $7$ . Wówczas:

A $a = 4$
B $a = 6$
C $a = 7$
D $a = 9$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Uporządkuj liczby bez niewiadomej
$2,\ 3,\ 5,\ 10,\ 12$
Krok 2
Ustal, gdzie stoi a
Danych jest sześć, więc mediana to średnia trzeciego i czwartego wyrazu. Gdy $a \le 5$ , mediana wynosi co najwyżej $\frac{5 + 5}{2} = 5$ . Gdy $a \ge 10$ , środkowe są $5$ i $10$ , więc mediana to $7{,}5$ . Mediana równa $7$ jest możliwa tylko dla $a$ między $5$ a $10$ , a wtedy trzecim wyrazem jest $5$ , a czwartym $a$ .
Krok 3
Rozwiąż równanie
$\frac{5 + a}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad a = 9$

Odpowiedź D

Liczba $9$ leży między $5$ a $10$ , więc uporządkowanie się zgadza: $2, 3, 5, 9, 10, 12$ .

Przykład 4: Ciąg niemalejący z wyrażeniami

0/6

Matura maj 2021Zadanie 28Statystyka

Treść: Sześciowyrazowy ciąg liczbowy $(1, 2, 2x, x + 2, 5, 6)$ jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa $4$ . Wynika stąd, że:

A $x = 1$
B $x = \frac{3}{2}$
C $x = 2$
D $x = \frac{8}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Środkowe wyrazy
Ciąg jest niemalejący, więc wyrazy stoją już w dobrej kolejności. Trzeci wyraz to $2x$ , a czwarty to $x + 2$ .
Krok 2
Równanie
$\frac{2x + (x + 2)}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad 3x + 2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
Krok 3
Sprawdzenie
Dla $x = 2$ ciąg ma postać $1, 2, 4, 4, 5, 6$ , więc rzeczywiście jest niemalejący, a jego mediana to $\frac{4 + 4}{2} = 4$ .

Odpowiedź C

Sprawdzenie w kroku 3 jest szybkie, a odsiewa wynik, który psułby założenie o niemalejącym ciągu.

Przykład 5: Cztery wyrażenia z dodatnią niewiadomą

0/6

Matura próbna marzec 2021Zadanie 28Statystyka

Treść: Liczba $x$ jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: $1 + x$ , $1 + 2x$ , $4 + 3x$ , $1$ , jest równa $10$ . Wtedy:

A $x = 6$
B $x = 5{,}5$
C $x = 2{,}5$
D $x = 1$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Uporządkuj wyrażenia
Dla $x > 0$ zachodzi $1 < 1 + x < 1 + 2x < 4 + 3x$ , bo każde kolejne wyrażenie powstaje z poprzedniego przez dodanie liczby dodatniej. Uporządkowany zestaw to $1,\ 1 + x,\ 1 + 2x,\ 4 + 3x$ .
Krok 2
Środkowe wyrazy i równanie
Przy czterech danych mediana to średnia drugiego i trzeciego wyrazu:
$\frac{(1 + x) + (1 + 2x)}{2} = 10 \quad \Rightarrow \quad 2 + 3x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 6$

Odpowiedź A

Sprawdzenie: dla $x = 6$ zestaw to $1, 7, 13, 22$ , a $\frac{7 + 13}{2} = 10$ .

Przykład 6: Dwie klasy, dwa rozkłady ocen

0/6

Matura maj 2026Zadanie 34Statystyka

Treść: Nauczyciel porównuje wyniki sprawdzianu w dwóch klasach. Liczbę uczniów, którzy otrzymali każdą ocenę, podaje tabela.

Ocena	1	2	3	4	5	6
Klasa IV A	1	6	3	3	6	1
Klasa IV B	1	3	6	6	3	1

Oceń prawdziwość stwierdzeń. Pierwsze: średnia arytmetyczna ocen w klasie IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen w klasie IV B. Drugie: mediana ocen w klasie IV A jest równa medianie ocen w klasie IV B.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Liczba uczniów
W klasie IV A jest $1 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 20$ uczniów, w klasie IV B $1 + 3 + 6 + 6 + 3 + 1 = 20$ . W obu klasach środkowe są wyrazy dziesiąty i jedenasty.
Krok 2
Mediana w klasie IV A
Jedynka to wyraz pierwszy, dwójki to wyrazy od drugiego do siódmego, trójki od ósmego do dziesiątego, czwórki od jedenastego do trzynastego. Wyraz dziesiąty to $3$ , jedenasty to $4$ , więc mediana wynosi $3{,}5$ .
Krok 3
Mediana w klasie IV B
Jedynka to wyraz pierwszy, dwójki to wyrazy od drugiego do czwartego, trójki od piątego do dziesiątego, czwórki od jedenastego do szesnastego. Znowu wyraz dziesiąty to $3$ , a jedenasty to $4$ , więc mediana wynosi $3{,}5$ .
Krok 4
Średnie
$\bar{x}_A = \frac{1 + 12 + 9 + 12 + 30 + 6}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$ $\bar{x}_B = \frac{1 + 6 + 18 + 24 + 15 + 6}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$

