---
route: /zadania-na-wspolna-prace-i-wydajnosc-matura-jak-ulozyc-rownanie
title: Zadania na wspólną pracę i wydajność na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku
description: Robotnicy, pompy i maszyny: jak zamienić treść zadania na równanie 1/a + 1/b = 1/t, kiedy działa proporcjonalność odwrotna i 5 zadań CKE krok po kroku.
type: task_solution
category: Liczby rzeczywiste
tags: zadania na wydajność matura, zadania na wspólną pracę, jak ułożyć równanie praca wspólna, dwóch robotników wykona pracę zadanie, dwie pompy napełniają basen zadanie, proporcjonalność odwrotna robotnicy czas, praca wspólna równanie 1/x + 1/y, ile guzików wyprodukują maszyny, zadania tekstowe równanie kwadratowe, zadania z treścią matura podstawowa
published: 2026-09-17T07:15:00+00:00
updated: 2026-09-20T10:21:00.272773+00:00
---
# Zadania na wspólną pracę i wydajność na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku
Zadanie o wspólnej pracy tłumaczysz na równanie w trzech ruchach: całą pracę oznaczasz jako \(1\), wydajność każdego wykonawcy zapisujesz jako \(1\) podzielone przez jego czas, czyli część pracy wykonaną w ciągu godziny, a wydajności osób pracujących razem dodajesz. Jeśli pierwszy wykonałby pracę sam w \(a\) godzin, drugi w \(b\) godzin, a razem robią ją w \(t\) godzin, to \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}\). Gdy w zadaniu zmienia się tylko liczba jednakowych robotników albo maszyn, równanie jest jeszcze prostsze: iloczyn liczby pracowników i czasu jest stały, a liczba wyprodukowanych sztuk rośnie wprost proporcjonalnie do liczby maszyn i godzin.

Na maturze podstawowej ten typ zadania występuje w dwóch wagach. Za \(1\) punkt, jako zadanie zamknięte, w którym liczysz wprost: w arkuszu z sierpnia 2022 (zadanie 15) trzy maszyny robiły \(1200\) guzików w dwie godziny, a pytanie brzmiało, ile zrobi pięć maszyn w godzinę. I za \(5\) punktów, jako zadanie otwarte z równaniem, czasem kwadratowym: w arkuszu próbnym z lutego 2014 (zadanie 34) dwóch robotników o różnych kwalifikacjach kończy pracę razem w \(12\) dni, a w zbiorze zadań CKE 2015-2023 (zadanie 24) dwie pompy o wydajnościach różniących się o \(20\%\) napełniają basen. Te zadania są bliźniakami [zadań z prędkością, drogą i czasem](/zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie): tam dodajesz drogi, tu dodajesz części pracy. Poniżej masz trzy modele, jeden schemat i pięć zadań z arkuszy rozwiązanych krok po kroku.

## Trzy modele zadań o pracy i wydajności

Zadanie o pracy rozpoznajesz po tym, co się w nim zmienia. Jeśli zmienia się liczba jednakowych pracowników, a pytanie dotyczy czasu, masz proporcjonalność odwrotną. Jeśli zmienia się liczba maszyn i czas, a pytanie dotyczy liczby sztuk, masz proporcjonalność prostą z wydajnością na jedną maszynę. Jeśli wykonawcy różnią się tempem i pracują razem, masz pracę wspólną i ułamki.

**Model 1: więcej ludzi, mniej czasu (proporcjonalność odwrotna).** Czterech malarzy maluje halę w \(6\) godzin, czyli razem przepracowują \(24\) roboczogodziny. Ta liczba to rozmiar pracy i nie zmienia się, gdy zmienia się liczba malarzy. Sześciu malarzy potrzebuje więc \(24 : 6 = 4\) godzin. Iloczyn liczby pracowników i czasu jest stały: \(n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2\). To dokładnie [proporcjonalność odwrotna](/proporcjonalnosc-odwrotna-wzor-wykres-zadania-matura), więc zwykła proporcja „na krzyż” daje tu zły wynik, i to w złą stronę: więcej ludzi wychodzi w niej na dłużej.

**Model 2: maszyny razy godziny (proporcjonalność prosta).** Trzy maszyny w dwie godziny to \(3 \cdot 2 = 6\) maszynogodzin. Jeśli w tym czasie powstało \(1200\) guzików, jedna maszyna robi \(1200 : 6 = 200\) guzików na godzinę. Dalej wszystko jest mnożeniem: pięć maszyn przez godzinę zrobi \(5 \cdot 200 \cdot 1 = 1000\) sztuk. Liczba sztuk jest wprost proporcjonalna i do liczby maszyn, i do czasu.

