Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa) - matematyka, rozwiązania

O arkuszu - Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa)

Matura z matematyki z sesji dodatkowej w czerwcu 2023 to arkusz przeznaczony dla maturzystów, którzy z przyczyn losowych lub zdrowotnych nie mogli przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz zawierał 36 zadań: 24 zamknięte i 12 otwartych, za łącznie 45 punktów. Próg zdawalności to 14 punktów (30%).

Cechą charakterystyczną tego arkusza jest dominacja równań i nierówności - aż 5 zadań za 8 punktów. To więcej niż na typowej maturze, gdzie ten dział daje zwykle 3-5 punktów. Arkusz jest też bardzo zróżnicowany - pojawiło się aż 16 różnych kategorii, co oznacza, że testował szerokie spektrum wiedzy matematycznej.

Jeśli chcesz porównać poziom trudności, sprawdź maturę z maja 2023 - to arkusz z tej samej sesji egzaminacyjnej, ale przeznaczony dla głównego terminu.

Rozkład kategorii w arkuszu

16 kategorii w jednym arkuszu to rekord. CKE wyraźnie chciała sprawdzić, czy maturzyści mają wiedzę ze wszystkich działów. To dobra wiadomość dla osób, które ćwiczą systematycznie, i zła dla tych, którzy liczą na "zgadywanie" z 2-3 tematów.

Analiza trudności

Łatwe punkty (zadania 1-10, ok. 11 pkt)

Klasyczny początek arkusza: potęgi, procenty, proste równania, odczytywanie właściwości z wykresu. Zadania za 1 punkt, w których wystarczy zastosować jeden wzór lub jedną operację.

Średnie zadania (zadania 11-24, ok. 20 pkt)

Ciągi, geometria analityczna (równanie prostej, okrąg), funkcja kwadratowa, nierówności. Wymagają 2-3 kroków rozwiązania i dobrej znajomości wzorów. Tu decyduje się, czy zdasz maturę.

Trudne zadania (zadania 25-36, ok. 14 pkt)

Zadania otwarte wieloetapowe: dowodzenie, stereometria, planimetria z trygonometrią, funkcja kwadratowa z warunkami. Tu walczy się o wynik 70%+.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} + 4^{-1}$ jest równa

A. $8\frac{1}{4}$    B. $7\frac{3}{4}$    C. $\frac{1}{12}$    D. $-\frac{11}{4}$

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, czyli $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$.

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$$ $$4^{-1} = \frac{1}{4}$$ $$8 + \frac{1}{4} = 8\frac{1}{4}$$

Potęga o ujemnym wykładniku to jedno z najczęściej pytanych zagadnień. Pamiętaj: ujemny wykładnik oznacza odwrotność, nie wartość ujemną. Więcej ćwiczeń znajdziesz w dziale potęgi i pierwiastki.

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 6 - Równania i nierówności (1 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $|2x - 5| = 3$.

Rozwiązanie:

Równanie z wartością bezwzględną rozbijamy na dwa przypadki:

Przypadek 1: $2x - 5 = 3$
$$2x = 8 \implies x = 4$$ Przypadek 2: $2x - 5 = -3$
$$2x = 2 \implies x = 1$$

Rozwiązania: $x = 1$ lub $x = 4$.

Wartość bezwzględna to dział, który wielu uczniów uważa za trudny, ale schemat jest prosty: zapisz dwa równania (z plusem i z minusem). CKE testuje to regularnie. Ćwicz: równania i nierówności.

Odpowiedź: B

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 10 - Ciągi (1 pkt) ↗

Treść: Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$. Oblicz sumę czterech pierwszych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

Obliczamy kolejne wyrazy:

$$a_1 = 3 \cdot 2^0 = 3$$
$$a_2 = 3 \cdot 2^1 = 6$$
$$a_3 = 3 \cdot 2^2 = 12$$
$$a_4 = 3 \cdot 2^3 = 24$$

Suma:

$$S_4 = 3 + 6 + 12 + 24 = 45$$

Można też użyć wzoru na sumę ciągu geometrycznego: $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$, gdzie $q = 2$:

$$S_4 = 3 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 16}{-1} = 3 \cdot 15 = 45$$

Na maturze warto znać oba sposoby. Dla małych $n$ (4-5 wyrazów) szybsze jest bezpośrednie sumowanie. Dla dużych $n$ - wzór z tablic.

