---
route: /zliczanie-liczb-o-zadanych-wlasnosciach-podzielnosc-suma-cyfr-matura
title: Zliczanie liczb o zadanych własnościach - podzielność, suma cyfr i warunek „lub”
description: Jak policzyć liczby parzyste o różnych cyfrach, podzielne przez 3 lub 5 i o danej sumie cyfr? Cztery metody krok po kroku i zadania CKE z rozwiązaniami.
type: topic_guide
category: Kombinatoryka
tags: zliczanie liczb o zadanych własnościach, ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, liczby o różnych cyfrach, ile liczb podzielnych przez 3 lub 5, liczby podzielne w przedziale, suma cyfr liczby zadania, co najmniej jedna cyfra 7, reguła mnożenia i dodawania, kombinatoryka matura liczby, zadania maturalne ile jest liczb
author: Marcel Bogdan
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan
published: 2026-10-14T03:41:36+00:00
updated: 2026-10-14T03:47:58.895+00:00
---
# Zliczanie liczb o zadanych własnościach - podzielność, suma cyfr i warunek „lub”
Liczby o zadanej własności liczysz jedną z czterech metod: rozpisujesz pozycje cyfr i mnożysz liczby możliwości, liczysz wielokrotności w przedziale wzorem z części całkowitej, odejmujesz od wszystkich liczby złe (dopełnienie) albo przy warunku „lub” dodajesz dwie grupy i odejmujesz część wspólną. Najpierw nazywasz własność (parzystość, podzielność, różne cyfry, suma cyfr), a dopiero potem dobierasz metodę. Na maturze podstawowej to zwykle zadanie zamknięte za 1 punkt, w którym wynik da się sprawdzić w dwie minuty.

## W skrócie

- Liczbę wielokrotności \(k\) w przedziale od \(a\) do \(b\) liczysz jako \(\lfloor b/k \rfloor - \lfloor (a-1)/k \rfloor\), na przykład trzycyfrowych podzielnych przez 7 jest \(142 - 14 = 128\).
- Przy regule mnożenia zaczynasz od pozycji z najsilniejszym warunkiem: ostatnia cyfra przy parzystości, pierwsza cyfra, bo nie może być zerem.
- Warunek „co najmniej jedna cyfra 7” liczysz od drugiej strony: wszystkie liczby minus liczby bez siódemki.
- Warunek „podzielne przez 3 lub przez 5” to \(|A| + |B| - |A \cap B|\), bo liczby podzielne przez 15 policzyłbyś dwa razy.
- Przy zadanej sumie cyfr wypisujesz rozkłady sumy na cyfry i liczysz ustawienia każdego rozkładu bez zera na początku.

## Jakie własności liczb pojawiają się w zadaniach maturalnych

Zadania o zliczaniu liczb to stały punkt działu [kombinatoryka na maturze](/topics/kombinatoryka). W arkuszach CKE powtarza się kilka własności i dobrze jest je rozpoznawać od pierwszego czytania polecenia:

- **parzystość i nieparzystość**: decyduje ostatnia cyfra (parzysta to 0, 2, 4, 6, 8, nieparzysta to 1, 3, 5, 7, 9);
- **podzielność przez 2, 3, 4, 5, 9**: albo cecha podzielności (ostatnia cyfra 0 lub 5 przy piątce), albo zliczanie wielokrotności w przedziale;
- **cyfry się nie powtarzają**: każda kolejna pozycja ma o jedną możliwość mniej;
- **cyfry tylko z danego zbioru**: na przykład wyłącznie 0, 5, 7 albo wyłącznie 2, 4, 7;
- **cyfra występuje dokładnie raz**: trzeba rozbić zadanie na przypadki według pozycji tej cyfry;
- **zadana suma cyfr**: rozkłady sumy na cyfry i liczenie ustawień;
- **liczba większa lub mniejsza od danej**: ograniczenie pierwszej cyfry albo zliczanie w przedziale.

