Reszta z dzielenia wielomianu z parametrem - matura PR

Q: Jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu bez dzielenia?

Skorzystaj z twierdzenia Bezout: reszta z dzielenia W(x) przez x - a jest równa W(a). Wystarczy podstawić liczbę, dla której dzielnik się zeruje, i policzyć wartość wielomianu. Dzielenie pisemne albo schemat Hornera są potrzebne dopiero wtedy, gdy chcesz znać iloraz.

Q: Kiedy wielomian jest podzielny przez dwumian?

Wielomian W(x) jest podzielny przez x - a wtedy i tylko wtedy, gdy W(a) = 0, czyli gdy a jest jego pierwiastkiem. Z tego warunku wyznaczasz parametr w zadaniach typu „dla jakiego p wielomian jest podzielny przez x - 1".

Q: Co zrobić, gdy dzielnikiem jest 2x - 1, a nie x - a?

Znajdź liczbę, dla której dzielnik się zeruje: 2x - 1 = 0 daje x = 1/2. Reszta z dzielenia przez 2x - 1 jest równa W(1/2). Iloraz jest wtedy inny niż przy dzieleniu przez x - 1/2, ale reszta ta sama.

Q: Czym różni się reszta z dzielenia wielomianu od ilorazu?

Iloraz Q(x) to wielomian, który mnożysz przez dzielnik, a reszta to to, co zostaje: W(x) = (x - a)Q(x) + r. Twierdzenie Bezout daje szybko tylko resztę. Iloraz liczysz dzieleniem pisemnym albo schematem Hornera, gdy chcesz rozłożyć wielomian na czynniki, jak w kroku 4 przykładu 7.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x - a$ jest równa $W(a)$ . To twierdzenie Bezout i na nim stoi każde zadanie z matury rozszerzonej, w którym we wzorze wielomianu siedzi parametr: warunek „reszta z dzielenia przez $x - a$ wynosi $r$ " zapisujesz jako równanie $W(a) = r$ , a warunek „wielomian jest podzielny przez $x - a$ " jako $W(a) = 0$ . Każdy taki warunek daje jedno równanie, więc dwa warunki wyznaczają dwa nieznane współczynniki. Reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia $R(x) = px + q$ .

Na maturze rozszerzonej ten mechanizm pojawia się w dwóch rozmiarach. Krótkie zadanie zamknięte za 1 punkt pyta wprost o resztę albo o parametr, przy którym wielomian dzieli się bez reszty. Długie zadanie otwarte za 4 do 6 punktów używa reszty tylko na starcie: w maju 2022 (zadanie 9) z reszty wyznaczało się parametr $m$ , a potem rozwiązywało nierówność wielomianową, w maju 2019 (zadanie 13) parametr wynikał z dwóch warunków naraz. Ogólne wiadomości o dzieleniu wielomianów, schemacie Hornera i szukaniu pierwiastków wymiernych masz we wpisie o wielomianach na maturze. Tu skupiam się na jednym typie polecenia: reszta albo podzielność plus niewiadomy współczynnik.

Twierdzenie Bezout: skąd reszta równa W(a)

Dzielenie wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x - a$ daje iloraz $Q(x)$ i resztę $r$ , która jest liczbą (stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, a dzielnik ma stopień 1):

W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + r

Wstaw do tej równości $x = a$ . Pierwszy składnik zeruje się, bo zawiera czynnik $a - a = 0$ , i zostaje $W(a) = r$ . Całe dzielenie pisemne można więc pominąć: resztę liczysz jednym podstawieniem.

Dwa wnioski, z których korzystasz w każdym zadaniu:

• $W(x)$ jest podzielny przez $x - a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(a) = 0$ , czyli gdy $a$ jest pierwiastkiem wielomianu.
•Dzielnik $x + 2$ to $x - (-2)$ , więc podstawiasz $-2$ , nie $2$ . Znak liczby do podstawienia jest przeciwny do znaku w nawiasie.

Gdy dzielnik ma stopień 2, na przykład $(x - 1)(x + 2)$ , reszta ma stopień co najwyżej 1 i zapisujesz ją jako $R(x) = px + q$ z dwiema niewiadomymi. Podstawienie obu pierwiastków dzielnika daje dwa równania na $p$ i $q$ .

