---
route: /zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie
title: Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku
description: Jak rozwiązać zadanie z prędkością, drogą i czasem na maturze: wzór s = v·t, zamiana minut na godziny, równanie kwadratowe i 8 zadań CKE krok po kroku.
type: task_solution
category: Równania i nierówności
tags: zadania z prędkością drogą i czasem, zadania z treścią prędkość matura, zadanie o pociągach matura, wzór na prędkość drogę i czas, zadania na spotkanie matura, średnia prędkość zadania maturalne, równanie wymierne zadanie z treścią, zadania tekstowe matura matematyka, jak zamienić minuty na godziny, matura maj 2012 zadanie 34, matura maj 2014 zadanie 33, zadania z treścią równanie kwadratowe
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-26T07:12:47.898+00:00
updated: 2026-08-26T07:12:47.898+00:00
---
# Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku
Zadanie z prędkością, drogą i czasem rozwiązujesz z jednego wzoru \(s=v\cdot t\), czyli \(t=\frac{s}{v}\) oraz \(v=\frac{s}{t}\). Oznaczasz niewiadomą prędkość \(v\), każdy czas zapisujesz jako drogę podzieloną przez prędkość (\(\frac{s}{v}\) i \(\frac{s}{v+k}\), gdzie \(k\) to różnica prędkości z treści), a warunek "o godzinę krócej" albo "razem 64 minuty" zamieniasz na równanie wymierne. Po pomnożeniu przez wspólny mianownik dostajesz równanie kwadratowe, liczysz deltę i odrzucasz pierwiastek ujemny. Minuty zamieniasz na godziny zawsze przed podstawieniem: \(40\) min to \(\frac{2}{3}\) h, \(75\) min to \(1{,}25\) h.

To jeden z najbardziej powtarzalnych typów zadań otwartych. W naszej bazie zadań CKE jest 13 zadań o prędkości, w tym pięć zadań za 5 punktów z arkuszy głównych: maj 2012 (zadanie 34), maj 2013 (zadanie 34), maj 2014 (zadanie 33), sierpień 2012 (zadanie 34) i sierpień 2014 (zadanie 32), a do tego zadanie 33 z czerwca 2016 łączące prędkość z procentami. Wszystkie mają identyczny szkielet, więc gdy raz go opanujesz, rozwiązujesz każde z nich w kilka minut. Niżej rozwiązujemy osiem zadań krok po kroku, a listę typów zadań tekstowych znajdziesz w przewodniku po [zadaniach z treścią na maturze](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac).

## Wzór na prędkość, drogę i czas - co musisz mieć w głowie

Prędkość to droga podzielona przez czas: \(v=\frac{s}{t}\). Stąd droga to \(s=v\cdot t\), a czas to \(t=\frac{s}{v}\). W zadaniach maturalnych prawie zawsze wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to właśnie o czasie mówi warunek z treści ("o godzinę krócej", "razem 64 minuty", "wyjechał 20 minut wcześniej").

Trzy rzeczy, które decydują o poprawnym wyniku:

- **Jednostki muszą się zgadzać.** Jeśli droga jest w kilometrach, a prędkość w km/h, to czas wychodzi w godzinach. Minuty z treści zamieniasz na godziny, dzieląc przez 60: \(20\) min \(=\frac{1}{3}\) h, \(40\) min \(=\frac{2}{3}\) h, \(12\) min \(=\frac{1}{5}\) h \(=0{,}2\) h, \(75\) min \(=\frac{5}{4}\) h \(=1{,}25\) h, \(1\) h \(4\) min \(=\frac{64}{60}\) h \(=\frac{16}{15}\) h.
- **Zamiana km/h na m/s.** \(1\) km/h \(=\frac{1000}{3600}\) m/s \(=\frac{1}{3{,}6}\) m/s. Czyli \(36\) km/h \(=10\) m/s, a \(72\) km/h \(=20\) m/s. Na maturze podstawowej ta zamiana pojawia się rzadko, ale w zadaniach zamkniętych za 1 punkt bywa całym zadaniem.
- **Prędkość jest średnia.** Wszystkie zadania zakładają stałą (średnią) prędkość na odcinku. Nie ma tu przyspieszania ani zwalniania, więc wzór \(s=v\cdot t\) działa bez żadnych poprawek.