Każda z tych własności ma swoją metodę. Kiedy polecenie łączy dwie własności (parzyste i o różnych cyfrach), zwykle trzeba rozbić zadanie na przypadki. Ogólne podstawy, czyli regułę mnożenia na liczbach czterocyfrowych, znajdziesz we wpisie [ile jest liczb czterocyfrowych i jak działa reguła mnożenia](/ile-jest-liczb-czterocyfrowych-regula-mnozenia-zadania). Tutaj idziemy krok dalej: liczby, które mają spełniać konkretny warunek.

## Wzory

Reguła mnożenia:

$$N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$

Wielokrotności liczby k w przedziale:

$$\left\lfloor \frac{b}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{a-1}{k} \right\rfloor$$

Warunek „lub” dla dwóch własności:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Liczby n-cyfrowe bez dodatkowych warunków:

$$9 \cdot 10^{n-1}$$

Symbol \(\lfloor x \rfloor\) to część całkowita, czyli największa liczba całkowita nie większa od \(x\). Na przykład \(\lfloor 1000/3 \rfloor = 333\), bo \(3 \cdot 333 = 999\), a \(3 \cdot 334 = 1002\) to już za dużo. Żadnego z tych wzorów nie musisz uczyć się na pamięć słowo w słowo: każdy wynika z jednej prostej obserwacji, którą pokazuję niżej.

## Metoda 1: pozycje cyfr i reguła mnożenia z ograniczeniami

Liczbę trzycyfrową zapisujesz jako trzy pozycje: setki, dziesiątki, jedności. Dla każdej pozycji liczysz, ile cyfr wolno na niej postawić, a potem mnożysz te liczby. Bez żadnych warunków wychodzi \(9 \cdot 10 \cdot 10 = 900\) liczb trzycyfrowych: na pierwszej pozycji nie wolno postawić zera, więc zostaje 9 cyfr.

Cała sztuka polega na kolejności. Zaczynasz od pozycji, na której warunek jest najostrzejszy:

- przy parzystości zaczynasz od jedności (5 możliwości: 0, 2, 4, 6, 8);
- przy nieparzystości też od jedności (5 możliwości: 1, 3, 5, 7, 9);
- przy podzielności przez 5 od jedności (2 możliwości: 0 albo 5);
- przy „większa od 700” od setek (dozwolone tylko 7, 8, 9).

Przykład bez powtórzeń cyfr: liczby czterocyfrowe nieparzyste to \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5 = 4500\). Pierwsza cyfra ma 9 możliwości, ostatnia 5, dwie środkowe po 10.

Kłopot zaczyna się, gdy cyfry nie mogą się powtarzać, a ostatnia cyfra może być zerem. Zero na końcu nie zabiera możliwości pierwszej cyfrze, a cyfra 2 na końcu zabiera. Wtedy jedna reguła mnożenia nie wystarczy i rozbijasz zadanie na przypadki rozłączne, a wyniki przypadków dodajesz. To jest reguła dodawania: mnożysz w obrębie jednego przypadku, dodajesz między przypadkami.

**Wskazówka:** Jeżeli na pierwszej pozycji liczba możliwości zależy od tego, co stoi na końcu, to znak, że trzeba rozbić zadanie na przypadki. Najczęściej wystarczą dwa: ostatnia cyfra to zero albo ostatnia cyfra jest inna.

## Metoda 2: ile jest wielokrotności liczby k w przedziale

Gdy warunek brzmi „podzielne przez \(k\)”, nie rozpisujesz cyfr, tylko liczysz wielokrotności. Wśród liczb od 1 do \(n\) wielokrotności \(k\) jest dokładnie \(\lfloor n/k \rfloor\). Liczb od 1 do 100 podzielnych przez 7 jest \(\lfloor 100/7 \rfloor = 14\), bo \(7 \cdot 14 = 98\).

