Matura maj 2023 - matematyka, rozwiązania wszystkich zadań

O arkuszu - Matura maj 2023

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 to jeden z kluczowych arkuszy dla maturzystów przygotowujących się do egzaminu. Arkusz zawierał 34 zadania: 25 zamkniętych i 9 otwartych, za łącznie 45 punktów. Próg zdawalności to 14 punktów (30%).

Ten arkusz wyróżnia się wyjątkowo silnym naciskiem na stereometrię (3 zadania za 6 punktów) i liczby rzeczywiste (4 zadania za 6 punktów). Stereometria na poziomie 6 punktów to dużo - na wielu maturach dział ten daje zaledwie 2-3 punkty. Maturzyści, którzy zaniedbali bryły, mogli stracić tu sporo łatwych punktów.

Arkusz z maja 2023 to dobry materiał do ćwiczeń, bo jego struktura jest zbliżona do aktualnej formuły egzaminu. Porównaj z maturą z sesji dodatkowej w czerwcu 2023 oraz maturą poprawkową z sierpnia 2023, żeby przećwiczyć cały rocznik 2023.

Rozkład kategorii w arkuszu

Trzy kategorie - równania i nierówności, liczby rzeczywiste i stereometria - odpowiadają za 18 punktów, czyli 40% arkusza. To kluczowa informacja dla strategii rozwiązywania: jeśli opanujesz te trzy działy, masz prawie połowę punktów zapewnioną.

Analiza trudności

Łatwe punkty (zadania 1-10, ok. 11 pkt)

Początek arkusza to tradycyjnie potęgi, liczby rzeczywiste (przedziały, wartość bezwzględna), proste równania. Tu nie ma niespodzianek - wystarczy znać podstawowe wzory i definicje.

Średnie zadania (zadania 11-25, ok. 20 pkt)

Geometria analityczna, ciągi, funkcja kwadratowa, logarytmy. Wymagają solidnej znajomości wzorów i umiejętności ich łączenia w zadaniach wieloetapowych.

Trudne zadania (zadania 26-34, ok. 14 pkt)

Stereometria (w tym zadanie za 4 pkt), planimetria z trygonometrią, prawdopodobieństwo, zadania dowodowe. To tu rozstrzygają się wyniki powyżej 60%.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Liczby rzeczywiste (1 pkt) ↗

Treść: Zbiorem rozwiązań nierówności $|x - 3| < 5$ jest przedział

A. $(-2, 8)$    B. $(-8, 2)$    C. $(-5, 5)$    D. $(-2, 2)$

Rozwiązanie:

Nierówność z wartością bezwzględną $|x - a| < r$ oznacza, że $x$ leży w odległości mniejszej niż $r$ od punktu $a$:

$$|x - 3| < 5 \iff -5 < x - 3 < 5 \iff -2 < x < 8$$

Odpowiedź: A - $x \in (-2, 8)$

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej to jeden z najskuteczniejszych sposobów rozwiązywania takich zadań. $|x - 3| < 5$ to nic innego jak "odległość $x$ od $3$ jest mniejsza niż $5$". Więcej w dziale liczby rzeczywiste.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 4 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Oblicz wartość wyrażenia $\frac{2^{10} - 2^8}{2^8}$.

Rozwiązanie:

Wyciągamy $2^8$ przed nawias w liczniku:

$$\frac{2^{10} - 2^8}{2^8} = \frac{2^8(2^2 - 1)}{2^8} = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$$

Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias to najczęściej stosowany trick w zadaniach z potęgami na maturze. Pojawia się w różnych wariacjach na dosłownie każdym arkuszu. Ćwicz w dziale potęgi i pierwiastki.

Odpowiedź: B

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 8 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Oblicz wartość wyrażenia $\log_2 48 - \log_2 3$.

Rozwiązanie:

Korzystamy z właściwości logarytmów (różnica logarytmów to logarytm ilorazu):

$$\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \frac{48}{3} = \log_2 16 = 4$$

Bo $2^4 = 16$.

Właściwości logarytmów to temat, który pojawia się na maturze regularnie. Najważniejsze wzory: $\log(ab) = \log a + \log b$, $\log\frac{a}{b} = \log a - \log b$, $\log a^n = n \log a$. Ćwicz: logarytmy.

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 17 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Treść: Jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej $f$ to $-5$, a współrzędna $x$ wierzchołka paraboli to $3$. Drugie miejsce zerowe tej funkcji jest równe

A. $11$    B. $8$    C. $-1$    D. $1$

Rozwiązanie:

Wierzchołek paraboli leży na osi symetrii, która przechodzi dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:

$$p = \frac{x_1 + x_2}{2}$$ $$3 = \frac{-5 + x_2}{2}$$ $$6 = -5 + x_2$$ $$x_2 = 11$$

To zadanie za 1 punkt, które wymaga tylko jednego wzoru. Zapamiętaj: wierzchołek paraboli to średnia arytmetyczna miejsc zerowych. Ten fakt rozwiązuje mnóstwo zadań na maturze.

