Ile rozwiązań ma równanie z parametrem - równanie iloczynowe i parametr przy x kwadrat (matura rozszerzona)

Liczba rozwiązań równania z parametrem zależy od trzech rzeczy, sprawdzanych w tej kolejności: czy współczynnik przy $x^2$ zeruje się dla jakiegoś $m$ (równanie przestaje być kwadratowe), jaki znak ma wyróżnik $\Delta(m)$ i, w równaniu iloczynowym, czy pierwiastki poszczególnych czynników się pokrywają. Równanie $a(m)x^2 + b(m)x + c(m) = 0$ ma dokładnie dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $a(m) \neq 0$ i $\Delta(m) > 0$. Równanie $(x - p)(ax^2 + bx + c) = 0$ ma dokładnie trzy rozwiązania, gdy czynnik kwadratowy ma dwa różne pierwiastki i żaden z nich nie jest równy $p$, a dokładnie dwa, gdy jeden z tych pierwiastków pokrywa się z $p$ albo gdy czynnik kwadratowy ma pierwiastek podwójny różny od $p$.

Na maturze rozszerzonej to zwykle zadanie otwarte za 4 do 6 punktów, czasem krótkie zadanie zamknięte, i w każdym arkuszu wygląda trochę inaczej. W czerwcu 2021 (zadanie 12, 5 pkt) CKE pytało o dokładnie dwa rozwiązania równania $(x-3)(x^2+(m-1)x-6m^2+2m)=0$, w czerwcu 2022 (zadanie 13, 6 pkt) o trzy różne rozwiązania równania z czynnikiem $(x-4)$, w czerwcu 2023 (zadanie 10 w arkuszu formuły 2023, 5 pkt) parametr stał przy $x^2$ w równaniu $mx^2-(m+1)x-2m+3=0$, a w arkuszu pokazowym z marca 2022 (zadanie 4, 5 pkt) parametr przy $x^2$ siedział w środku iloczynu. Zanim dojdziesz do warunku dodatkowego, musisz ustalić, dla jakich $m$ równanie w ogóle ma tyle rozwiązań, ile żąda polecenie. Ten wpis jest o tym etapie: o drzewie decyzyjnym dla równania kwadratowego z parametrem, o równaniu liniowym, które zostaje po wyzerowaniu $a(m)$, i o równaniu iloczynowym, w którym pierwiastki potrafią się pokrywać. Warunki na pierwiastki (znaki, suma kwadratów, odległość) to dalszy ciąg, opisany we wpisach o dyskusji funkcji kwadratowej z parametrem i o wzorach Viete'a; tutaj pojawiają się tylko tam, gdzie wymaga ich konkretne zadanie z arkusza.

Kiedy równanie kwadratowe z parametrem ma 0, 1 albo 2 rozwiązania

Równanie $a(m)x^2 + b(m)x + c(m) = 0$ sprawdzasz w dwóch gałęziach. Jeśli $a(m) = 0$, zostaje równanie liniowe $b(m)x + c(m) = 0$ i liczysz jego rozwiązania osobno. Jeśli $a(m) \neq 0$, o liczbie rozwiązań decyduje znak wyróżnika: $\Delta < 0$ daje zero rozwiązań, $\Delta = 0$ jedno (podwójne), $\Delta > 0$ dwa różne.

Całe drzewo decyzyjne w jednej tabeli:

Polecenie „dokładnie dwa różne rozwiązania" wybiera z tej tabeli tylko ostatni wiersz. Warunek ma więc dwa człony i oba są obowiązkowe: $a(m) \neq 0$ oraz $\Delta(m) > 0$. Kto liczy samą deltę, dla równania $mx^2 - (m+1)x - 2m + 3 = 0$ dostaje $\Delta = (9m-1)(m-1)$ i pisze $m < \frac{1}{9}$ lub $m > 1$. W tym zbiorze siedzi jednak $m = 0$, dla którego równanie to $-x + 3 = 0$ z jednym rozwiązaniem. Poprawny zbiór po tym kroku to $m \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)$.

