---
route: /zbior-wartosci-funkcji-jak-wyznaczyc-matura
title: Zbiór wartości funkcji - jak wyznaczyć krok po kroku
description: Zbiór wartości funkcji liniowej, kwadratowej i wykładniczej oraz odczyt z wykresu. Schemat w 4 krokach, przykłady CKE i pułapki z nawiasami.
type: task_solution
category: Funkcje
tags: zbiór wartości funkcji, jak wyznaczyć zbiór wartości, zbiór wartości funkcji kwadratowej, zbiór wartości funkcji wykładniczej, zbiór wartości z wykresu, dziedzina a zbiór wartości, funkcje matura, zbiór wartości matura, wierzchołek paraboli zbiór wartości, asymptota pozioma zbiór wartości, matura matematyka funkcje, zbiór wartości krok po kroku
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-12T07:13:57.839+00:00
updated: 2026-08-12T07:13:57.839+00:00
---
# Zbiór wartości funkcji - jak wyznaczyć krok po kroku
Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich liczb, które funkcja może wypluć jako wynik, czyli zbiór wszystkich \(y\), dla których istnieje \(x\) z dziedziny spełniający \(f(x) = y\). Oznaczamy go \(ZW_f\). Żeby go wyznaczyć, sprawdzasz najmniejszą i największą wartość funkcji oraz to, czy funkcja przyjmuje wszystko pomiędzy nimi. Dla funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\) z \(a \neq 0\) zbiorem wartości jest \(\mathbb{R}\), dla funkcji kwadratowej z ramionami w górę jest to \(\langle q, +\infty)\), gdzie \(q\) to druga współrzędna wierzchołka, a dla \(f(x) = 2^x - 3\) jest to \((-3, +\infty)\).

W bazie zadań CKE pytanie o zbiór wartości pojawia się w dwóch postaciach: jako polecenie "odczytaj z wykresu i zapisz zbiór wartości" (tak było w [zadaniu 26 z matury maj 2011](/task/matura-maj-2011-26)) oraz jako część zadania otwartego, w którym najpierw wyznaczasz wzór albo rysujesz wykres, a dopiero potem podajesz zbiór wartości. Poniżej masz schemat, który obsługuje oba warianty, i komplet typów funkcji z matury podstawowej.

## Zbiór wartości a dziedzina - czym się różnią

Dziedzina to zbiór dozwolonych \(x\), czyli argumentów. Zbiór wartości to zbiór otrzymanych \(y\), czyli wyników. Na wykresie dziedzinę czytasz, rzutując wykres na oś \(OX\) (poziomo), a zbiór wartości, rzutując go na oś \(OY\) (pionowo). To jedno zdanie ratuje najwięcej punktów, bo połowa błędów w tym temacie to zwykłe pomylenie osi.

Kolejność pracy zawsze jest taka sama: najpierw dziedzina, potem zbiór wartości. Jeśli nie masz pewności, jak wyznaczyć dziedzinę dla funkcji z pierwiastkiem, logarytmem albo ułamkiem, zajrzyj do poradnika [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji krok po kroku](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura), bo bez poprawnej dziedziny zbiór wartości też wyjdzie zły.

Uwaga na słownictwo. Zbiór wartości to nie to samo co przeciwdziedzina. Przeciwdziedzina to zbiór, w którym mieszczą się wyniki (najczęściej \(\mathbb{R}\)), a zbiór wartości to dokładnie te wyniki, które funkcja realnie osiąga. Na maturze pytają zawsze o ten drugi.

## Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji - schemat w 4 krokach

Zbiór wartości wyznaczasz w czterech ruchach: ustalasz dziedzinę, rozpoznajesz typ funkcji, znajdujesz wartość graniczną (wierzchołek, asymptotę albo wynik na krańcach przedziału) i zapisujesz przedział, pamiętając o tym, czy koniec jest domknięty. Ten sam schemat działa dla wzoru i dla wykresu.

**Krok 1: wyznacz dziedzinę.** Bez tego nie wiesz, jakie \(x\) wolno wstawiać, a więc nie wiesz, jakie \(y\) mogą powstać.

**Krok 2: rozpoznaj typ funkcji.** Liniowa, kwadratowa, wykładnicza, wymierna, z pierwiastkiem, z wartością bezwzględną, trygonometryczna. Każdy typ ma swój gotowy schemat, który znajdziesz niżej.

**Krok 3: znajdź wartość graniczną.** Dla kwadratowej to \(q\) z wierzchołka, dla wykładniczej i wymiernej to asymptota pozioma, dla pierwiastka i wartości bezwzględnej to najmniejsza możliwa wartość, dla dziedziny ograniczonej to wartości na krańcach przedziału.