W przedziale od \(a\) do \(b\) liczysz wielokrotności od 1 do \(b\) i odejmujesz te od 1 do \(a-1\). Przykład: liczby trzycyfrowe podzielne przez 7.

$$\left\lfloor \frac{999}{7} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{7} \right\rfloor = 142 - 14 = 128$$

Ten sam wynik daje druga metoda, przez pierwszą i ostatnią wielokrotność. Pierwsza trzycyfrowa wielokrotność 7 to 105, ostatnia to 994. Liczba wyrazów to

$$\frac{994 - 105}{7} + 1 = 127 + 1 = 128.$$

To jest wzór na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego. Ta „jedynka” na końcu jest najczęstszym miejscem błędu: od 105 do 994 robisz 127 skoków o 7, ale liczb jest o jedną więcej niż skoków.

**Pułapka:** Odejmujesz \(\lfloor (a-1)/k \rfloor\), a nie \(\lfloor a/k \rfloor\). Gdy \(a\) samo jest wielokrotnością \(k\), wersja z \(a\) zgubi tę liczbę. Dla liczb od 105 do 994 podzielnych przez 7: \(\lfloor 994/7 \rfloor - \lfloor 104/7 \rfloor = 142 - 14 = 128\), a z \(\lfloor 105/7 \rfloor = 15\) wyszłoby błędne 127.

Krótko o cechach podzielności, które przydają się tu najczęściej: przez 5 dzielą się liczby z ostatnią cyfrą 0 lub 5, przez 4 te, których dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, przez 3 i przez 9 te, których suma cyfr dzieli się przez 3 albo 9. Pełne zestawienie znajdziesz we wpisie o [cechach podzielności liczb i resztach z dzielenia](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania).

## Metoda 3: dopełnienie, czyli liczysz liczby złe

Niektóre warunki łatwiej policzyć od drugiej strony. Sygnałem są słowa „co najmniej jedna”, „nie wszystkie”, „przynajmniej raz”. Zamiast liczyć liczby dobre (z jedną siódemką, z dwiema, z trzema, z czterema) liczysz liczby złe, czyli bez siódemki, i odejmujesz je od wszystkich.

$$D = W - Z$$

Tutaj \(W\) to liczba wszystkich liczb danej długości, \(Z\) to liczba złych, a \(D\) to liczba dobrych, czyli tych, o które pyta zadanie.

Przykład: liczby trzycyfrowe, w których jakaś cyfra się powtarza. Wszystkich liczb trzycyfrowych jest 900. Liczb o trzech różnych cyfrach jest \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\): pierwsza cyfra ma 9 możliwości (bez zera), druga 9 (wraca zero, odpada cyfra pierwsza), trzecia 8. Liczb z powtórzoną cyfrą jest więc \(900 - 648 = 252\).

Gdybyś chciał policzyć to wprost, musiałbyś rozbić zadanie na trzy przypadki (powtarzają się cyfry na pozycjach 1 i 2, na pozycjach 1 i 3, na pozycjach 2 i 3) i jeszcze pilnować liczb typu 777, które wpadają do wszystkich trzech naraz. Dopełnienie usuwa cały ten kłopot. W prawdopodobieństwie ten sam trik nazywa się zdarzeniem przeciwnym i działa identycznie w [zadaniach typu „co najmniej” z rzutami monetą](/rzut-moneta-prawdopodobienstwo-drzewko-zadania-matura#zadania-typu-co-najmniej-licz-przez-zdarzenie-przeciwne).

**Zapamiętaj:** Liczby złe liczysz z tymi samymi ograniczeniami co wszystkie. Przy czterocyfrowych bez siódemki pierwsza cyfra ma 8 możliwości (bez zera i bez siódemki), a nie 9.