Jeżeli współczynnik przy $x^2$ jest liczbą (jak w równaniu $x^2 - 3mx + 2m^2 + 1 = 0$ z czerwca 2017 albo $x^2 + mx + m = 0$ z czerwca 2026), gałąź $a(m) = 0$ odpada i od razu liczysz deltę. Zapisz to mimo wszystko jednym zdaniem: „współczynnik przy $x^2$ jest równy 1, więc równanie jest kwadratowe dla każdego $m$". Egzaminator widzi wtedy, że przypadek rozpatrzyłeś, a nie przeoczyłeś. Sam wzór na deltę i jego typowe błędy rachunkowe masz osobno we wpisie o delcie równania kwadratowego.

Ile rozwiązań ma równanie liniowe z parametrem

Równanie $Ax = B$, w którym $A$ i $B$ zależą od $m$, ma jedno rozwiązanie $x = \frac{B}{A}$, gdy $A \neq 0$; nie ma rozwiązań, gdy $A = 0$ i $B \neq 0$; każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem, gdy $A = 0$ i $B = 0$. Najpierw sprawdzasz, kiedy zeruje się $A$, i dopiero dla tych wartości patrzysz na $B$.

Ten schemat wraca w dwóch miejscach: jako samodzielne zadanie zamknięte (czerwiec 2019, zadanie 1) i jako gałąź $a(m) = 0$ w równaniu kwadratowym. W drugim przypadku najczęstszy wynik to jedno rozwiązanie, więc dla polecenia „dokładnie dwa" ta gałąź zwykle odpada, ale musisz to napisać, nie założyć. Szersze omówienie równań i funkcji liniowych z $m$ masz we wpisie o funkcji liniowej z parametrem, a to samo liczenie rozwiązań dla dwóch równań naraz we wpisie o układzie równań z parametrem.

Równanie iloczynowe z parametrem: dokładnie dwa albo dokładnie trzy rozwiązania

Zbiór rozwiązań równania $(x - p)(ax^2 + bx + c) = 0$ to suma zbiorów rozwiązań obu czynników, więc $p$ jest rozwiązaniem zawsze, a pozostałe rozwiązania pochodzą z czynnika kwadratowego. Liczysz jego pierwiastki, a potem sprawdzasz, czy któryś z nich jest równy $p$: podstawiasz $x = p$ do czynnika kwadratowego i rozwiązujesz otrzymane równanie względem $m$.

Wszystkie możliwości dla $a \neq 0$:

• •Dokładnie trzy rozwiązania: $\Delta > 0$ i $ap^2 + bp + c \neq 0$.
• •Dokładnie dwa rozwiązania: $\Delta > 0$ i $ap^2 + bp + c = 0$ (jeden pierwiastek czynnika pokrywa się z $p$) albo $\Delta = 0$ i pierwiastek podwójny $x_0 = -\frac{b}{2a}$ jest różny od $p$.
• •Dokładnie jedno rozwiązanie: $\Delta < 0$ albo $\Delta = 0$ i $x_0 = p$.

Jeśli współczynnik przy $x^2$ w czynniku kwadratowym zależy od $m$, dochodzi gałąź $a(m) = 0$: czynnik staje się liniowy i daje co najwyżej jedno rozwiązanie, które też porównujesz z $p$. W zadaniu pokazowym z marca 2022 dla $m = 2$ czynnik $(m-2)x^2 - 4(m+3)x + m + 1$ zamienia się w $-20x + 3$, więc równanie ma dwa rozwiązania, nie trzy.

Warunek „dokładnie dwa" ma dwie gałęzie i obie trzeba zapisać. W zadaniu z czerwca 2021 gałąź $\Delta = 0$ daje $m = \frac{1}{5}$, a gałąź „3 jest pierwiastkiem czynnika" daje $m = \frac{3}{2}$ i $m = -\frac{2}{3}$. Odpowiedź bez którejkolwiek z nich jest niepełna. Podstawy tego rozumowania (czynnik bez pierwiastków, pierwiastek podwójny liczony raz) są we wpisie o równaniu iloczynowym bez parametru, a gdy czynnik jest trzeciego stopnia, najpierw rozkładasz go metodą grupowania i sprawdzasz, ile z jego pierwiastków jest rzeczywistych.

