---
route: /zadania-o-lokatach-i-podatkach-matura-podatek-od-odsetek
title: Zadania o lokatach i podatkach na maturze: podatek od odsetek, VAT, ceny netto i brutto
description: Zadania o lokatach i podatkach: podatek liczysz od odsetek, nie od kapitału, a cenę netto dzielisz przez 1,23. Wzory i zadania CKE krok po kroku.
type: topic_guide
category: Procenty
tags: zadania o lokatach i podatkach, lokata z podatkiem, podatek od odsetek, jak obliczyć odsetki po podatku, lokata matura zadania, procent składany z podatkiem, cena netto z ceny brutto, podatek VAT zadania, jak obliczyć cenę netto, zadania z procentów lokata, punkt procentowy prowizja
author: Marcel Bogdan
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan
published: 2026-10-15T10:49:15+00:00
updated: 2026-10-15T10:55:36.372+00:00
---
# Zadania o lokatach i podatkach na maturze: podatek od odsetek, VAT, ceny netto i brutto
Zadanie o lokacie z podatkiem rozwiązujesz w trzech ruchach: liczysz odsetki od kapitału, odejmujesz podatek liczony wyłącznie od tych odsetek, a resztę dodajesz do kapitału. Podatek nigdy nie zmniejsza wpłaconej kwoty, tylko zysk, więc przy oprocentowaniu \(4\%\) i podatku \(19\%\) realnie zarabiasz \(0{,}81 \cdot 4\% = 3{,}24\%\). Zadania o podatku VAT liczysz tym samym narzędziem: cena brutto to cena netto razy \(1{,}23\), a cenę netto dostajesz, dzieląc brutto przez \(1{,}23\).

## W skrócie

- Podatek od odsetek liczysz od samego zysku, więc kwota po roku to \(K\left(1 + 0{,}81 \cdot \frac{p}{100}\right)\) przy podatku \(19\%\).
- Gdy podatek pobierany jest co roku, procent składany liczysz z oprocentowaniem już pomniejszonym o podatek.
- Cena brutto z VAT \(23\%\) to netto razy \(1{,}23\), a netto z brutto to brutto podzielone przez \(1{,}23\), nigdy brutto minus \(23\%\).
- Kwotę sprzed podatku, podwyżki albo lokaty odzyskujesz dzieleniem przez mnożnik, a wynik sprawdzasz mnożeniem w drugą stronę.
- Spadek prowizji z \(4\%\) do \(3\%\) to spadek o \(1\) punkt procentowy, ale o \(25\%\) w ujęciu względnym.

## Gdzie na maturze pojawiają się lokaty i podatki

Zadania o lokatach i podatkach należą do działu [procenty na maturze podstawowej](/topics/procenty) i niemal zawsze mają formę zadania zamkniętego za jeden punkt. Bank, klient i lokata dwuletnia to stały scenariusz: lokata dwuletnia z odsetkami \(7\%\) pojawiła się w arkuszu z czerwca 2023, trzyletnia z odsetkami \(6\%\) w arkuszu z czerwca 2024, a dwuletnia z odsetkami \(6\%\) w arkuszu z maja 2026. Podatek od odsetek wchodzi do treści rzadziej, ale gdy już jest, zmienia cały rachunek: w arkuszu z maja 2015 trzeba było wybrać wzór na kwotę po roku z podatkiem \(19\%\).

Zwróć uwagę na dopisek, który CKE stawia w nawiasie prawie w każdym takim zadaniu: „bez uwzględniania podatków”. To nie jest ozdoba. Ten dopisek mówi ci, że liczysz czysty procent składany i nic nie odejmujesz. Gdy dopisku nie ma, a w treści pada słowo „podatek”, musisz go uwzględnić. Gdy z kolei stoi „już po uwzględnieniu podatków”, podane oprocentowanie jest efektywne i podatku nie odejmujesz drugi raz.