## Metoda 4: warunek „lub” i podwójne liczenie

Warunek „podzielne przez 3 lub przez 5” obejmuje liczby, które spełniają choć jedną z własności. Kiedy policzysz osobno podzielne przez 3 i osobno podzielne przez 5, liczby podzielne przez obie (czyli przez 15) policzysz dwa razy. Trzeba je raz odjąć:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

W prawdopodobieństwie ten sam wzór opisuje [sumę zdarzeń i jej część wspólną](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa#suma-i-iloczyn-zdarzen-jak-je-czytac). Część wspólna dla podzielności to podzielność przez najmniejszą wspólną wielokrotność. Dla 3 i 5 to 15, dla 4 i 6 to 12 (nie 24), dla 2 i 3 to 6.

Ten sam wzór działa przy cyfrach. Liczby trzycyfrowe, które zaczynają się od 5 lub kończą się na 5: zaczynających się od 5 jest \(1 \cdot 10 \cdot 10 = 100\), kończących się na 5 jest \(9 \cdot 10 \cdot 1 = 90\), a jednych i drugich (postaci \(5\_5\)) jest 10. Razem \(100 + 90 - 10 = 180\).

Odwrotna sytuacja, warunek „i” (podzielne przez 3 i przez 5), to po prostu część wspólna: liczysz od razu wielokrotności 15. Warunek „ani przez 3, ani przez 5” to dopełnienie warunku „lub”: wszystkie minus \(|A \cup B|\).

## Suma cyfr równa danej liczbie: wypisywanie rozkładów

Kiedy polecenie podaje sumę cyfr, reguła mnożenia nie zadziała, bo cyfry zależą od siebie nawzajem. Zamiast tego wypisujesz wszystkie rozkłady sumy na odpowiednią liczbę cyfr, a dla każdego rozkładu liczysz, na ile sposobów da się go ustawić tak, żeby zero nie stało na początku.

Liczby trzycyfrowe o sumie cyfr 4. Rozkłady liczby 4 na trzy cyfry:

| rozkład | ustawienia | bez zera na początku |
|---|---|---|
| 4, 0, 0 | 400, 040, 004 | 1 (400) |
| 3, 1, 0 | 6 ustawień | 4 (310, 301, 130, 103) |
| 2, 2, 0 | 220, 202, 022 | 2 (220, 202) |
| 2, 1, 1 | 211, 121, 112 | 3 |

Razem \(1 + 4 + 2 + 3 = 10\) liczb.

Przy rozkładzie z zerem liczysz wszystkie ustawienia i odejmujesz te z zerem z przodu. Dla rozkładu 3, 1, 0 wszystkich ustawień jest \(3! = 6\), a z zerem na początku \(2! = 2\) (031 i 013), więc zostają 4. Zapis \(3!\) to silnia, czyli \(1 \cdot 2 \cdot 3\), a jej pełne omówienie znajdziesz w [przewodniku po silni, permutacjach i kombinacjach](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory#typowe-pulapki-maturalne).

**Wskazówka:** Rozkłady wypisuj w stałym porządku: od największej pierwszej cyfry w dół, w każdym rozkładzie cyfry malejąco. Wtedy nie zgubisz żadnego i żadnego nie powtórzysz. Przy małych sumach (2, 3, 4) to najszybsza droga, a w zadaniu zamkniętym od razu widzisz, czy wynik zgadza się z którąś odpowiedzią.

## Przykład 1: liczby trzycyfrowe parzyste o różnych cyfrach

**Treść:** Ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, w których żadna cyfra się nie powtarza?

- A) \(320\)
- B) \(328\)
- C) \(360\)
- D) \(405\)

**Krok 1: Rozbij na przypadki według ostatniej cyfry.** Ostatnia cyfra jest parzysta: 0, 2, 4, 6 albo 8. Zero na końcu nie ogranicza pierwszej cyfry, a cyfra 2, 4, 6, 8 ogranicza, bo nie może się powtórzyć z pierwszą. Liczysz dwa przypadki osobno.

