Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek). Funkcje f oraz g są określone wzorami f(x) = x² oraz g(x) = -1/2(x - 1/2)² + 4. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (-1, 1). 6.1. Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji g. Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem |PR| = √(1/4 x⁴ - 1/2 x³ - 13/8 x² + 39/8 x + 593/64) gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R. 6.2. Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu K, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru. Zapisz obliczenia. *Wskazówka.* *Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji g od punktu P wyraża się wzorem* |PR| = √(1/4 x⁴ - 1/2 x³ - 13/8 x² + 39/8 x + 593/64) *gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R.*
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 6.1) |PR| = √(1/4 x⁴ - 1/2 x³ - 13/8 x² + 39/8 x + 593/64) 6.2) K = (3/2, 7/2), |PK| = 5√(2)/2
Rachunek różniczkowy: Granica funkcji, pochodna i jej interpretacja, badanie monotoniczności, ekstrema lokalne oraz zadania optymalizacyjne z poziomu rozszerzonego.