Ten wpis łączy trzy typy zadań, które na pierwszy rzut oka wyglądają różnie: lokaty z podatkiem od odsetek, ceny z podatkiem VAT i zadania odwrotne, w których szukasz kwoty sprzed zmiany. Wszystkie trzy rozwiązujesz jednym narzędziem, czyli mnożnikiem procentowym. Jeśli procenty sprawiają ci trudność od podstaw, zacznij od wpisu o tym, [jak obliczyć procent z liczby i liczbę z procentu](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa), a potem wróć tutaj.

## Słownik pojęć z treści zadań

Zadania finansowe gubią uczniów nie matematyką, tylko słowami. Zanim zaczniesz liczyć, przetłumacz treść na liczby. Oto pojęcia, które CKE stosuje najczęściej.

**Kapitał początkowy** \(K\) to kwota, którą klient wpłacił na lokatę na samym początku. Wszystkie późniejsze kwoty liczysz od niego albo od kapitału, który urósł po kolejnych okresach.

**Oprocentowanie w skali roku** \(p\%\) mówi, ile procent kapitału bank dolicza po roku. Jeśli odsetki są doliczane częściej, na przykład co kwartał, roczne oprocentowanie dzielisz na części: kwartał to \(\frac{p}{4}\%\), pół roku to \(\frac{p}{2}\%\).

**Okres kapitalizacji** to odstęp, po którym odsetki dopisuje się do kapitału. Po kapitalizacji odsetki same zaczynają zarabiać, i właśnie na tym polega procent składany. Fraza „od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie” w treści zadania oznacza dokładnie procent składany.

**Odsetki** to różnica między kwotą na lokacie a kapitałem. Gdy zadanie pyta o „łączną wartość doliczonych odsetek”, odpowiedzią jest sam zysk, bez kapitału. To jedno z najczęstszych miejsc, w których uczeń zaznacza złą odpowiedź, bo podaje całą kwotę.

**Podatek od odsetek** (w Polsce potocznie nazywany podatkiem od zysków kapitałowych) bank pobiera od samego zysku. Stawkę zawsze dostajesz w treści zadania; w arkuszu z maja 2015 było to \(19\%\).

**Cena netto** to cena bez podatku VAT, a **cena brutto** to cena z podatkiem. Stawka VAT w zadaniu też zawsze jest podana. W przykładach w tym wpisie przyjmujemy stawkę \(23\%\).

**Punkt procentowy** to różnica między dwiema wartościami wyrażonymi w procentach. Oprocentowanie, które spada z \(5\%\) do \(4\%\), spada o \(1\) punkt procentowy, ale o \(20\%\) swojej wartości. Szczegółowo omawiamy to we wpisie o tym, [czym punkt procentowy różni się od procentu](/punkt-procentowy-a-procent-roznica-jak-liczyc-matura).

## Mnożnik procentowy: jedno narzędzie do wszystkich zadań

Zamiast liczyć osobno „ile to jest \(19\%\)” i potem odejmować, zamieniaj każdą zmianę procentową na mnożnik. Wzrost o \(p\%\) to mnożenie przez \(1 + \frac{p}{100}\), spadek o \(p\%\) to mnożenie przez \(1 - \frac{p}{100}\). Kilka zmian po kolei to iloczyn mnożników.

| Sytuacja z zadania | Mnożnik |
| --- | --- |
| odsetki \(6\%\) po roku | \(1{,}06\) |
| zabranie \(19\%\) podatku | \(0{,}81\) |
| odsetki \(4\%\) po podatku \(19\%\) | \(1 + 0{,}81 \cdot 0{,}04 = 1{,}0324\) |
| doliczenie VAT \(23\%\) | \(1{,}23\) |
| obniżka ceny o \(15\%\) | \(0{,}85\) |
| dwa lata odsetek \(5\%\) | \(1{,}05^2 = 1{,}1025\) |

Zauważ trzeci wiersz. Podatek nie mnoży całej kwoty przez \(0{,}81\), bo wtedy klient straciłby część wpłaconych pieniędzy. Przez \(0{,}81\) mnożysz tylko odsetki, czyli \(0{,}04\), a potem dodajesz jedynkę, która reprezentuje kapitał. To jest cała tajemnica zadań o lokatach z podatkiem.