**Krok 2: Ostatnia cyfra to 0.** Pierwsza cyfra: dowolna od 1 do 9, czyli 9 możliwości. Środkowa: dowolna poza zerem i pierwszą, czyli 8 możliwości.

$$9 \cdot 8 \cdot 1 = 72$$

**Krok 3: Ostatnia cyfra to 2, 4, 6 albo 8.** Ostatnia: 4 możliwości. Pierwsza: od 1 do 9 bez ostatniej, czyli 8. Środkowa: 10 cyfr bez pierwszej i bez ostatniej, czyli 8.

$$8 \cdot 8 \cdot 4 = 256$$

**Krok 4: Dodaj przypadki.** Przypadki są rozłączne, więc wyniki dodajesz.

$$72 + 256 = 328$$

**Odpowiedź: B.** Liczb trzycyfrowych parzystych o różnych cyfrach jest 328. Odpowiedź C to typowy błąd \(9 \cdot 8 \cdot 5 = 360\) bez rozbicia na przypadki, a D to \(9 \cdot 9 \cdot 5 = 405\), czyli zgubiony warunek różnych cyfr.

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania tego samego typu z arkusza próbnego CKE z marca 2021: parzystość i warunek na jedną cyfrę naraz.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-26

## Przykład 2: liczby od 1 do 1000 podzielne przez 3 lub 5

**Treść:** Ile jest liczb naturalnych od 1 do 1000, które są podzielne przez 3 lub przez 5?

- A) \(533\)
- B) \(467\)
- C) \(400\)
- D) \(466\)

**Krok 1: Policz podzielne przez 3.** \(\lfloor 1000/3 \rfloor = 333\), bo \(3 \cdot 333 = 999\).

**Krok 2: Policz podzielne przez 5.** \(\lfloor 1000/5 \rfloor = 200\).

**Krok 3: Policz część wspólną, czyli podzielne przez 15.** \(\lfloor 1000/15 \rfloor = 66\), bo \(15 \cdot 66 = 990\), a \(15 \cdot 67 = 1005\).

**Krok 4: Zastosuj wzór na warunek „lub”.**

$$333 + 200 - 66 = 467$$

**Krok 5: Sprawdź metodę na małym przedziale.** Od 1 do 15: podzielnych przez 3 jest 5, przez 5 są 3, przez 15 jedna. Wzór daje \(5 + 3 - 1 = 7\), a wypisane liczby to 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, czyli też 7.

**Odpowiedź: B.** Takich liczb jest 467. Odpowiedź A, czyli \(333 + 200 = 533\), liczy dwa razy liczby podzielne przez 15.

## Przykład 3: liczby czterocyfrowe z co najmniej jedną siódemką

**Treść:** Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfra 7 występuje co najmniej jeden raz?

- A) \(3168\)
- B) \(2916\)
- C) \(3439\)
- D) \(5832\)

**Krok 1: Policz wszystkie liczby czterocyfrowe.**

$$9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$$

**Krok 2: Policz liczby bez siódemki.** Pierwsza cyfra: od 1 do 9 bez 7, czyli 8 możliwości. Każda z trzech pozostałych: od 0 do 9 bez 7, czyli 9 możliwości.

$$8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 8 \cdot 729 = 5832$$

**Krok 3: Odejmij.**

$$9000 - 5832 = 3168$$

**Odpowiedź: A.** Liczb czterocyfrowych z co najmniej jedną siódemką jest 3168. Odpowiedź D to liczba złych liczb, czyli wynik, przy którym zapomniałeś o ostatnim odejmowaniu.

## Zadania z matury krok po kroku

Poniżej trzy zadania z arkuszy CKE, każde na inną metodę. Najpierw spróbuj sam, potem rozwiń rozwiązanie pod kartą. Więcej zadań z tego działu w jednym miejscu zebrałem we wpisie [zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami).