Wzory

Twierdzenie Bezout:

W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + W(a)

Warunek podzielności przez dwumian:

(x - a) \mid W(x) \iff W(a) = 0

Reszta z dzielenia przez trójmian:

W(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdot Q(x) + px + q

Reszta z dzielenia przez dwumian liniowy:

\text{reszta z dzielenia } W(x) \text{ przez } (bx - c) = W\!\left(\tfrac{c}{b}\right)

Ostatni wzór przydaje się, gdy dzielnik ma przy $x$ współczynnik różny od jedynki. Dla dzielnika $2x - 1$ resztą jest $W\left(\frac{1}{2}\right)$ , bo $2x - 1$ zeruje się właśnie w $\frac{1}{2}$ .

Przykład 1: Reszta jednym podstawieniem

0/7

Matura rozszerzona czerwiec 2023Zadanie 3Wielomiany

Treść: Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 7$ przez dwumian $x + 2$ jest równa:

A $(-63)$
B $(-39)$
C $25$
D $41$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Ustal liczbę do podstawienia
Dwumian $x + 2$ zeruje się dla $x = -2$ , więc reszta to $W(-2)$ .
Krok 2
Policz W(-2), każdą potęgę osobno
$W(-2) = 5 \cdot (-8) - 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) - 7 = -40 - 12 - 4 - 7 = -63$

Odpowiedź A

Reszta jest równa $-63$ . To zadanie pochodzi z arkusza formuły 2015.

Przykład 2: Parametr z warunku podzielności

0/7

Matura rozszerzona maj 2016Zadanie 2Wielomiany

Treść: Wielomian $W(x) = 6x^3 + 3x^2 - 5x + p$ jest podzielny przez dwumian $x - 1$ dla $p$ równego:

A $4$
B $-2$
C $2$
D $-4$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zamień podzielność na równanie
Podzielność przez $x - 1$ oznacza $W(1) = 0$ .
Krok 2
Podstaw i rozwiąż
$W(1) = 6 + 3 - 5 + p = 4 + p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = -4$

Odpowiedź D

Dla $p = -4$ liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykład 3: Wielomian z ogromnymi wykładnikami

0/7

Matura rozszerzona maj 2020Zadanie 1Wielomiany

Treść: Wielomian $W(x) = x^{2019} - 3x^{2000} + 2x + 6$ :

Ajest podzielny przez $(x-1)$ i z dzielenia przez $(x+1)$ daje resztę $6$
Bjest podzielny przez $(x+1)$ i z dzielenia przez $(x-1)$ daje resztę $6$
Cjest podzielny przez $(x-1)$ i przez $(x+1)$
Dnie jest podzielny ani przez $(x-1)$ , ani przez $(x+1)$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Policz W(1)
Każda potęga jedynki to $1$ :
$W(1) = 1 - 3 + 2 + 6 = 6$
Reszta z dzielenia przez $x - 1$ wynosi $6$ , więc przez $x - 1$ wielomian się nie dzieli.
Krok 2
Policz W(-1)
Wykładnik $2019$ jest nieparzysty, więc $(-1)^{2019} = -1$ . Wykładnik $2000$ jest parzysty, więc $(-1)^{2000} = 1$ :
$W(-1) = -1 - 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 6 = -1 - 3 - 2 + 6 = 0$
Reszta z dzielenia przez $x + 1$ wynosi $0$ , więc wielomian jest przez $x + 1$ podzielny.

Odpowiedź B

Wykładnik rzędu dwóch tysięcy nie ma tu znaczenia, liczy się tylko jego parzystość.

Przykład 4: Dwie reszty, dwa współczynniki

0/7

Matura rozszerzona maj 2010Zadanie 4Wielomiany

Treść: Wyznacz wartości $a$ i $b$ współczynników wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ wiedząc, że $W(2) = 7$ oraz że reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x - 3)$ jest równa $10$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zapisz pierwszy warunek
$W(2) = 8 + 4a + 2b + 1 = 7 \quad\Rightarrow\quad 4a + 2b = -2 \quad\Rightarrow\quad 2a + b = -1$
Krok 2
Zamień resztę na drugi warunek
Z twierdzenia Bezout reszta z dzielenia przez $x - 3$ to $W(3)$ :
$W(3) = 27 + 9a + 3b + 1 = 10 \quad\Rightarrow\quad 9a + 3b = -18 \quad\Rightarrow\quad 3a + b = -6$
Krok 3
Rozwiąż układ
Odejmij pierwsze równanie od drugiego: $(3a + b) - (2a + b) = -6 - (-1)$ , więc $a = -5$ . Wtedy $b = -1 - 2a = -1 + 10 = 9$ .
Krok 4
Sprawdź
$W(2) = 8 - 20 + 18 + 1 = 7$ oraz $W(3) = 27 - 45 + 27 + 1 = 10$ . Oba warunki się zgadzają.