Mnożnik ma jeszcze jedną zaletę: działa w obie strony. Jeśli znasz kwotę po zmianie, dzielisz ją przez mnożnik i dostajesz kwotę sprzed zmiany. Dzięki temu zadania odwrotne, które wyglądają na trudniejsze, rozwiązujesz jednym dzieleniem.

## Wzory

Odsetki z jednego roku:

$$O = K \cdot \frac{p}{100}$$

Odsetki po podatku:

$$O_{\text{netto}} = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \left(1 - \frac{t}{100}\right)$$

Kwota po roku z podatkiem:

$$K_1 = K \cdot \left(1 + \left(1 - \frac{t}{100}\right) \cdot \frac{p}{100}\right)$$

Procent składany po n latach:

$$K_n = K \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

Kapitalizacja m razy w roku:

$$K_n = K \cdot \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot n}$$

Cena brutto z VAT:

$$B = N \cdot \left(1 + \frac{v}{100}\right)$$

Litera \(t\) oznacza stawkę podatku od odsetek, \(v\) stawkę VAT, \(n\) liczbę lat, a \(m\) liczbę kapitalizacji w roku. Wzoru z podatkiem nie musisz uczyć się na pamięć: składasz go sam z dwóch mnożników, więc wystarczy rozumieć, skąd się bierze.

## Lokata roczna z podatkiem od odsetek krok po kroku

Weźmy prosty przypadek, zanim przejdziemy do zadania z arkusza. Klient wpłaca \(2000\) zł na roczną lokatę oprocentowaną \(5\%\). Po roku bank pobiera podatek \(19\%\) od naliczonych odsetek. Ile klient wypłaci?

Krok pierwszy to odsetki: \(2000 \cdot 0{,}05 = 100\) zł. Krok drugi to podatek od odsetek: \(100 \cdot 0{,}19 = 19\) zł. Krok trzeci to odsetki po podatku: \(100 - 19 = 81\) zł. Na koniec dodajesz je do kapitału: \(2000 + 81 = 2081\) zł.

Ten sam wynik daje jeden mnożnik: \(2000 \cdot (1 + 0{,}81 \cdot 0{,}05) = 2000 \cdot 1{,}0405 = 2081\) zł. Liczba \(4{,}05\%\) to efektywne oprocentowanie po podatku. Opłaca się ją policzyć na początku, bo przy lokacie wieloletniej podstawiasz ją do wzoru na procent składany.

Najczęstszy błąd w tym miejscu to policzenie podatku od całej kwoty: \(2100 \cdot 0{,}81 = 1701\) zł. Taki wynik jest mniejszy od wpłaty, więc od razu widać, że jest absurdalny. Lokata z dodatnim oprocentowaniem nigdy nie oddaje mniej, niż wpłaciłeś. Ten prosty test rozsądku odrzuca w zadaniach zamkniętych przynajmniej jedną błędną odpowiedź.

## Przykład 1: lokata roczna z podatkiem (matura maj 2015, zadanie 3)

**Treść:** Kwotę \(1000\) zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:

- A) \(1000 \cdot \left(1 + \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100}\right)\)
- B) \(1000 \cdot \left(1 - \frac{19}{100} \cdot \frac{4}{100}\right)\)
- C) \(1000 \cdot \left(1 - \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100}\right)\)
- D) \(1000 \cdot \left(1 + \frac{19}{100} \cdot \frac{4}{100}\right)\)