Odpowiedź

oba stwierdzenia są prawdziwe. Rozkłady ocen wyglądają zupełnie inaczej, a średnie i mediany wyszły równe, bo żadna z tych miar nie mówi nic o rozrzucie wyników. Rozrzut opisuje odchylenie standardowe.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Uporządkować dane niemalejąco, zapisując każdą powtarzającą się wartość tyle razy, ile występuje.
Policzyć medianę przy nieparzystej i przy parzystej liczbie danych.
Odczytać medianę z tabeli liczebności i z diagramu słupkowego bez wypisywania wszystkich danych.
Odróżnić medianę od średniej arytmetycznej i od dominanty.
Wyznaczyć niewiadomą, gdy znana jest mediana, i sprawdzić, czy wynik nie psuje uporządkowania.
Uporządkować wyrażenia z niewiadomą przy warunku w rodzaju $x > 0$ .

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z medianą z arkuszy maturalnych i ze zbioru zadań CKE: listy liczb, tabele liczebności i zestawy, w których najpierw trzeba wyznaczyć brakującą liczbę ze średniej. Jak liczyć samą średnią, gdy dane mają wagi albo stoją w tabeli, pokazuje wpis o średniej ważonej. Wszystkie zadania ze statystyki znajdziesz w dziale statystyka i w zestawieniu zadań CKE ze statystyki z rozwiązaniami.

Ocena	1	2	3	4	5	6
Liczba uczniów	2	3	7	6	4	2

wartość	$0$	$1$	$2$	$3$
liczebność	$4$	$3$	$1$	$1$

Więcej zadań z działu Statystyka

Następny krok Losuj kolejne zadanie ze statystyki

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć medianę, gdy jest parzysta liczba danych?

Uporządkuj dane od najmniejszej do największej i weź dwa środkowe wyrazy, o numerach $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2} + 1$ . Mediana to ich średnia arytmetyczna. Dla danych $2, 4, 5, 7, 9, 10$ środkowe są $5$ i $7$ , więc mediana wynosi $6$ .

Czy mediana musi być jedną z danych?

Przy nieparzystej liczbie danych tak, bo to wyraz środkowy. Przy parzystej nie musi: średnia dwóch środkowych wyrazów może być liczbą, której w danych nie ma, na przykład $3{,}5$ dla środkowych wyrazów $3$ i $4$ .

Czym różni się mediana od średniej arytmetycznej?

Średnia to suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę, więc jedna bardzo duża albo bardzo mała wartość mocno ją przesuwa. Mediana zależy tylko od wartości środkowych w uporządkowanych danych, dlatego pojedyncza wartość odstająca zwykle jej nie zmienia albo zmienia niewiele.

Jak obliczyć medianę z tabeli liczebności?

Zsumuj liczebności, żeby poznać liczbę danych, wyznacz numery środkowych wyrazów i dodawaj liczebności od najmniejszej wartości, aż dojdziesz do tych numerów. Wartość, na którą trafisz, to mediana, a przy dwóch różnych wartościach środkowych mediana to ich średnia.

Czy przed obliczeniem mediany trzeba sortować dane?

Tak, zawsze. Mediana to wyraz środkowy w danych uporządkowanych, a nie środkowa liczba z treści zadania. Bez uporządkowania wynik jest przypadkowy.

Czym różni się mediana od dominanty?

Mediana to wartość środkowa w uporządkowanych danych, a dominanta to wartość, która występuje najczęściej. W tabeli liczebności dominantę wskazuje największa liczebność, a medianę trzeba wyznaczyć, licząc wyrazy od najmniejszej wartości.

Jak obliczyć medianę - parzysta liczba danych, tabela liczebności i mediana z niewiadomą (zadania maturalne)

Co to jest mediana i czym różni się od średniej

Jak obliczyć medianę krok po kroku

Mediana z tabeli liczebności i z diagramu

Mediana z niewiadomą

Wzory

Przykład 1: Dziesięć liczb z loterii

Przykład 2: Mediana ocen z tabeli

Przykład 3: Niewiadoma w nieuporządkowanym zestawie

Przykład 4: Ciąg niemalejący z wyrażeniami

Przykład 5: Cztery wyrażenia z dodatnią niewiadomą

Przykład 6: Dwie klasy, dwa rozkłady ocen

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć medianę, gdy jest parzysta liczba danych?

Czy mediana musi być jedną z danych?

Czym różni się mediana od średniej arytmetycznej?

Jak obliczyć medianę z tabeli liczebności?

Czy przed obliczeniem mediany trzeba sortować dane?

Czym różni się mediana od dominanty?

Kategoria: Statystyka

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Zadania CKE ze statystyki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Jak obliczyć średnią ważoną - wzór, krok po kroku i zadania maturalne

Jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję - wzór, krok po kroku, zadania maturalne