**Krok 4: zapisz przedział i sprawdź nawiasy.** Nawias ostry \(\langle\) oznacza, że wartość jest osiągana, nawias okrągły \((\) oznacza, że nie jest. Asymptota nigdy nie należy do zbioru wartości, wierzchołek paraboli zawsze należy.

## Zbiór wartości funkcji liniowej

Dla funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\) określonej na całym \(\mathbb{R}\) sprawa jest krótka. Jeśli \(a \neq 0\), zbiorem wartości jest \(\mathbb{R}\), bo prosta ukośna rośnie lub maleje bez ograniczeń. Jeśli \(a = 0\), funkcja jest stała i zbiorem wartości jest jednoelementowy zbiór \(\{b\}\).

$$f(x) = -3x + 7 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \mathbb{R}$$

$$f(x) = 5 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \{5\}$$

Pułapka pojawia się, gdy funkcja liniowa jest określona tylko na przedziale. Wtedy zbiorem wartości jest przedział między wartościami na krańcach. Więcej przykładów z parametrem znajdziesz w tekście o [funkcji liniowej z parametrem](/funkcja-liniowa-z-parametrem-zadania-matura).

**Przykład.** Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f(x) = 2x - 1\) dla \(x \in \langle -1, 3)\).

**Krok 1: sprawdź monotoniczność.** \(a = 2 > 0\), więc funkcja jest rosnąca.

**Krok 2: policz wartości na krańcach.** \(f(-1) = -3\), \(f(3) = 5\).

**Krok 3: przenieś typ nawiasów.** Skoro funkcja jest rosnąca, lewy kraniec przechodzi na lewy, a prawy na prawy: \(ZW_f = \langle -3, 5)\).

## Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Dla funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) określonej na \(\mathbb{R}\) zbiór wartości zależy tylko od znaku \(a\) i od drugiej współrzędnej wierzchołka \(q\). Gdy \(a > 0\), ramiona idą w górę i \(ZW_f = \langle q, +\infty)\). Gdy \(a  0\) i \(a \neq 1\) przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc \(ZW_f = (0, +\infty)\). Zero nigdy nie należy do zbioru wartości, bo potęga o dodatniej podstawie nie może się wyzerować. Prosta \(y = 0\) jest asymptotą poziomą i to ona wyznacza otwarty koniec przedziału.

Gdy do wzoru dochodzi przesunięcie pionowe, cały zbiór wartości przesuwa się razem z wykresem:

$$f(x) = 2^x - 3 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = (-3, +\infty)$$

$$f(x) = -3^x + 1 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = (-\infty, 1)$$

W drugim przykładzie minus przed potęgą odbija wykres względem osi \(OX\), więc wartości są mniejsze od jedynki i nigdy jej nie osiągają. Zasada ogólna: dla \(f(x) = c \cdot a^{x} + q\) asymptotą poziomą jest \(y = q\), a zbiór wartości to \((q, +\infty)\) przy \(c > 0\) i \((-\infty, q)\) przy \(c  0\) oraz \(a  0\) zbiorem wartości jest \(\langle q, +\infty)\), a dla \(a  0\) i \(a \neq 1\) zbiorem wartości jest \((0, +\infty)\), bo potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni. Po przesunięciu wykresu o \(q\) w pionie zbiorem wartości jest \((q, +\infty)\), a zero nigdy do niego nie należy.

### Kiedy w zbiorze wartości stawiamy nawias ostry, a kiedy okrągły?
Nawias ostry stawiasz wtedy, gdy funkcja tę wartość osiąga, na przykład w wierzchołku paraboli albo w pierwiastku z zera. Nawias okrągły stawiasz przy asymptocie i zawsze przy symbolu nieskończoności.

### Czy zbiór wartości może być zbiorem skończonym?
Tak. Funkcja stała ma jednoelementowy zbiór wartości, a funkcja opisana tabelą albo regułą typu "ostatnia cyfra kwadratu" ma zbiór wartości złożony z kilku liczb, które wypisujesz w nawiasach klamrowych bez powtórzeń.

### Jak zbiór wartości pomaga w zadaniach o liczbie rozwiązań równania?
Równanie \(f(x) = c\) ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych ma wykres funkcji z prostą poziomą \(y = c\). Jeśli \(c\) nie należy do zbioru wartości, równanie nie ma rozwiązań, a to bardzo szybko zamyka zadania z parametrem.

### Czy zbiór wartości to to samo co przeciwdziedzina?
Nie. Przeciwdziedzina to zbiór, w którym mieszczą się wszystkie wyniki i zwykle jest nim \(\mathbb{R}\), a zbiór wartości to dokładnie te liczby, które funkcja osiąga. Na maturze pytanie zawsze dotyczy zbioru wartości.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)