## Schemat rozwiązania zadania z prędkością w 5 krokach

Każde zadanie tekstowe o ruchu rozwiązujesz w tej samej kolejności: oznaczenie niewiadomej, tabela z drogą, prędkością i czasem, równanie z warunku o czasie, równanie kwadratowe, sprawdzenie pierwiastków. Ten schemat wystarcza na wszystkie zadania z tego wpisu.

**Krok 1: oznacz niewiadomą** Zwykle \(v\) to prędkość wolniejszego pojazdu (albo ta, o którą pyta polecenie). Drugą prędkość zapisujesz przez \(v\): "o 24 km/h większa" to \(v+24\), "o 9,5 km/h mniejsza" to \(v-9{,}5\).

**Krok 2: zrób tabelę droga / prędkość / czas** Dla każdego pojazdu lub odcinka wpisz drogę i prędkość, a czas policz jako \(\frac{s}{v}\). Tabela zajmuje 30 sekund, a eliminuje 90 procent pomyłek.

**Krok 3: zapisz równanie z warunku o czasie** Warunek "krócej o 1 h" oznacza: dłuższy czas minus krótszy czas \(=1\). Warunek "razem 64 minuty" oznacza: suma czasów \(=\frac{16}{15}\). Warunek "wyjechał godzinę wcześniej i spotkali się" oznacza: czas pierwszego \(=\) czas drugiego \(+1\).

**Krok 4: pomnóż przez wspólny mianownik i policz deltę** Równanie wymierne z \(v\) w mianowniku mnożysz przez \(v(v+k)\). Wychodzi równanie kwadratowe. Jak przejść od równania wymiernego do kwadratowego bez gubienia dziedziny, pokazujemy we wpisie o [rozwiązywaniu równań wymiernych](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura), a samą deltę powtórzysz w artykule [jak obliczyć deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

**Krok 5: odrzuć pierwiastek bez sensu i sprawdź** Prędkość ujemna odpada od razu. Czasem odpada też pierwiastek dodatni, bo treść daje dodatkowy warunek ("prędkość mniejsza od 25 km/h"). Na końcu podstaw wynik do treści i sprawdź, czy czasy faktycznie różnią się o tyle, ile trzeba. To sprawdzenie warto zapisać w arkuszu, egzaminator lubi je widzieć.

## Trzy typy zadań o ruchu, które spotkasz na maturze

Zadania z prędkością na maturze dzielą się na trzy schematy: ta sama trasa pokonana przez dwa pojazdy (albo ten sam pojazd dwa razy), droga tam i z powrotem oraz jazda naprzeciw siebie do spotkania. W dwóch pierwszych równanie buduje różnica lub suma czasów, w trzecim równość czasów jazdy do miejsca spotkania.

1. **Ta sama trasa, dwie prędkości.** Pociąg pospieszny i osobowy, kolarz szybszy i wolniejszy, kierowca w jedną i w drugą stronę. Równanie: \(\frac{s}{v}-\frac{s}{v+k}=\Delta t\). To najczęstszy typ (maj 2012, maj 2013, sierpień 2012, sierpień 2014, próbna styczeń 2014).
2. **Tam i z powrotem, suma czasów.** Turysta wchodzi wolniej, schodzi szybciej, znasz łączny czas. Równanie: \(\frac{s}{v}+\frac{s}{v+k}=T\) (maj 2014).
3. **Naprzeciw siebie, spotkanie.** Dwa pojazdy ruszają z \(A\) i \(B\), jeden wcześniej. Drogi do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, a czasy jazdy różnią się o przesunięcie startu (próbna luty 2013, zbiór treningowy CKE).

