Pochodna funkcji - wzory, jak obliczyć i zadania z matury rozszerzonej

Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $(x_0, f(x_0))$. Liczysz ją z gotowych wzorów: $(x^n)' = nx^{n-1}$, pochodna stałej jest równa zeru, a suma, iloczyn i iloraz mają własne reguły. Znak pochodnej mówi o monotoniczności funkcji: tam, gdzie $f'(x) > 0$, funkcja rośnie, tam, gdzie $f'(x) < 0$, maleje, a miejsce zerowe pochodnej ze zmianą znaku daje ekstremum lokalne.

Pochodna to materiał poziomu rozszerzonego: wszystkie zadania z działu rachunek różniczkowy w bazie Sprawnej Matury pochodzą z arkuszy rozszerzonych, a w arkuszach podstawowych tego narzędzia nie ma. Za to na rozszerzeniu pochodna wraca w każdej sesji i w kilku różnych przebraniach: raz jako czyste liczenie pochodnej wzorem, raz jako styczna do wykresu, raz jako badanie monotoniczności, a raz jako zadanie optymalizacyjne, w którym trzeba znaleźć wymiary bryły o największej objętości. Ten wpis pokazuje mechanikę: wzory, schemat liczenia, pięć rozwiązanych przykładów i pułapki, które kosztują punkty nawet wtedy, gdy sama pochodna wyszła dobrze. Pełną listę tematów rozszerzenia znajdziesz w przewodniku o wymaganiach matury rozszerzonej.

Co to jest pochodna i co mówi jej wartość

Pochodna mierzy, jak szybko zmienia się wartość funkcji. Formalnie $f'(x_0)$ to granica ilorazu różnicowego, czyli granica ilorazu przyrostu wartości funkcji i przyrostu argumentu, gdy ten drugi dąży do zera. Geometrycznie ten iloraz to współczynnik kierunkowy siecznej przechodzącej przez dwa punkty wykresu, a w granicy sieczna staje się styczną.

Z definicji na maturze liczy się rzadko, bo do wszystkiego, co pojawia się w arkuszach, wystarczą gotowe wzory. Definicja jest jednak potrzebna do jednej rzeczy: pokazuje, dlaczego $f'(x_0)$ to liczba, a $f'(x)$ to funkcja. Zapis $f'(2) = 7$ znaczy „w punkcie o odciętej $2$ styczna do wykresu ma współczynnik kierunkowy $7$", czyli jest nachylona do osi $OX$ tak samo jak prosta $y = 7x$. Więcej o samym współczynniku kierunkowym i jego związku z kątem nachylenia znajdziesz we wpisie o kącie nachylenia prostej do osi OX.

Trzy odczyty tej samej liczby, które musisz mieć w głowie:

• •$f'(x_0) > 0$ - w otoczeniu $x_0$ funkcja rośnie, styczna wznosi się w prawo;
• •$f'(x_0) < 0$ - funkcja maleje, styczna opada;
• •$f'(x_0) = 0$ - styczna jest pozioma, czyli funkcja ma tam kandydata na ekstremum.

Słowo „kandydat" jest tu kluczowe i wrócimy do niego w pułapkach.

Poza geometrią pochodna ma jeszcze jedno czytelne znaczenie: opisuje tempo zmiany. Jeśli $s(t)$ to droga przebyta w czasie $t$, to $s'(t)$ jest prędkością chwilową w tym momencie, bo iloraz różnicowy drogi i czasu to nic innego niż prędkość średnia na krótkim odcinku. Ten sam obraz działa wszędzie tam, gdzie coś rośnie lub maleje w czasie, i dlatego pochodna jest podstawowym narzędziem w zadaniach o wartości największej i najmniejszej.

Warto też znać zapisy, bo w różnych źródłach spotkasz różne. $f'(x)$ czyta się „ef prim od iks", zapis $y'$ oznacza to samo, gdy funkcja jest opisana równaniem $y = \dots$, a symbol $\frac{df}{dx}$ podkreśla, względem której zmiennej różniczkujesz. W arkuszach maturalnych używany jest niemal wyłącznie pierwszy zapis, ale pozostałe dwa pojawiają się w podręcznikach i w zadaniach z fizyki.

Wzory

Wzory na pochodne podstawowych funkcji i reguły różniczkowania są w karcie wzorów, więc nie musisz ich odtwarzać z pamięci. Musisz za to wiedzieć, którego użyć i w jakiej kolejności.