**Krok 1: Odsetki przed podatkiem.** Bank dolicza \(4\%\) od \(1000\) zł.

$$O = 1000 \cdot \frac{4}{100} = 40 \text{ zł}$$

**Krok 2: Odsetki po podatku.** Podatek zabiera \(19\%\) odsetek, więc klientowi zostaje \(81\%\) z nich.

$$O_{\text{netto}} = \frac{81}{100} \cdot 40 = 32{,}40 \text{ zł}$$

**Krok 3: Kwota do wypłaty.** Do kapitału dodajesz odsetki po podatku i wyciągasz \(1000\) przed nawias.

$$1000 + 1000 \cdot \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100} = 1000 \cdot \left(1 + \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100}\right) = 1032{,}40 \text{ zł}$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedzi B i C dają kwotę mniejszą niż \(1000\) zł, a D dolicza klientowi tylko część odsetek równą podatkowi.

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania z oprocentowaniem podanym już po uwzględnieniu podatków: tu podatku nie odejmujesz, tylko liczysz procent składany przez dziesięć lat.

Zadanie z bazy: /task/cke-2025-pp-09

## Lokata wieloletnia i podatek pobierany co roku

Przy lokacie na kilka lat zadanie musi powiedzieć, kiedy bank pobiera podatek. Są dwie możliwości i dają różne wyniki.

**Podatek po każdym roku.** Odsetki po podatku dopisuje się do kapitału co roku, więc w kolejnym roku zarabia tylko to, co zostało po opodatkowaniu. Liczysz wtedy procent składany z efektywnym oprocentowaniem \(\left(1 - \frac{t}{100}\right) \cdot p\%\). Przy \(5\%\) i podatku \(19\%\) to \(4{,}05\%\), więc po \(n\) latach masz \(K \cdot 1{,}0405^n\).

**Podatek raz, na końcu.** Kapitał rośnie przez cały czas z pełnym oprocentowaniem, a podatek zabiera \(19\%\) od wszystkich odsetek naraz po zamknięciu lokaty. Liczysz wtedy najpierw \(K \cdot 1{,}05^n\), odejmujesz kapitał, żeby dostać odsetki, mnożysz je przez \(0{,}81\) i dodajesz z powrotem kapitał.

Na maturze podstawowej częściej trafisz na pierwszy wariant ukryty w treści: „oprocentowanie wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków)”. To zdanie oznacza, że ktoś policzył efektywne oprocentowanie za ciebie i podstawiasz je wprost do wzoru na procent składany. Wzór na procent składany i to, jak liczyć odsetki z kolejnych lat, rozkładamy na części we wpisie o tym, [jak działa procent składany na maturze](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki).

## Przykład 2: podatek co roku czy na końcu

**Treść:** Klient wpłacił \(10\,000\) zł na lokatę dwuletnią oprocentowaną \(5\%\) w skali roku, z kapitalizacją roczną. Podatek od odsetek wynosi \(19\%\). Oblicz, ile klient wypłaci po dwóch latach, gdy bank pobiera podatek po każdym roku, a ile, gdy pobiera go raz, na końcu lokaty.

**Krok 1: Podatek co roku, efektywne oprocentowanie.** Po podatku zostaje \(81\%\) odsetek, więc efektywnie lokata rośnie o \(0{,}81 \cdot 5\% = 4{,}05\%\) rocznie.

$$K_2 = 10\,000 \cdot 1{,}0405^2 = 10\,000 \cdot 1{,}08264025 \approx 10\,826{,}40 \text{ zł}$$

**Krok 2: Sprawdzenie rok po roku.** Po pierwszym roku odsetki to \(500\) zł, podatek \(95\) zł, na lokacie \(10\,405\) zł. W drugim roku odsetki to \(10\,405 \cdot 0{,}05 = 520{,}25\) zł, a po podatku \(520{,}25 \cdot 0{,}81 \approx 421{,}40\) zł, czyli razem około \(10\,826{,}40\) zł. Wynik się zgadza.