Osobną kategorią jest średnia prędkość na całej trasie, gdzie nie ma żadnego równania kwadratowego, tylko pułapka ze średnią arytmetyczną. Do niej wracamy w zadaniu z próbnej grudzień 2014.

## Zadanie 34 (matura maj 2012) - dwa pociągi na tej samej trasie

Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\) km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\) km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

**Krok 1: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) oznacza prędkość pociągu osobowego w km/h, \(v>0\). Pociąg pospieszny jedzie z prędkością \(v+24\).

**Krok 2: zapisz czasy** Osobowy: \(t_o=\frac{210}{v}\). Pospieszny: \(t_p=\frac{210}{v+24}\).

**Krok 3: równanie z warunku** Pospieszny jedzie o godzinę krócej, więc czas osobowego minus czas pospiesznego to \(1\):
$$\frac{210}{v}-\frac{210}{v+24}=1$$

**Krok 4: pomnóż przez \(v(v+24)\)**
$$210(v+24)-210v=v(v+24)$$
$$5040=v^2+24v \quad\Rightarrow\quad v^2+24v-5040=0$$
\(\Delta=24^2+4\cdot 5040=576+20160=20736\), \(\sqrt{\Delta}=144\).
$$v=\frac{-24+144}{2}=60 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-24-144}{2}=-84$$

**Krok 5: odrzuć i odpowiedz** Prędkość \(-84\) odpada. Osobowy jedzie \(60\) km/h, pospieszny \(60+24=84\) km/h. Czas pospiesznego: \(t_p=\frac{210}{84}=2{,}5\) h, czyli \(2\) godziny \(30\) minut.

Sprawdzenie: osobowy \(\frac{210}{60}=3{,}5\) h, pospieszny \(2{,}5\) h, różnica dokładnie \(1\) h. Uważaj na końcówkę: polecenie pyta o czas pospiesznego, nie o prędkość. Wiele osób kończy na \(v=60\) i traci ostatni punkt. Pełna treść i punktacja w [zadaniu 34 z matury maj 2012](/task/matura-maj-2012-34), a cały arkusz na stronie [matury maj 2012](/exams/matura-maj-2012).

## Zadanie 34 (matura maj 2013) - różnica czasu podana w minutach

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\) kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9\) km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

**Krok 1: zamień minuty na godziny** \(40\) min \(=\frac{40}{60}\) h \(=\frac{2}{3}\) h. Bez tej zamiany równanie będzie mieszać godziny z minutami i wynik wyjdzie bez sensu.

**Krok 2: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) to prędkość drugiego (wolniejszego) pociągu, \(v>0\). Pierwszy jedzie z prędkością \(v+9\).

**Krok 3: równanie z warunku** Czas drugiego minus czas pierwszego to \(\frac{2}{3}\) h:
$$\frac{336}{v}-\frac{336}{v+9}=\frac{2}{3}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(3v(v+9)\)**
$$1008(v+9)-1008v=2v(v+9)$$
$$9072=2v^2+18v \quad\Rightarrow\quad v^2+9v-4536=0$$
\(\Delta=81+4\cdot 4536=81+18144=18225\), \(\sqrt{\Delta}=135\).
$$v=\frac{-9+135}{2}=63 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-9-135}{2}=-72$$

**Krok 5: odpowiedź** Drugi pociąg: \(63\) km/h. Pierwszy pociąg: \(63+9=72\) km/h.

Sprawdzenie: \(\frac{336}{63}=5\frac{1}{3}\) h \(=5\) h \(20\) min, \(\frac{336}{72}=4\frac{2}{3}\) h \(=4\) h \(40\) min. Różnica \(40\) minut, zgadza się. Zauważ, że \(\sqrt{18225}=135\) wychodzi "ładnie". W zadaniach CKE delta jest prawie zawsze kwadratem liczby całkowitej, więc jeśli wychodzi ci pierwiastek niewymierny, wróć do równania i szukaj błędu rachunkowego. Treść zadania: [zadanie 34, matura maj 2013](/task/matura-maj-2013-34).