Odpowiedź

$a = -5$ , $b = 9$ .

Przykład 5: Z dwóch reszt trzecia

0/7

Matura próbna CKE marzec 2021Zadanie 10Wielomiany

Treść: Reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + bx^3 + cx^2$ przez dwumiany $(x - 2)$ i $(x - 3)$ są odpowiednio równe $(-8)$ oraz $(-18)$ . Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x - 4)$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zapisz oba warunki
$W(2) = 16 + 8b + 4c = -8 \quad\Rightarrow\quad 2b + c = -6$ $W(3) = 81 + 27b + 9c = -18 \quad\Rightarrow\quad 3b + c = -11$
Krok 2
Rozwiąż układ
Odejmując równania, dostajesz $b = -5$ , a stąd $c = -6 - 2b = -6 + 10 = 4$ . Wielomian to $W(x) = x^4 - 5x^3 + 4x^2$ .
Krok 3
Policz resztę z dzielenia przez x - 4
$W(4) = 256 - 5 \cdot 64 + 4 \cdot 16 = 256 - 320 + 64 = 0$

Odpowiedź

reszta jest równa $0$ , czyli $W$ dzieli się przez $x - 4$ . Widać to też z rozkładu $W(x) = x^2(x - 1)(x - 4)$ .

Przykład 6: Reszta z dzielenia przez trójmian kwadratowy

0/7

Wielomiany

Treść: Wielomian $W(x)$ przy dzieleniu przez $x - 1$ daje resztę $3$ , a przy dzieleniu przez $x + 2$ daje resztę $-6$ . Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x - 1)(x + 2)$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zapisz postać reszty
Dzielnik ma stopień 2, więc reszta ma stopień co najwyżej 1:
$W(x) = (x - 1)(x + 2) \cdot Q(x) + px + q$
Krok 2
Przełóż reszty na wartości wielomianu
Z twierdzenia Bezout $W(1) = 3$ i $W(-2) = -6$ . Podstawienie $x = 1$ i $x = -2$ zeruje iloczyn z $Q(x)$ :
$p + q = 3, \qquad -2p + q = -6$
Krok 3
Rozwiąż układ
Odejmij drugie równanie od pierwszego: $3p = 9$ , więc $p = 3$ i $q = 0$ .

Odpowiedź

reszta z dzielenia przez $(x - 1)(x + 2)$ to $R(x) = 3x$ . Nie znasz samego wielomianu, a mimo to reszta jest wyznaczona jednoznacznie.

Przykład 7: Parametr z reszty, potem nierówność

0/7

Matura rozszerzona maj 2022Zadanie 9Wielomiany

Treść: Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m$ przez dwumian $x + 2$ jest równa $(-30)$ . Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \geq 0$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Wyznacz m z reszty
Reszta to $W(-2)$ :
$W(-2) = -32 - 24 + 2(5m + 1) - 2m = -54 + 8m$
Z warunku $-54 + 8m = -30$ dostajesz $8m = 24$ , czyli $m = 3$ .
Krok 2
Zapisz wielomian dla m = 3
$W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 = 2(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3)$
Krok 3
Znajdź pierwiastek wymierny
Kandydaci to dzielniki $3$ podzielone przez dzielniki $2$ . Dla $x = 3$ : $54 - 27 - 24 - 3 = 0$ , więc $3$ jest pierwiastkiem.
Krok 4
Rozłóż na czynniki
Dzieląc przez $x - 3$ , dostajesz $2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = (x - 3)(2x^2 + 3x + 1)$ , a trójmian rozkłada się dalej:
$W(x) = 2(x - 3)(2x + 1)(x + 1)$
Krok 5
Rozwiąż nierówność
Pierwiastki to $-1$ , $-\frac{1}{2}$ i $3$ , wszystkie jednokrotne, a współczynnik przy $x^3$ jest dodatni. Wykres idzie od dołu, więc $W(x) \geq 0$ między $-1$ a $-\frac{1}{2}$ oraz od $3$ w prawo.

Odpowiedź

$m = 3$ , a zbiór rozwiązań to $x \in \left\langle -1, -\frac{1}{2} \right\rangle \cup \langle 3, +\infty)$ .