**Krok 3: Podatek na końcu, kwota przed podatkiem.** Kapitał rośnie dwa lata z pełnym oprocentowaniem.

$$10\,000 \cdot 1{,}05^2 = 10\,000 \cdot 1{,}1025 = 11\,025 \text{ zł}$$

**Krok 4: Podatek od wszystkich odsetek.** Odsetki to \(1025\) zł, podatek \(1025 \cdot 0{,}19 = 194{,}75\) zł, po podatku zostaje \(830{,}25\) zł.

$$10\,000 + 830{,}25 = 10\,830{,}25 \text{ zł}$$

**Odpowiedź:** przy podatku pobieranym co roku klient wypłaci około \(10\,826{,}40\) zł, a przy podatku pobieranym na końcu \(10\,830{,}25\) zł. Różnica bierze się stąd, że w drugim wariancie przez rok zarabiają także pieniądze, które później zabierze podatek.

## Kapitalizacja kilka razy w roku

Gdy bank dopisuje odsetki częściej niż raz w roku, zmieniają się dwie rzeczy naraz: oprocentowanie jednego okresu i liczba okresów. Przy rocznej stopie \(3\%\) i kapitalizacji co cztery miesiące rok dzieli się na trzy okresy, więc w każdym bank dolicza \(\frac{3\%}{3} = 1\%\). Osiem miesięcy to dwa takie okresy, czyli wykładnik \(2\), a nie \(8\) ani \(\frac{8}{12}\).

Uczniowie często zapominają o jednej z tych dwóch zmian. Podstawiają \(3\%\) i liczbę okresów albo \(1\%\) i liczbę lat. Zawsze zapisz sobie obok treści dwie liczby: oprocentowanie jednego okresu i liczbę okresów. Dopiero wtedy podstawiaj do wzoru. Poniżej zadanie otwarte za dwa punkty, w którym obie zmiany trzeba zrobić samodzielnie, a do tego zadanie jest odwrotne: znasz przyrost, szukasz wpłaty.

Zadanie z bazy: /task/cke-2015-2023-pp-10

**Krok 1: Oprocentowanie jednego okresu.** Rok ma trzy okresy czteromiesięczne, więc w każdym bank dolicza \(\frac{3\%}{3} = 1\%\), czyli mnożnik \(1{,}01\).

**Krok 2: Liczba okresów.** Osiem miesięcy to dwa okresy, więc kapitał \(K\) rośnie do \(K \cdot 1{,}01^2 = 1{,}0201 \cdot K\).

**Krok 3: Równanie z przyrostu.** Na rachunku jest o \(916{,}56\) zł więcej niż na początku, więc \(1{,}0201 K - K = 916{,}56\), czyli \(0{,}0201 K = 916{,}56\).

**Krok 4: Wpłata.** Dzielisz: \(K = \frac{916{,}56}{0{,}0201} = 45\,600\) zł. Sprawdzenie: \(45\,600 \cdot 0{,}0201 = 916{,}56\).

**Odpowiedź:** na lokatę wpłacono \(45\,600\) zł.

Jeśli chcesz zobaczyć, jak szybko rośnie kapitał przy różnych oprocentowaniach i liczbie lat, sprawdź to w kalkulatorze poniżej. Wpisz to samo oprocentowanie raz bez podatku, a raz pomnożone przez \(0{,}81\), i porównaj wyniki.

Interaktywny kalkulator: procent-skladany (dostępny na stronie wpisu)

## Podatek VAT: cena netto i cena brutto

Zadania z VAT-em są prostsze od lokat, bo nie ma w nich upływu czasu, ale kryją jedną pułapkę, na której traci punkty mnóstwo osób. Cena brutto powstaje z ceny netto przez doliczenie podatku: \(B = N \cdot 1{,}23\) przy stawce \(23\%\). Towar za \(200\) zł netto kosztuje więc \(200 \cdot 1{,}23 = 246\) zł brutto.