## Zadanie 33 (matura maj 2014) - tam i z powrotem, suma czasów

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2{,}1\) km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinę i \(4\) minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \(1\) km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

**Krok 1: zamień czas** \(1\) h \(4\) min \(=\frac{64}{60}\) h \(=\frac{16}{15}\) h.

**Krok 2: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) to prędkość wchodzenia (o nią pyta polecenie), \(v>0\). Prędkość schodzenia to \(v+1\).

**Krok 3: równanie z sumy czasów** Tu czasy się dodają, bo znasz łączny czas obu odcinków:
$$\frac{2{,}1}{v}+\frac{2{,}1}{v+1}=\frac{16}{15}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(15v(v+1)\)**
$$31{,}5(v+1)+31{,}5v=16v(v+1)$$
$$63v+31{,}5=16v^2+16v \quad\Rightarrow\quad 16v^2-47v-31{,}5=0$$
Pomnóż przez \(2\), żeby pozbyć się ułamka: \(32v^2-94v-63=0\).
\(\Delta=94^2+4\cdot 32\cdot 63=8836+8064=16900\), \(\sqrt{\Delta}=130\).
$$v=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3{,}5 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{94-130}{64}18\), bo prędkość pani Danuty \(v-18\) musi być dodatnia.

**Krok 3: równanie** Czas Danuty minus czas Lidii to \(1{,}25\) h:
$$\frac{450}{v-18}-\frac{450}{v}=\frac{5}{4}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(4v(v-18)\)**
$$1800v-1800(v-18)=5v(v-18)$$
$$32400=5v^2-90v \quad\Rightarrow\quad v^2-18v-6480=0$$
\(\Delta=324+25920=26244\), \(\sqrt{\Delta}=162\).
$$v=\frac{18+162}{2}=90 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{18-162}{2}=-72$$

**Krok 5: odpowiedź** Pani Lidia: \(90\) km/h. Pani Danuta: \(90-18=72\) km/h.

Sprawdzenie: \(\frac{450}{90}=5\) h, \(\frac{450}{72}=6{,}25\) h, różnica \(1{,}25\) h \(=75\) min. Zwróć uwagę na założenie \(v>18\) z kroku 2. Gdy niewiadoma stoi w wyrażeniu \(v-18\), dziedzina równania to nie tylko \(v\neq 0\), ale też \(v\neq 18\), a sens fizyczny wymaga \(v>18\). Zapisz to w rozwiązaniu, to część punktacji za poprawne oznaczenia. Arkusz: [matura sierpień 2014](/exams/matura-sierpien-2014), treść: [zadanie 32](/task/matura-sierpie-2014-32).

## Zadanie 97 (zbiór zadań treningowych CKE) - rowerzyści naprzeciw siebie i wybór pierwiastka

Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z \(B\) do \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

**Krok 1: policz drogi do miejsca spotkania** Rowerzysta z \(A\): \(\frac{9}{13}\cdot 182=126\) km. Rowerzysta z \(B\): \(182-126=56\) km.

**Krok 2: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) to prędkość rowerzysty z \(B\), przy czym \(09\). Samochód z \(A\) jedzie \(v-9\). Przesunięcie startu: \(20\) min \(=\frac{1}{3}\) h.