Odpowiedź: C

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 18 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Treść: Funkcja kwadratowa $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ ma dwa miejsca zerowe. Oblicz ich sumę.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów Viete'a. Dla funkcji $f(x) = ax^2 + bx + c$:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{2} = 4$$

Nie trzeba nawet obliczać delty ani samych miejsc zerowych - wzory Viete'a dają odpowiedź od razu. To ogromna oszczędność czasu na maturze!

Sprawdzenie (opcjonalne): $\Delta = 64 - 48 = 16$, $x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{4}$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_1 + x_2 = 4$. Zgadza się.

Wzory Viete'a to jedno z najskuteczniejszych narzędzi na maturze. Przeczytaj nasz przewodnik po funkcji kwadratowej, żeby opanować je w pełni.

Odpowiedź: D

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 27 - Równania i nierówności (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Rozwiązanie:

Obliczamy deltę:

$$\Delta = 25 - 24 = 1, \quad \sqrt{\Delta} = 1$$

Miejsca zerowe:

$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a = 1 > 0$), więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Nierówność $\leq 0$ jest spełniona między pierwiastkami:

$$x \in [2, 3]$$

Nierówności kwadratowe to klasyka matury - pojawiają się co roku. Schemat jest zawsze ten sam: (1) delta, (2) pierwiastki, (3) narysuj parabolę, (4) odczytaj rozwiązanie. Ćwicz w dziale równania i nierówności.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Stereometria (2 pkt) ↗

Treść: Stożek ma promień podstawy $r = 3$ i tworzącą $l = 5$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Rozwiązanie:

Krok 1: Pole powierzchni bocznej stożka:

$$P_b = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$$

Krok 2: Pole podstawy:

$$P_p = \pi r^2 = \pi \cdot 9 = 9\pi$$

Krok 3: Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = P_b + P_p = 15\pi + 9\pi = 24\pi$$

Wzory na pole powierzchni stożka są w tablicach maturalnych. Kluczowe to rozróżniać tworzącą $l$ (odcinek na powierzchni bocznej) od wysokości $h$ (odcinek wewnątrz stożka). CKE często gra na tym, że uczniowie mylą te dwie wielkości.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 37 - Funkcja kwadratowa (4 pkt) ↗

Treść: Dana jest funkcja $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli i narysuj wykres. Dla jakich wartości $x$ funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie?

Rozwiązanie:

Krok 1: Współrzędne wierzchołka:

$$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ $$q = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$$

Wierzchołek: $W = (3, 4)$.

Krok 2: Miejsca zerowe:

$$\Delta = 36 - 20 = 16, \quad \sqrt{\Delta} = 4$$ $$x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = 5$$

Krok 3: Funkcja przyjmuje wartości dodatnie ($f(x) > 0$) między miejscami zerowymi (bo $a < 0$, parabola skierowana ramionami w dół):

$$x \in (1, 5)$$

To zadanie za 4 punkty, ale wymaga jedynie standardowych obliczeń. Klucz to rysunek - narysuj parabolę z wierzchołkiem w $(3, 4)$ i miejscami zerowymi w $1$ i $5$, a odpowiedź będzie oczywista.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 36 zadań z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-4 pkt):

Cały arkusz: Matura czerwiec 2023 - wszystkie zadania

Wnioski i wskazówki

1. Równania i nierówności rządzą - 5 zadań za 8 punktów. Wartość bezwzględna, nierówności kwadratowe, nierówności wymierne - to "must have" na maturze. Ćwicz w dziale równania i nierówności.
2. Funkcja kwadratowa za 5 punktów - wzory Viete'a, wierzchołek, postać kanoniczna. Przeczytaj nasz kompletny przewodnik.
3. 16 kategorii - jeszcze więcej niż na maturze poprawkowej z sierpnia 2023. Nie możesz ignorować żadnego działu.
4. Stereometria za 6 punktów - dwa zadania, w tym jedno za 4 punkty. Wzory z tablic, ale musisz umieć je stosować w niestandardowych sytuacjach.

Zacznij ćwiczyć już dziś

Na Sprawnej Maturze masz ponad 2400 zadań z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na stronę ćwiczeń i przekonaj się, że matematyka nie musi być trudna!