Dwa ostatnie wzory to szczególne przypadki wzoru na pochodną potęgi, bo $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ oraz $\frac{1}{x} = x^{-1}$. Jeśli sprawnie zamieniasz pierwiastki i ułamki na potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym, masz do zapamiętania jeden wzór zamiast trzech.

Jak obliczyć pochodną krok po kroku

Schemat jest zawsze ten sam i warto się go trzymać nawet w prostych przykładach, bo to on chroni przed błędem rachunkowym w trudnych.

Krok 1: Uprość zapis funkcji. Pierwiastki i ułamki zamień na potęgi, wymnóż nawiasy, jeśli wymnożenie jest krótsze niż reguła iloczynu.

Krok 2: Rozpoznaj strukturę. Suma składników liczy się składnik po składniku. Iloczyn dwóch wyrażeń zmiennych wymaga reguły iloczynu. Ułamek, w którym zmienna stoi w mianowniku, wymaga reguły ilorazu.

Krok 3: Zastosuj wzór do każdego składnika osobno. Stałe czynniki przepisujesz bez zmian, a różniczkujesz tylko to, co zależy od $x$.

Krok 4: Uporządkuj wynik. W regule ilorazu licznik zwykle da się skrócić i to właśnie z tej uproszczonej postaci odczytasz później miejsca zerowe pochodnej.

Pochodna z definicji, gdy zadanie tego wymaga

Czasem polecenie brzmi „korzystając z definicji pochodnej" i wtedy gotowe wzory nie wystarczą. Trzeba wrócić do ilorazu różnicowego, uprościć go algebraicznie i dopiero potem przejść do granicy. Zobacz to na najprostszym możliwym przykładzie, funkcji $f(x) = x^2$.

Podstawiasz do definicji i rozwijasz kwadrat sumy:

Teraz kluczowy moment: dopóki $h \neq 0$, wolno skrócić ułamek przez $h$, a to zdejmuje symbol nieoznaczony.

Wynik $f'(x) = 2x$ zgadza się ze wzorem na pochodną potęgi, co jest dobrą kontrolą. Zapamiętaj sam mechanizm: bez skrócenia przez $h$ w liczniku i mianowniku zostaje zero, czyli symbol nieoznaczony, a całe zadanie stoi w miejscu. Ta sama technika, czyli rozłożenie licznika i skrócenie, wraca w każdym zadaniu z granicami funkcji wymiernych.

Styczna do wykresu, czyli po co liczysz pochodną

Najczęstszy sposób, w jaki pochodna wchodzi do zadania, to styczna. Wzór jest jeden i wynika wprost z równania prostej o zadanym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez zadany punkt, które rozpisujemy we wpisie o wyznaczaniu równania prostej.

Zadania na maturze rozszerzonej rzadko pytają wprost „wyznacz styczną". Częściej podają warunek na tę styczną i każą znaleźć punkt: styczna ma być równoległa do danej prostej (czyli $f'(x_0)$ ma być równe jej współczynnikowi kierunkowemu), prostopadła do niej (iloczyn współczynników równy $-1$) albo nachylona do osi pod danym kątem ($f'(x_0) = \mathrm{tg}\,\alpha$). We wszystkich tych wariantach schemat jest ten sam: zamieniasz warunek geometryczny na równanie z pochodną, rozwiązujesz je i dopiero potem liczysz rzędną.

Zobacz to na jednym warunku. Szukasz punktu, w którym styczna do wykresu $f(x) = x^3 - 3x + 1$ jest równoległa do prostej $y = 9x - 4$. Prosta ma współczynnik kierunkowy $9$, więc warunek równoległości daje równanie $f'(x_0) = 9$, czyli $3x_0^2 - 3 = 9$. Stąd $x_0^2 = 4$, a więc $x_0 = 2$ albo $x_0 = -2$. Punktów jest zatem dwa i oba trzeba w odpowiedzi wymienić, bo równanie kwadratowe rzadko ma tylko jedno rozwiązanie. Gdyby styczna miała być prostopadła do prostej o współczynniku $m$, zamiast $f'(x_0) = m$ rozwiązywałbyś $f'(x_0) = -\frac{1}{m}$, a resztę robiłbyś identycznie. Warunki równoległości i prostopadłości prostych zebraliśmy we wpisie o prostych równoległych i prostopadłych.

Jak pochodna wchodzi do zadania maturalnego

W arkuszach rozszerzonych pochodna pojawia się w czterech powtarzalnych rolach i warto je rozpoznawać po pierwszym zdaniu polecenia.