**Krok 3: równanie** Samochód z \(A\) jechał do spotkania o \(\frac{1}{3}\) h dłużej:
$$\frac{168}{v-9}=\frac{162}{v}+\frac{1}{3}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(3v(v-9)\)**
$$504v=486(v-9)+v(v-9)$$
$$504v=486v-4374+v^2-9v \quad\Rightarrow\quad v^2-27v-4374=0$$
\(\Delta=729+17496=18225\), \(\sqrt{\Delta}=135\).
$$v=\frac{27+135}{2}=81 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{27-135}{2}=-54$$

**Krok 5: odpowiedź** Samochód z \(B\): \(81\) km/h. Samochód z \(A\): \(72\) km/h.

Sprawdzenie: samochód z \(B\) jechał \(\frac{162}{81}=2\) h, samochód z \(A\) jechał \(\frac{168}{72}=2\frac{1}{3}\) h, czyli o \(20\) minut dłużej. W zadaniach na spotkanie nie ma osobnej niewiadomej "czas": czas każdego pojazdu wyrażasz przez jego drogę do spotkania i prędkość, a łączy je przesunięcie startu. Treść: [zadanie 32, próbna luty 2013](/task/matura-pr-bna-luty-2013-32).

## Zadanie 29 (matura próbna grudzień 2014) - średnia prędkość to nie średnia arytmetyczna

Samochód przejechał z miejscowości \(A\) do miejscowości \(C\) przez miejscowość \(B\), która znajduje się w połowie drogi z \(A\) do \(C\). Średnia prędkość na trasie z \(A\) do \(B\) była równa \(40\) km/h, a na trasie z \(B\) do \(C\) \(60\) km/h. Oblicz średnią prędkość samochodu na całej trasie z \(A\) do \(C\).

Odpowiedź \(50\) km/h jest błędna. Średnia prędkość to cała droga podzielona przez cały czas, a nie średnia arytmetyczna prędkości na odcinkach. Samochód jedzie dłużej na wolniejszym odcinku, więc wolniejsza prędkość "waży" więcej i wynik wychodzi poniżej \(50\).

**Krok 1: oznacz drogę** Niech cała trasa ma długość \(2s\), wtedy każdy odcinek ma długość \(s\).

**Krok 2: policz czasy** \(t_{AB}=\frac{s}{40}\), \(t_{BC}=\frac{s}{60}\). Razem: \(t=\frac{s}{40}+\frac{s}{60}=\frac{3s+2s}{120}=\frac{5s}{120}=\frac{s}{24}\).

**Krok 3: średnia prędkość** \(v_{sr}=\frac{2s}{\frac{s}{24}}=48\) km/h.

Ogólny wzór dla dwóch równych odcinków to \(v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\) (średnia harmoniczna): \(\frac{2\cdot 40\cdot 60}{100}=48\). Gdy odcinki nie są równe, wracasz do definicji: suma dróg przez sumę czasów. To dokładnie ten sam mechanizm, co przy [średniej ważonej](/jak-obliczyc-srednia-wazona-wzor-zadania-matura): prędkości ważysz czasami jazdy, nie drogami. Treść: [zadanie 29, próbna grudzień 2014](/task/matura-pr-bna-grudzie-2014-29).

## Zadanie 33 (matura czerwiec 2016) - prędkość i procenty w jednym zadaniu

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot nad Austrią we wtorek?

**Krok 1: oznacz** Niech \(v\) to zakładana prędkość przelotowa, a \(x\) czas przelotu we wtorek w minutach. Wtorek: prędkość \(1{,}1v\), czas \(x\). Czwartek: prędkość \(0{,}9v\), czas \(x+12\) (wolniej, więc dłużej).

**Krok 2: droga jest ta sama** Droga nad Austrią nie zmienia się, więc \(s=1{,}1v\cdot x=0{,}9v\cdot(x+12)\).

**Krok 3: skróć \(v\) i rozwiąż** Prędkość \(v\) jest dodatnia, więc dzielisz obie strony przez \(v\):
$$1{,}1x=0{,}9x+10{,}8 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2x=10{,}8 \quad\Rightarrow\quad x=54$$

**Krok 4: odpowiedź** Przelot we wtorek trwał \(54\) minuty (w czwartek \(66\) minut).

Tu nie ma równania kwadratowego, bo nie znasz drogi ani prędkości, tylko ich stosunek. Trik polega na zapisaniu tej samej drogi dwoma sposobami i skróceniu \(v\). Zamianę "o 10% większa" na mnożnik \(1{,}1\) powtórzysz we wpisie o [obliczaniu procentu z liczby i zmianie procentowej](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa). Treść: [zadanie 33, matura czerwiec 2016](/task/matura-czerwiec-2016-33).