### Matura sierpień 2020, zadanie 23: wielokrotności w przedziale

Liczby czterocyfrowe mniejsze od 2020 to liczby od 1000 do 2019. Szukasz wśród nich wielokrotności 4, więc to czysta Metoda 2.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2020-23

**Krok 1: Ustal przedział.** Liczby czterocyfrowe mniejsze od 2020 to liczby od 1000 do 2019.

**Krok 2: Policz wielokrotności 4 wzorem.** \(\lfloor 2019/4 \rfloor = 504\), bo \(4 \cdot 504 = 2016\). \(\lfloor 999/4 \rfloor = 249\), bo \(4 \cdot 249 = 996\). Różnica: \(504 - 249 = 255\).

**Krok 3: Sprawdź przez pierwszą i ostatnią wielokrotność.** Pierwsza to 1000, ostatnia 2016: \(\frac{2016 - 1000}{4} + 1 = 254 + 1 = 255\).

**Odpowiedź: D.** Takich liczb jest 255.

### Matura czerwiec 2023, zadanie 31: suma cyfr

Tu nie ma podzielności ani parzystości, jest suma cyfr równa 3. To zadanie na wypisanie rozkładów.

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2023-37

**Krok 1: Wypisz rozkłady liczby 3 na trzy cyfry.** Są trzy: 3, 0, 0, potem 2, 1, 0 oraz 1, 1, 1.

**Krok 2: Policz ustawienia bez zera na początku.** Rozkład 3, 0, 0 daje tylko 300. Rozkład 2, 1, 0 daje \(3! - 2! = 4\) liczby: 210, 201, 120, 102. Rozkład 1, 1, 1 daje 111.

**Krok 3: Dodaj.** \(1 + 4 + 1 = 6\).

**Odpowiedź: D.** Takich liczb jest 6.

### Matura czerwiec 2025, zadanie 28: parzystość i dokładnie jedno zero

Dwie własności naraz: liczba ma być parzysta, a zero ma wystąpić dokładnie raz. Zero nie może stać na początku, więc stoi na końcu albo w środku. To dwa rozłączne przypadki.

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2025-34

**Krok 1: Zero na końcu.** Liczba jest wtedy parzysta automatycznie. Pierwsza cyfra: od 1 do 9, czyli 9 możliwości. Środkowa: nie może być zerem (zero ma być dokładnie jedno), czyli też 9 możliwości. Razem \(9 \cdot 9 = 81\).

**Krok 2: Zero w środku.** Pierwsza cyfra: 9 możliwości. Ostatnia: parzysta, ale nie zero, czyli 2, 4, 6 albo 8, razem 4 możliwości. Razem \(9 \cdot 4 = 36\).

**Krok 3: Dodaj przypadki.** \(81 + 36 = 117\).

**Odpowiedź: B.** Takich liczb jest 117.

## Typowe błędy przy zliczaniu liczb

Większość zgubionych punktów w tych zadaniach to nie brak wiedzy, tylko kilka powtarzających się pomyłek.

**Pułapka 1:** Zero na pierwszej pozycji. Liczba 0473 nie jest czterocyfrowa. Na pierwszej pozycji masz 9 cyfr, nie 10, a przy zakazie powtórzeń zero wraca do gry dopiero od drugiej pozycji.

**Pułapka 2:** Podwójne liczenie przy warunku „lub”. Liczby spełniające obie własności liczysz raz. Jeśli w odpowiedziach widzisz wynik, który jest dokładnie sumą dwóch grup, to prawie zawsze jest to odpowiedź pułapka.

**Pułapka 3:** Pomylenie „liczb od 1 do 999” z „liczbami trzycyfrowymi”. Tych pierwszych jest 999, tych drugich 900. Przy podzielności przez 5 daje to 199 kontra 180.

**Pułapka 4:** Brak rozbicia na przypadki, gdy cyfry nie mogą się powtarzać, a na ostatniej pozycji może stanąć zero. Iloczyn \(9 \cdot 8 \cdot 5\) wygląda rozsądnie, ale liczy źle, co widać w Przykładzie 1.