Rola pierwsza: policz wartość pochodnej. Zadanie podaje wzór funkcji i pyta o $f'(x_0)$ albo o współczynnik kierunkowy stycznej. Punkt dostajesz za poprawne zróżniczkowanie i podstawienie, więc liczy się wyłącznie rachunkowa staranność.

Rola druga: warunek na styczną. Zadanie opisuje styczną słowami (równoległa, prostopadła, przechodząca przez dany punkt) i każe znaleźć punkt styczności albo parametr we wzorze funkcji. Tu pochodna jest tylko pierwszym krokiem, a resztą jest zwykłe równanie.

Rola trzecia: monotoniczność i ekstrema. Zadanie prosi o przedziały monotoniczności, wartość ekstremalną albo wartość najmniejszą i największą w przedziale domkniętym. Rozwiązanie to zawsze pochodna, jej miejsca zerowe i tabela znaków.

Rola czwarta: optymalizacja. Zadanie opisuje figurę albo bryłę i każe znaleźć wymiary, przy których pewna wielkość jest największa lub najmniejsza. Najtrudniejszy jest tu nie rachunek, tylko zapisanie tej wielkości jako funkcji jednej zmiennej wraz z jej dziedziną, bo dopiero potem wchodzi pochodna.

We wszystkich czterech rolach schemat obliczeniowy jest ten sam, a różni je wyłącznie to, co trzeba zrobić przed policzeniem pochodnej i po odczytaniu jej znaku.

Monotoniczność i ekstrema w skrócie

Drugie duże zastosowanie pochodnej to badanie przebiegu funkcji. Kolejność działań:

Krok 1: Wyznacz dziedzinę. Bez niej reszta jest zgadywaniem.

Krok 2: Policz pochodną i przyrównaj ją do zera. Miejsca zerowe pochodnej to kandydaci na ekstrema.

Krok 3: Zbadaj znak pochodnej. Najwygodniej w tabeli: przedziały, znak $f'$, strzałka monotoniczności.

Krok 4: Odczytaj ekstrema. Zmiana znaku z plusa na minus to maksimum lokalne, z minusa na plus to minimum lokalne.

Przy wielomianie znak pochodnej odczytasz z jej postaci iloczynowej, więc przyda się umiejętność rozkładania wielomianu na czynniki. Przy funkcji wymiernej mianownik pochodnej jest kwadratem, czyli dodatni w całej dziedzinie, i o znaku decyduje sam licznik.

Weź $f(x) = x^3 - 3x^2$ określoną dla każdej liczby rzeczywistej. Pochodna to $f'(x) = 3x^2 - 6x$, a po wyciągnięciu wspólnego czynnika $f'(x) = 3x(x-2)$. Miejsca zerowe pochodnej to $x = 0$ i $x = 2$, a znak iloczynu odczytujesz z paraboli o ramionach w górę: dodatni poza przedziałem $(0, 2)$, ujemny wewnątrz niego. Wniosek: funkcja rośnie w przedziale $(-\infty, 0\rangle$, maleje w $\langle 0, 2 \rangle$ i znowu rośnie w $\langle 2, +\infty)$. W $x = 0$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc jest tam maksimum lokalne o wartości $f(0) = 0$. W $x = 2$ zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest tam minimum lokalne o wartości $f(2) = 8 - 12 = -4$. Zauważ, że maksimum lokalne bywa mniejsze od wielu innych wartości funkcji: słowo „lokalne" znaczy dokładnie tyle, że porównujesz tylko z najbliższym otoczeniem.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy rozszerzonych, w których pochodna jest głównym narzędziem. Zacznij od tych, w których liczysz pochodną wprost, a potem przejdź do zadań ze styczną i ekstremum.

• Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2023)Zadanie 43 pkt
  Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 9x$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Punkt $P = (x_0, 18)$ należy do wykresu funkcji $f$.
  
  Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.
• Matura rozszerzona maj 2015Zadanie 124 pkt
  Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y = 4x$.
• Matura rozszerzona czerwiec 2018Zadanie 52 pkt
  Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 1$, poprowadzonej w punkcie $A = \left( 6, \frac{36}{5} \right)$ tego wykresu.
  
  W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
• Matura rozszerzona maj 2017Zadanie 63 pkt
  Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P = (1, 0)$.
• Matura rozszerzona maj 2016Zadanie 41 pkt
  Funkcja $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x^2 + 4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem
• Matura rozszerzona czerwiec 2020Zadanie 31 pkt
  Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \\dfrac{3x + 1}{x^2 + 1}$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Pochodna $f'$ tej funkcji jest określona wzorem

Najczęstsze pytania