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Obliczyć resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian $x - a$ , podstawiając $a$ zamiast dzielić pisemnie.
Zamienić warunek podzielności przez $x - a$ na równanie $W(a) = 0$ .
Ułożyć i rozwiązać układ dwóch równań, gdy treść podaje dwie reszty i dwa nieznane współczynniki.
Zapisać resztę z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia jako $px + q$ i wyznaczyć $p$ oraz $q$ .
Po wyznaczeniu parametru rozłożyć wielomian na czynniki i rozwiązać nierówność wielomianową.
Wykorzystać parzystość wykładnika przy liczeniu $W(-1)$ dla wielomianów wysokiego stopnia.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania z wielomianów z arkuszy rozszerzonych: reszta i parametr, podzielność przez trójmian, iloraz z dzielenia i pierwiastek wymierny. Pełna lista jest na stronie działu Wielomiany, a plan powtórki całego zakresu we wpisie o wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027. Jeśli równanie trzeciego stopnia po wyznaczeniu parametru daje się pogrupować, skorzystaj z metody grupowania.

Więcej zadań z działu Wielomiany

Następny krok Losuj kolejne zadanie z wielomianów

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu bez dzielenia?

Skorzystaj z twierdzenia Bezout: reszta z dzielenia $W(x)$ przez $x - a$ jest równa $W(a)$ . Wystarczy podstawić liczbę, dla której dzielnik się zeruje, i policzyć wartość wielomianu. Dzielenie pisemne albo schemat Hornera są potrzebne dopiero wtedy, gdy chcesz znać iloraz.

Kiedy wielomian jest podzielny przez dwumian?

Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $x - a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(a) = 0$ , czyli gdy $a$ jest jego pierwiastkiem. Z tego warunku wyznaczasz parametr w zadaniach typu „dla jakiego $p$ wielomian jest podzielny przez $x - 1$ ".

Jaką postać ma reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia?

Stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, więc przy dzielniku stopnia 2 reszta ma postać $px + q$ . Współczynniki $p$ i $q$ wyznaczasz z dwóch równań, podstawiając pierwiastki dzielnika, jak w przykładzie 6.

Co zrobić, gdy dzielnikiem jest 2x - 1, a nie x - a?

Znajdź liczbę, dla której dzielnik się zeruje: $2x - 1 = 0$ daje $x = \frac{1}{2}$ . Reszta z dzielenia przez $2x - 1$ jest równa $W\left(\frac{1}{2}\right)$ . Iloraz jest wtedy inny niż przy dzieleniu przez $x - \frac{1}{2}$ , ale reszta ta sama.

Czym różni się reszta z dzielenia wielomianu od ilorazu?

Iloraz $Q(x)$ to wielomian, który mnożysz przez dzielnik, a reszta to to, co zostaje: $W(x) = (x - a)Q(x) + r$ . Twierdzenie Bezout daje szybko tylko resztę. Iloraz liczysz dzieleniem pisemnym albo schematem Hornera, gdy chcesz rozłożyć wielomian na czynniki, jak w kroku 4 przykładu 7.

Dlaczego w zadaniu z dwoma warunkami wychodzi kilka wartości parametru?

Bo każdy warunek osobno może mieć kilka rozwiązań, zwłaszcza gdy parametr stoi w kwadracie albo sześcianie. Odpowiedzią są tylko wartości wspólne dla wszystkich warunków. Rozwiąż każde równanie do końca i weź część wspólną zbiorów rozwiązań.

Reszta z dzielenia wielomianu z parametrem - twierdzenie Bezout w zadaniach z matury rozszerzonej

Twierdzenie Bezout: skąd reszta równa W(a)

Wzory

Przykład 1: Reszta jednym podstawieniem

Przykład 2: Parametr z warunku podzielności

Przykład 3: Wielomian z ogromnymi wykładnikami

Przykład 4: Dwie reszty, dwa współczynniki

Przykład 5: Z dwóch reszt trzecia

Przykład 6: Reszta z dzielenia przez trójmian kwadratowy

Przykład 7: Parametr z reszty, potem nierówność

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu bez dzielenia?

Kiedy wielomian jest podzielny przez dwumian?

Jaką postać ma reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia?

Co zrobić, gdy dzielnikiem jest 2x - 1, a nie x - a?

Czym różni się reszta z dzielenia wielomianu od ilorazu?

Dlaczego w zadaniu z dwoma warunkami wychodzi kilka wartości parametru?

Kategoria: Wielomiany

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Matura matematyka 2026 (maj) - klucz odpowiedzi i rozwiązania arkusza CKE

Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku