Jak obliczyć iloczyn skalarny wektorów - wzór, kąt między wektorami i zadania maturalne

Iloczyn skalarny wektorów to narzędzie, bez którego nie zrobisz zadań o prostopadłości i kątach w geometrii analitycznej. Na maturze podstawowej pojawia się rzadziej, ale na rozszerzeniu praktycznie co roku. Dobra wiadomość: wzór jest prosty jak cep, wystarczy wiedzieć, kiedy go użyć.

Wzór na iloczyn skalarny - dwie postaci

Dla wektorów $\vec{u} = [u_1, u_2]$ i $\vec{v} = [v_1, v_2]$:

Postać współrzędnościowa:

$$\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$$

Postać geometryczna:

$$\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\alpha$$

gdzie $\alpha$ to kąt między wektorami, a $|\vec{u}|$ to długość wektora:

$$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$$

Uwaga: iloczyn skalarny to liczba (skalar), nie wektor. Stąd nazwa.

Warunek prostopadłości

Dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$\vec{u} \circ \vec{v} = 0$$

To wynika z drugiej postaci: jeśli $\alpha = 90°$, to $\cos\alpha = 0$, więc iloczyn skalarny = 0.

To najczęstsze zastosowanie na maturze - sprawdzanie, czy wektory/proste są prostopadłe.

Warunek równoległości (kolinearność)

Wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $k \in \mathbb{R}$ takie że $\vec{v} = k\vec{u}$, czyli gdy ich współrzędne są proporcjonalne:

$$\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_2}{u_2}$$

Albo: $u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$.

Kąt między wektorami - wzór

Łącząc obie postaci iloczynu skalarnego:

$$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$$

Stąd liczysz $\alpha$ przez arcus cosinus. Więcej o pracy z kątami w poście jak obliczyć kąt między wektorami.

Zadanie 1 - iloczyn skalarny z współrzędnych

Oblicz iloczyn skalarny wektorów $\vec{u} = [3, 4]$ i $\vec{v} = [2, -1]$.

Rozwiązanie:

$$\vec{u} \circ \vec{v} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2$$

Odpowiedź: $\vec{u} \circ \vec{v} = 2$.

Zadanie 2 - sprawdzenie prostopadłości

Czy wektory $\vec{a} = [3, 4]$ i $\vec{b} = [-4, 3]$ są prostopadłe?

Rozwiązanie:

$$\vec{a} \circ \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$$

Iloczyn skalarny = 0, więc wektory są prostopadłe.

Odpowiedź: Tak, wektory są prostopadłe.

Zadanie 3 - znajdź parametr

Dla jakiej wartości $m$ wektory $\vec{u} = [m, 3]$ i $\vec{v} = [2, -4]$ są prostopadłe?

Rozwiązanie:

Z warunku prostopadłości:

$$m \cdot 2 + 3 \cdot (-4) = 0$$
$$2m - 12 = 0$$
$$m = 6$$

Odpowiedź: $m = 6$.

Zadanie 4 - kąt między wektorami

Oblicz kąt między wektorami $\vec{u} = [1, \sqrt{3}]$ i $\vec{v} = [1, 0]$.

Rozwiązanie:

$\vec{u} \circ \vec{v} = 1 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 0 = 1$

$|\vec{u}| = \sqrt{1 + 3} = 2$, $|\vec{v}| = 1$

$$\cos\alpha = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$

Zatem $\alpha = 60°$.

Odpowiedź: $\alpha = 60°$.

Zadanie 5 - kąt rozwarty

Oblicz kąt między wektorami $\vec{u} = [1, 2]$ i $\vec{v} = [-2, -1]$.

Rozwiązanie:

$\vec{u} \circ \vec{v} = -2 - 2 = -4$

$|\vec{u}| = \sqrt{5}$, $|\vec{v}| = \sqrt{5}$

$$\cos\alpha = \frac{-4}{5} = -0{,}8$$

$\alpha = \arccos(-0{,}8) \approx 143°$.

Wniosek: ujemny iloczyn skalarny oznacza kąt rozwarty.

Zadanie 6 - wektor prostopadły

Znajdź wektor prostopadły do $\vec{u} = [2, 5]$ o długości $\sqrt{29}$.

Rozwiązanie:

Wektor prostopadły do $[a, b]$ ma postać $[-b, a]$ lub $[b, -a]$.

Dla $\vec{u} = [2, 5]$ prostopadłe są: $[-5, 2]$ oraz $[5, -2]$.

Długość: $\sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$. Zgadza się.

Odpowiedź: $\vec{v} = [-5, 2]$ lub $\vec{v} = [5, -2]$.

Typowe pułapki

1. Mylenie iloczynu skalarnego z wektorowym. Na podstawie to nie występuje, ale na rozszerzeniu owszem. Skalarny = liczba, wektorowy = wektor (tylko w 3D).

2. Zapomnienie o znaku. Ujemny iloczyn = kąt rozwarty. Mnóstwo osób dostaje $\cos = -\frac{1}{2}$ i pisze $60°$ zamiast $120°$.

3. Długość wektora bez pierwiastka. Pamiętaj $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$, nie $u_1^2 + u_2^2$.

4. Pomylenie punktu z wektorem. Punkt $A = (1, 2)$, wektor $\vec{u} = [1, 2]$. Na maturze notacja różni się nawiasami.

Podsumowanie

Więcej o prostych i okręgach w poście geometria analityczna na maturze i równanie prostej.