**Pułapka 5:** Zgubiona jedynka przy liczeniu wyrazów od pierwszej do ostatniej wielokrotności. Od 105 do 994 co 7 jest 128 liczb, a nie 127.

**Pułapka 6:** Mylenie „dokładnie raz” z „co najmniej raz”. Dokładnie jedna siódemka to rozbicie na pozycje siódemki, co najmniej jedna to dopełnienie. Te dwa warunki dają różne wyniki.

Jeżeli chcesz zobaczyć, jak te same reguły działają przy permutacjach, wariacjach i kombinacjach, zajrzyj do wpisu o [permutacjach, wariacjach i kombinacjach na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Co musisz umieć

- Rozpoznać w poleceniu własność liczby i dobrać do niej jedną z czterech metod.
- Policzyć liczby n-cyfrowe z warunkiem na ostatnią cyfrę, zaczynając od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
- Rozbić zadanie na rozłączne przypadki, gdy zero może stanąć na końcu, a cyfry się nie powtarzają.
- Policzyć wielokrotności liczby k w przedziale wzorem z części całkowitej.
- Użyć dopełnienia przy warunku „co najmniej jedna” albo „nie wszystkie”.
- Zastosować wzór \(|A| + |B| - |A \cap B|\) przy warunku „lub”.
- Wypisać rozkłady małej sumy cyfr i policzyć ich ustawienia bez zera na początku.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Cztery zadania na metody z tego wpisu: suma cyfr, wielokrotności w przedziale i warunek na jedno zero. Każde ma rozwiązanie krok po kroku.

Następny krok: Losuj zadanie z działu Kombinatoryka (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach?

Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\). Pierwsza cyfra ma 9 możliwości (bez zera), druga też 9 (wraca zero, odpada pierwsza cyfra), a trzecia 8. Gdy dochodzi warunek parzystości, trzeba rozbić zadanie na przypadki według ostatniej cyfry i wtedy wychodzi 328.

### Jak policzyć liczby podzielne przez 3 lub 5 w przedziale?

Liczysz osobno wielokrotności 3 i wielokrotności 5 wzorem \(\lfloor b/k \rfloor - \lfloor (a-1)/k \rfloor\), dodajesz oba wyniki i odejmujesz wielokrotności 15. Od 1 do 1000 daje to \(333 + 200 - 66 = 467\). Bez odjęcia części wspólnej liczby podzielne przez 15 policzysz dwa razy.

### Kiedy stosować regułę mnożenia, a kiedy dodawania?

Regułę mnożenia stosujesz, gdy wybierasz cyfry kolejno dla różnych pozycji jednej liczby, a regułę dodawania, gdy dzielisz zadanie na rozłączne przypadki. W Przykładzie 1 mnożysz w obrębie przypadku „zero na końcu” (\(9 \cdot 8 = 72\)) i w obrębie przypadku „inna parzysta na końcu” (\(8 \cdot 8 \cdot 4 = 256\)), a wyniki przypadków dodajesz.

### Jak uniknąć podwójnego liczenia liczb spełniających dwa warunki?

Przy warunku „lub” odejmij liczby, które spełniają oba warunki naraz, zgodnie ze wzorem \(|A| + |B| - |A \cap B|\). Przy rozbiciu na przypadki pilnuj, żeby przypadki się nie zazębiały: „zero na końcu” i „zero w środku” są rozłączne, a „siódemka na początku” i „siódemka na końcu” już nie.

### Ile liczb czterocyfrowych ma sumę cyfr równą zadanej wartości?

Zależy od wartości, a liczysz to przez wypisanie rozkładów sumy na cztery cyfry i ustawień bez zera na początku. Dla sumy 2 są cztery takie liczby: 2000, 1100, 1010 i 1001. Dla sumy 3 jest ich już 10: rozkład 3, 0, 0, 0 daje jedną liczbę, rozkład 2, 1, 0, 0 sześć, a rozkład 1, 1, 1, 0 trzy.