Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC|=|BC|), na których opisano okrąg o promieniu R=1. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta. a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem P(x) = (x+1) · √(1-x²). b) Wyznacz dziedzinę funkcji P. c) Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 15.a) P(x) = (x+1) · √(1-x²) 15.b) Dziedziną funkcji P jest przedział (0,1) 15.c) Największe pole trójkąta wynosi P_(max) = 3√(3)/4, osiągane dla x = 1/2 (trójkąt równoboczny)
Rachunek różniczkowy: Granica funkcji, pochodna i jej interpretacja, badanie monotoniczności, ekstrema lokalne oraz zadania optymalizacyjne z poziomu rozszerzonego.