Kłopot zaczyna się w drugą stronę. Skoro VAT to \(23\%\), kusi, żeby od ceny brutto odjąć \(23\%\). Tymczasem \(23\%\) liczy się od ceny netto, a nie od brutto. Dla \(246\) zł brutto odjęcie \(23\%\) daje \(246 \cdot 0{,}77 = 189{,}42\) zł, a nie \(200\) zł. Poprawnie dzielisz: \(246 : 1{,}23 = 200\) zł.

Ta sama zasada działa przy każdej zmianie ceny. Podwyżka o \(25\%\), po której następuje obniżka o \(25\%\), nie wraca do ceny wyjściowej: \(1{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}9375\), czyli cena spada o \(6{,}25\%\). Więcej takich par podwyżek i obniżek znajdziesz w zestawie [zadań CKE z procentów z rozwiązaniami](/zadania-cke-procenty-z-rozwiazaniami).

Kwota samego podatku VAT to różnica między ceną brutto a netto. Z ceny netto liczysz ją jako \(N \cdot 0{,}23\). Z ceny brutto najprościej najpierw policzyć netto, a potem odjąć. Przy \(246\) zł brutto podatek to \(246 - 200 = 46\) zł, czyli \(\frac{23}{123}\) ceny brutto, a nie \(23\%\) tej ceny.

## Przykład 3: cena netto z ceny brutto

**Treść:** Cena brutto telewizora, razem z podatkiem VAT w wysokości \(23\%\), wynosi \(1845\) zł. Cena netto tego telewizora jest równa:

- A) \(1420{,}65\) zł
- B) \(1500\) zł
- C) \(1600\) zł
- D) \(2269{,}35\) zł

**Krok 1: Zapis z mnożnikiem.** Cena brutto to cena netto razy \(1{,}23\).

$$N \cdot 1{,}23 = 1845$$

**Krok 2: Dzielenie przez mnożnik.** Szukasz ceny netto, więc dzielisz cenę brutto przez \(1{,}23\).

$$N = \frac{1845}{1{,}23} = 1500 \text{ zł}$$

**Krok 3: Sprawdzenie.** \(1500 \cdot 1{,}23 = 1845\), więc wynik się zgadza.

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A to \(1845 \cdot 0{,}77\), czyli odjęcie \(23\%\) od ceny brutto, a D to doliczenie VAT-u drugi raz.

## Zadania odwrotne: kwota przed podatkiem i przed lokatą

Zadanie odwrotne podaje wynik zmiany procentowej i pyta o punkt wyjścia. Klient odebrał z lokaty pewną kwotę, a ty masz policzyć, ile wpłacił. Klient dostał odsetki po podatku, a ty masz policzyć odsetki przed podatkiem. Schemat jest zawsze ten sam: zapisz równanie z mnożnikiem i podziel.

Przy odsetkach po podatku \(243\) zł i podatku \(19\%\) odsetki przed podatkiem to \(\frac{243}{0{,}81} = 300\) zł. Przy kwocie \(4851\) zł po dwóch latach z odsetkami \(5\%\) wpłata to \(\frac{4851}{1{,}05^2}\). W obu przypadkach sprawdzenie mnożeniem trwa kilka sekund i chroni przed pomyłką w dzieleniu.

W zadaniach zamkniętych masz jeszcze szybszą drogę: pomnóż każdą z odpowiedzi przez mnożnik i zobacz, która daje kwotę z treści. To nie jest oszukiwanie, tylko rozsądne wykorzystanie formy zadania, zwłaszcza gdy dzielenie przez \(1{,}1025\) bez kalkulatora z pamięcią wydaje się męczące.