## Typowe pułapki w zadaniach z prędkością

- **Minuty w równaniu obok godzin.** "40 minut krócej" wpisane jako \(40\) zamiast \(\frac{2}{3}\) daje równanie bez sensownych pierwiastków. Zamieniaj jednostki w pierwszym kroku, zanim napiszesz równanie.
- **Odjęte w złą stronę.** Różnica czasów to zawsze czas wolniejszego minus czas szybszego, wtedy wychodzi liczba dodatnia. Jeśli odejmiesz odwrotnie, dostaniesz \(-1\) po prawej stronie i wszystkie znaki się poplączą.
- **Plus zamiast minus (albo odwrotnie).** "Tam i z powrotem, razem 64 minuty" to suma czasów. "O godzinę krócej" to różnica. Przeczytaj warunek dwa razy, zanim wybierzesz znak.
- **Zgubiona dziedzina.** Przy \(v-18\) w mianowniku zapisz \(v>18\). Egzaminator sprawdza, czy oznaczenia mają sens fizyczny, a to część punktów za pierwszy etap rozwiązania.
- **Odpowiedź na inne pytanie.** Zadanie z maja 2012 pyta o czas, zadanie z maja 2014 o prędkość wchodzenia, zadanie z sierpnia 2014 o obie prędkości. Po policzeniu \(v\) wróć do polecenia i odpowiedz dokładnie na nie.
- **Zignorowany warunek z treści.** "Prędkość mniejsza od 25 km/h" nie jest ozdobnikiem, tylko kluczem do odrzucenia drugiego pierwiastka (zadanie 97).
- **Średnia arytmetyczna prędkości.** \(\frac{40+60}{2}=50\) jest błędne, poprawne \(48\). Średnią prędkość zawsze liczysz z całej drogi i całego czasu.
- **Brak sprawdzenia.** Podstawienie wyniku do treści zajmuje 20 sekund i wyłapuje błąd w delcie. W zadaniach za 5 punktów to najtańsze ubezpieczenie, jakie masz.

## Jak jest punktowane zadanie z prędkością

Zadania tego typu w arkuszach 2012-2016 były za 5 punktów, a schemat oceniania nagradzał każdy etap osobno: poprawne oznaczenia i wyrażenie czasów przez prędkość, ułożenie równania, doprowadzenie do równania kwadratowego, obliczenie pierwiastków z odrzuceniem niewłaściwego, odpowiedź zgodna z pytaniem. Nawet jeśli pomylisz się w delcie, dobrze ułożone równanie daje zwykle 2 z 5 punktów. Dlatego tabela i równanie muszą być zapisane czytelnie, a nie "w głowie". Szczegóły punktacji zadań otwartych opisujemy we wpisie [jak punktowane są zadania na maturze](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania), a strategię pisania rozwiązań w [poradniku o zadaniach otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Najczęstsze pytania

### Jaki jest wzór na prędkość, drogę i czas?
Prędkość to droga podzielona przez czas: \(v=\frac{s}{t}\). Z tego samego wzoru masz drogę \(s=v\cdot t\) oraz czas \(t=\frac{s}{v}\). W zadaniach maturalnych najczęściej wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to o czasie mówi warunek z treści zadania.