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 22 - Równania i nierówności (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $\sqrt{2x + 3} = x$.

Rozwiązanie:

Krok 1: Warunki: $2x + 3 \geq 0$ (podpierwiastkowe) i $x \geq 0$ (bo prawa strona to pierwiastek, który jest nieujemny).

Z pierwszego warunku: $x \geq -\frac{3}{2}$. Łącząc z drugim: $x \geq 0$.

Krok 2: Podnosimy obie strony do kwadratu:

$$2x + 3 = x^2$$
$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Krok 3: Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta = 4 + 12 = 16, \quad \sqrt{\Delta} = 4$$ $$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Krok 4: Sprawdzamy warunki: $x = -1 < 0$ - nie spełnia warunku. $x = 3 \geq 0$ - spełnia.

Sprawdzenie: $\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3 = x$. Zgadza się.

Odpowiedź: $x = 3$

Uwaga: podniesienie do kwadratu może wprowadzić rozwiązania pozorne. Zawsze trzeba sprawdzić warunki! To częsty błąd maturzystów - CKE świadomie konstruuje zadania, w których jedno z rozwiązań wypada po sprawdzeniu.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 28 - Stereometria (2 pkt) ↗

Treść: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 6$ i wysokość $h = 4$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku $a = 6$.

Pole podstawy:

$$P_p = a^2 = 6^2 = 36$$

Objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$$

Odpowiedź: $V = 48$

Wzór na objętość ostrosłupa to $\frac{1}{3}$ objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Ten współczynnik $\frac{1}{3}$ jest w tablicach, ale musisz go pamiętać - pojawia się na każdej maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 31 - Stereometria (4 pkt) ↗

Treść: W graniastosłupie prostym trójkątnym podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4. Wysokość graniastosłupa wynosi 10. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Krok 1: Obliczamy boki podstawy.

Przyprostokątne: $a = 3$, $b = 4$. Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Krok 2: Pole podstawy (trójkąt prostokątny):

$$P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$

Krok 3: Pole powierzchni bocznej. Graniastosłup prosty ma trzy ściany boczne (prostokąty):

$$P_b = (3 + 4 + 5) \cdot 10 = 12 \cdot 10 = 120$$

Krok 4: Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 2P_p + P_b = 2 \cdot 6 + 120 = 12 + 120 = 132$$

To zadanie za 4 punkty, ale każdy krok jest prosty. Klucz to nie pominąć żadnego elementu - dwie podstawy i trzy ściany boczne. Trójka pitagorejska (3, 4, 5) pojawia się tu znowu. Ćwicz stereometrię w dziale stereometria.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 33 - Geometria analityczna (2 pkt) ↗

Treść: Wyznacz równanie okręgu o środku $S = (2, -3)$ i promieniu $r = 4$.

Rozwiązanie:

Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Podstawiamy:

$$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2$$ $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$

Równanie okręgu to jedno z najczęściej pytanych zagadnień z geometrii analitycznej. Zapamiętaj: minus w nawiasie, na prawo kwadrat promienia. Więcej w dziale geometria analityczna.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-4 pkt):

Cały arkusz: Matura maj 2023 - wszystkie zadania

Wnioski i wskazówki

1. Stereometria za 6 punktów - to wyjątkowo dużo. Graniastosłupy, ostrosłupy, pole powierzchni, objętość - musisz to znać. Wzory są w tablicach, ale bez praktyki nie wystarczą. Ćwicz w dziale stereometria.
2. Liczby rzeczywiste za 6 punktów - przedziały, wartość bezwzględna, zbiory. Te zadania wyglądają prosto, ale łatwo o błąd przy warunkach. Ćwicz: liczby rzeczywiste.
3. Równania z pierwiastkami - podniesienie do kwadratu wprowadza rozwiązania pozorne. Zawsze sprawdzaj warunki!
4. Trójka pitagorejska (3,4,5) - pojawiła się zarówno w planimetrii, jak i w stereometrii. CKE kocha tę trójkę.
5. 15 kategorii - arkusz był bardzo zróżnicowany. Nie możesz przygotować się tylko z 3-4 działów.

Przejrzyj też rozwiązania z sesji dodatkowej z czerwca 2023, matury poprawkowej z sierpnia 2023 i matury poprawkowej z sierpnia 2024, żeby zobaczyć pełny obraz zmian w arkuszach CKE.

Przygotuj się do matury

Na Sprawnej Maturze masz ponad 2400 zadań z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Nie czekaj na ostatnią chwilę - wejdź na stronę ćwiczeń i zacznij rozwiązywać zadania już teraz. Nawet 15 minut dziennie przynosi efekty!