## Przykład 4: wpłata z kwoty po dwóch latach (matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 3)

**Treść:** Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(5\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę \(4851\) zł (bez uwzględnienia podatków). Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa:

- A) \(4300\) zł
- B) \(4400\) zł
- C) \(4500\) zł
- D) \(4600\) zł

**Krok 1: Równanie z procentem składanym.** Dwa lata po \(5\%\) to mnożnik \(1{,}05^2 = 1{,}1025\).

$$K \cdot 1{,}1025 = 4851$$

**Krok 2: Wpłata.** Dzielisz kwotę końcową przez mnożnik.

$$K = \frac{4851}{1{,}1025} = 4400 \text{ zł}$$

**Krok 3: Sprawdzenie.** \(4400 \cdot 1{,}05 = 4620\), a \(4620 \cdot 1{,}05 = 4851\).

**Odpowiedź: B.** Podatku nie odejmujesz, bo treść mówi wprost „bez uwzględnienia podatków”.

## Przykład 5: odsetki przed podatkiem

**Treść:** Po zakończeniu rocznej lokaty bank pobrał podatek \(19\%\) od odsetek i klient otrzymał \(243\) zł odsetek. Lokata była oprocentowana \(6\%\) w skali roku. Oblicz, jaką kwotę klient wpłacił na lokatę.

**Krok 1: Odsetki przed podatkiem.** Po podatku zostaje \(81\%\) odsetek, więc dzielisz przez \(0{,}81\).

$$O = \frac{243}{0{,}81} = 300 \text{ zł}$$

**Krok 2: Kapitał z odsetek.** Odsetki to \(6\%\) kapitału.

$$K = \frac{300}{0{,}06} = 5000 \text{ zł}$$

**Krok 3: Sprawdzenie.** \(5000 \cdot 0{,}06 = 300\) zł odsetek, podatek \(300 \cdot 0{,}19 = 57\) zł, po podatku \(300 - 57 = 243\) zł.

**Odpowiedź:** klient wpłacił \(5000\) zł.

## Kredyt, prowizja i punkty procentowe

Kredyty na maturze podstawowej pojawiają się rzadziej niż lokaty i zwykle nie wymagają liczenia rat. Typowe zadanie sprawdza, czy odróżniasz zmianę o punkt procentowy od zmiany procentowej. Prowizja, oprocentowanie kredytu i stopa podatku są wyrażone w procentach, więc ich zmianę można opisać na dwa sposoby i oba dają inne liczby.

Zmiana w punktach procentowych to zwykłe odejmowanie: z \(4\%\) do \(3\%\) to \(1\) punkt procentowy. Zmiana procentowa to ta różnica podzielona przez wartość wyjściową: \(\frac{1}{4} = 25\%\). Szerszy przegląd wszystkich typów zadań z działu, od zmian cen po lokaty, znajdziesz we wpisie o tym, [jak wyglądają procenty na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

## Przykład 6: obniżka prowizji (matura maj 2019, zadanie 3)

**Treść:** W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o:

- A) \(1\%\)
- B) \(25\%\)
- C) \(33\%\)
- D) \(75\%\)

**Krok 1: Nowa prowizja.** Obniżka o \(1\) punkt procentowy to odejmowanie: \(4\% - 1\% = 3\%\).

**Krok 2: Zmiana względna.** Różnicę dzielisz przez wartość wyjściową.

$$\frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4} = 25\%$$

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A myli punkt procentowy z procentem, C dzieli przez nową prowizję zamiast starej, a D to stosunek nowej prowizji do starej.

## Najczęstsze błędy w zadaniach o lokatach i podatkach

**Pułapka:** Podatek liczony od całej kwoty na lokacie zamiast od odsetek. Zapamiętaj test rozsądku: po lokacie z dodatnim oprocentowaniem klient nie może mieć mniej, niż wpłacił.

**Pułapka 2:** Podanie całej kwoty, gdy zadanie pyta o odsetki. W arkuszu z czerwca 2023 przy \(30\,000\) zł i \(7\%\) przez dwa lata poprawne są odsetki \(4347\) zł, a nie kwota \(34\,347\) zł ani odsetki proste \(4200\) zł.