### Jak zamienić minuty na godziny w zadaniu z prędkością?
Dzielisz liczbę minut przez 60 i zostawiasz ułamek zwykły: \(20\) min to \(\frac{1}{3}\) h, \(40\) min to \(\frac{2}{3}\) h, \(75\) min to \(\frac{5}{4}\) h, a \(1\) h \(4\) min to \(\frac{64}{60}=\frac{16}{15}\) h. Zamiany dokonujesz przed napisaniem równania, a nie po jego rozwiązaniu.

### Dlaczego w zadaniu z prędkością wychodzi równanie kwadratowe?
Bo prędkość stoi w mianowniku obu czasów: \(\frac{s}{v}\) i \(\frac{s}{v+k}\). Po pomnożeniu równania przez wspólny mianownik \(v(v+k)\) po prawej stronie pojawia się iloczyn \(v\cdot(v+k)=v^2+kv\), czyli wyrażenie kwadratowe. Jeden z dwóch pierwiastków jest zawsze ujemny albo sprzeczny z treścią i go odrzucasz.

### Jak obliczyć średnią prędkość na całej trasie?
Dzielisz całą drogę przez cały czas jazdy: \(v_{sr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}\). Dla dwóch równych odcinków pokonanych z prędkościami \(v_1\) i \(v_2\) wychodzi \(v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\), na przykład dla \(40\) i \(60\) km/h dostajesz \(48\) km/h, a nie \(50\).

### Jak rozwiązać zadanie, w którym dwa pojazdy jadą naprzeciw siebie?
Drogi obu pojazdów do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, więc najpierw liczysz każdą z nich. Potem czas każdego pojazdu zapisujesz jako jego drogę podzieloną przez jego prędkość, a równanie buduje przesunięcie startu: ten, który wyjechał wcześniej, jechał do spotkania odpowiednio dłużej.

### Który pierwiastek równania kwadratowego wybrać w zadaniu z prędkością?
Ten, który ma sens w treści zadania. Ujemny odpada zawsze, bo prędkość jest dodatnia. Jeśli oba są dodatnie, treść zawiera dodatkowy warunek, na przykład "prędkość mniejsza od 25 km/h", który wskazuje właściwy pierwiastek. Sprawdź też, czy wybrana wartość nie zeruje żadnego mianownika.

### Ile punktów jest za zadanie z prędkością na maturze?
W arkuszach z lat 2012-2016 zadania o pociągach, kolarzach i turystach były zadaniami otwartymi za 5 punktów (na przykład zadanie 34 z maja 2012 i zadanie 33 z maja 2014). Punkty przyznawano etapami: za oznaczenia i równanie, za równanie kwadratowe, za pierwiastki z odrzuceniem niewłaściwego i za odpowiedź.

## Checklista: co musisz umieć

- Zapisać \(s=v\cdot t\) i przekształcić na \(t=\frac{s}{v}\) oraz \(v=\frac{s}{t}\).
- Zamienić minuty na godziny ułamkiem zwykłym przed ułożeniem równania.
- Oznaczyć prędkość wolniejszego pojazdu jako \(v\), a szybszego jako \(v+k\), z dziedziną \(v>0\) (lub \(v>k\) przy \(v-k\)).
- Zbudować tabelę droga / prędkość / czas dla każdego pojazdu lub odcinka.
- Rozpoznać typ warunku: różnica czasów, suma czasów albo przesunięcie startu przy spotkaniu.
- Pomnożyć równanie wymierne przez wspólny mianownik i policzyć deltę.
- Odrzucić pierwiastek ujemny lub sprzeczny z warunkiem z treści.
- Odpowiedzieć dokładnie na pytanie z polecenia i zapisać sprawdzenie.
- Liczyć średnią prędkość z całej drogi i całego czasu, nigdy ze średniej arytmetycznej.

Więcej zadań tego typu przećwiczysz w dziale [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) oraz w zestawie [zadań CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami). Jeśli chcesz przejść przez cały arkusz z tego okresu, zacznij od [matury maj 2013](/exams/matura-maj-2013), w której znajdziesz zadanie o dwóch pociągach.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)