Nierówność z deltą i zapis odpowiedzi

Wyróżnik $\Delta(m)$ jest zwykle trójmianem kwadratowym zmiennej $m$, więc warunek $\Delta(m) > 0$ to zwykła nierówność kwadratowa: liczysz miejsca zerowe, szkicujesz parabolę i odczytujesz przedział. Odpowiedź końcowa to część wspólna wszystkich warunków, zapisana jako zbiór, z wyrzuconymi pojedynczymi punktami.

Trzy nawyki, które porządkują ten etap:

1. 1.Każdy warunek rozwiązuj osobno i zapisuj jego zbiór, na przykład $W_1: m \neq 0$ oraz $W_2: m \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)$.
2. 2.Gdy $\Delta(m)$ jest kwadratem, jak $(5m-1)^2$ w zadaniu z czerwca 2021, nierówność $\Delta > 0$ oznacza po prostu $m \neq \frac{1}{5}$; nie szkicuj paraboli na siłę.
3. 3.Część wspólną rysuj na osi $m$: przedziały jeden pod drugim, punkty wyłączone jako puste kółka. Zbiór $(-4-2\sqrt{6}, 0) \cup (0, \frac{1}{9})$ zapisany jako $(-4-2\sqrt{6}, \frac{1}{9})$ jest błędny, bo zawiera $m = 0$.

Wzory

Sześć zadań poniżej idzie od najprostszego do najbogatszego: równanie liniowe, parametr przy $x^2$, dwa równania iloczynowe, parametr przy $x^2$ w środku iloczynu i czynnik trzeciego stopnia. Treści wszystkich zadań są dostępne za darmo na ich stronach w bazie, a rozwiązania zadań z poziomu rozszerzonego odblokowuje pakiet Premium+.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z działu, których nie ma wyżej: parametr przy $x^2$ w postaci $(3-m)$, $(2-m)$, $(m+1)$, $m^2$ i ułamka zależnego od $m$, plus bliźniacze zadanie z czerwca 2023 z arkusza formuły 2015. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz na stronie Równania z parametrem, a plan całej powtórki na stronie matury rozszerzonej i we wpisie o wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027.

• Matura rozszerzona czerwiec 2024 (formuła 2023)Zadanie 126 pkt
  Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie$(3 - m) \cdot x^2 + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^2 = 0$ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek$x_1^2 + x_2^2 = x_1 \cdot x_2 + 7$Zapisz obliczenia.
• Matura rozszerzona maj 2025Zadanie 116 pkt
  Funkcja $f$ jest określona wzorem$f(x) = (2 - m)x^2 - 2(2m + 1)x + m + 8$dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$.
  
  Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek$(x_1 - x_2)^2 \le 180$Zapisz obliczenia.
• Matura rozszerzona maj 2015Zadanie 135 pkt
  Dany jest trójmian kwadratowy $f(x) = \left(m+1\right)x^2 + 2\left(m-2\right)x - m + 4$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$, spełniające warunek $x_1^2 - x_2^2 = x_1^4 - x_2^4$.
• Matura rozszerzona maj 2026Zadanie 105 pkt
  Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m \neq 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem$f(x) = m^2 \cdot x^2 - 2mx - m + 1$ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ należące do przedziału $(-2, 2)$.
  Zapisz obliczenia.
• Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2015)Zadanie 125 pkt
  Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie$mx^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0$ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:$x_1 \neq 0, \quad x_2 \neq 0 \quad \text{oraz} \quad \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} < 1$
• Matura rozszerzona czerwiec 2015Zadanie 156 pkt
  Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{m^2 + m - 6}{m - 5}x^2 - \left(m - 2\right)x + m - 5$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz całkowite wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Następny krok Losuj kolejne zadanie z równań z parametrem

Najczęstsze pytania o liczbę rozwiązań równania z parametrem