**Pułapka 3:** Odsetki proste zamiast składanych. Dwa lata po \(6\%\) to mnożnik \(1{,}06^2 = 1{,}1236\), a nie \(1{,}12\). Odpowiedź z mnożnikiem \(1{,}18\) przy trzech latach po \(6\%\) to właśnie ten błąd.

**Pułapka 4:** Odejmowanie \(23\%\) od ceny brutto. Cenę netto zawsze dostajesz dzieleniem przez \(1{,}23\).

**Pułapka 5:** Pomylenie oprocentowania okresu z oprocentowaniem rocznym przy kapitalizacji kwartalnej albo półrocznej. Przy \(4\%\) rocznie i kapitalizacji co pół roku mnożnik okresu to \(1{,}02\), a wykładnik to podwojona liczba lat.

**Wskazówka:** Zanim zaczniesz liczyć, podkreśl w treści trzy rzeczy: czy jest podatek i od czego, o co dokładnie pyta zadanie (kwota, odsetki czy procent) oraz jak często bank dopisuje odsetki.

## Co musisz umieć

- Zamienić wzrost i spadek o \(p\%\) na mnożnik i mnożyć kolejne mnożniki.
- Policzyć kwotę po roku na lokacie z podatkiem od odsetek jednym wzorem.
- Wyznaczyć efektywne oprocentowanie po podatku i podstawić je do procentu składanego.
- Policzyć oprocentowanie jednego okresu i liczbę okresów przy kapitalizacji kilka razy w roku.
- Przejść od ceny netto do brutto i z powrotem bez odejmowania procentu od ceny brutto.
- Odzyskać kwotę sprzed podatku albo sprzed lokaty dzieleniem przez mnożnik.
- Odróżnić zmianę o punkt procentowy od zmiany procentowej.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej masz zadania z prawdziwych arkuszy CKE o lokatach. Każde ma rozwiązanie krok po kroku, więc po próbie od razu sprawdzisz, czy pomnożyłeś przez dobry mnożnik.

Następny krok: Losuj zadanie z działu Procenty (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Od czego liczy się podatek od odsetek na lokacie?

Od samych odsetek, czyli od zysku, nigdy od wpłaconego kapitału. Przy podatku \(19\%\) klientowi zostaje \(81\%\) odsetek, więc kwota po roku to \(K\left(1 + 0{,}81 \cdot \frac{p}{100}\right)\). Stawkę podatku zawsze masz podaną w treści zadania.

### Co znaczy dopisek „bez uwzględniania podatków” w zadaniu o lokacie?

Znaczy, że liczysz czysty procent składany i niczego nie odejmujesz. Taki dopisek stoi w większości maturalnych zadań o lokatach, na przykład w arkuszach z czerwca 2023, czerwca 2024 i maja 2026. Gdy w treści stoi „już po uwzględnieniu podatków”, podane oprocentowanie jest efektywne i też nie odejmujesz podatku drugi raz.

### Jak obliczyć cenę netto, gdy znam cenę brutto?

Podziel cenę brutto przez mnożnik VAT, przy stawce \(23\%\) przez \(1{,}23\). Odjęcie \(23\%\) od ceny brutto daje za małą kwotę, bo podatek liczy się od ceny netto. Wynik zawsze sprawdź mnożeniem: netto razy \(1{,}23\) ma dać cenę brutto.

### Czym różni się podatek pobierany co roku od podatku pobieranego na końcu lokaty?

Przy podatku pobieranym co roku kapitał rośnie z efektywnym oprocentowaniem, na przykład \(4{,}05\%\) zamiast \(5\%\). Przy podatku pobieranym na końcu przez cały czas rośnie z pełnym oprocentowaniem, a podatek zabiera część wszystkich odsetek naraz. Drugi wariant daje klientowi trochę więcej, co pokazuje przykład 2 w tym wpisie.