**Model 3: praca wspólna (ułamki pracy na godzinę).** Wykonawcy różnią się tempem, więc nie policzysz ich „na sztuki”. Zamiast tego pytasz, jaką część całej pracy każdy robi w godzinę. Kto robi pracę w \(6\) godzin, w godzinę robi \(\frac{1}{6}\) pracy. Kto robi ją w \(12\) godzin, w godzinę robi \(\frac{1}{12}\). Razem w godzinę robią \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\) pracy, więc całość zajmie im \(4\) godziny. Ten model prowadzi do [równania wymiernego](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura), a gdy niewiadoma stoi w dwóch mianownikach, do [równania kwadratowego](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania).

## Dlaczego dodajemy wydajności, a nie czasy

Wydajności się dodają, bo w tej samej godzinie każdy wykonawca dokłada swoją część pracy i te części sumują się do wspólnego postępu. Czasy się nie dodają: dwie osoby pracujące razem kończą szybciej niż każda z osobna, a suma czasów byłaby dłuższa niż czas wolniejszej z nich. Dlatego niewiadomą jest czas, ale równanie układasz na wydajnościach.

Zobacz to na liczbach. Adam grabi boisko w \(6\) godzin, Czarek w \(12\). Dodanie czasów daje \(18\) godzin, średnia daje \(9\), a przecież razem muszą skończyć szybciej niż sam Adam, czyli poniżej \(6\) godzin. Poprawny rachunek idzie przez części pracy na godzinę:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

W godzinę robią \(\frac{1}{4}\) pracy, więc całość zajmuje \(4\) godziny. Zapisz to ogólnie. Jeśli pierwszy wykonawca robi pracę w \(a\) godzin, drugi w \(b\) godzin, a razem w \(t\) godzin, to w jednej godzinie pierwszy robi \(\frac{1}{a}\), drugi \(\frac{1}{b}\), a obaj razem \(\frac{1}{t}\) pracy:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$$

Ten sam warunek możesz zapisać jako \(t \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 1\): przez \(t\) godzin pracy z łączną wydajnością powstaje cała praca, czyli \(1\). Obie formy są równoważne. Druga bywa wygodniejsza, gdy znasz czas wspólny, a szukasz czasów pojedynczych.

## Jak ułożyć równanie do zadania o wspólnej pracy

Oznacz niewiadomą jako czas jednej osoby (albo pompy, maszyny), zapisz wydajność każdego wykonawcy jako \(1\) podzielone przez jego czas, a potem zapisz zdanie z treści jako równanie na tych wydajnościach albo czasach. Rozwiąż je, odrzuć rozwiązania spoza dziedziny i wróć do pytania, bo odpowiedzią rzadko jest sama niewiadoma.

Schemat w sześciu krokach:

1. **Ujednolić jednostki.** Minuty na godziny, godziny na dni, zanim cokolwiek podstawisz: \(6\) godzin \(20\) minut to \(6 + \frac{20}{60} = \frac{19}{3}\) godziny, a \(1\) godzina \(40\) minut to \(\frac{5}{3}\) godziny.
2. **Oznaczyć niewiadomą jako czas.** Najczęściej czas wolniejszego wykonawcy: \(x\) dni. Szybszy dostaje wtedy \(x - 10\), gdy „jest szybszy o \(10\) dni”, albo \(\frac{x}{1{,}2}\), gdy „ma wydajność o \(20\%\) większą”.
3. **Zapisać wydajności.** Cała praca to \(1\), więc wydajności to \(\frac{1}{x}\) i \(\frac{1}{x-10}\). Zapisz dziedzinę: czasy są dodatnie, więc \(x > 10\).
4. **Przetłumaczyć zdanie z treści na równanie.** „Razem wykonali pracę w \(12\) dni” to \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}\). „Napełnianie drugą pompą trwa o \(\frac{5}{3}\) godziny dłużej” to równanie na czasach: \(t_2 = t_1 + \frac{5}{3}\).
5. **Rozwiązać.** Wspólny mianownik, mnożenie na krzyż, równanie kwadratowe. Pierwiastek ujemny albo taki, dla którego któryś czas wychodzi ujemny, odrzucasz z komentarzem.
6. **Wrócić do pytania.** Sprawdź, czy pytają o czas wspólny, czas każdego z osobna, czy o część pracy na godzinę, i podaj wynik w jednostce z treści (godziny i minuty, nie ułamek godziny).

Ten schemat to szczególny przypadek metody z wpisu o [zadaniach z treścią](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac): najpierw tłumaczysz język na symbole, dopiero potem liczysz.

## Wzory

Praca w roboczogodzinach (proporcjonalność odwrotna):

$$n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2$$

Wydajność jako część pracy na godzinę:

$$w = \frac{1}{t}$$

Równanie pracy wspólnej dwóch wykonawców:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$$

Czas pracy wspólnej dwóch wykonawców:

$$t = \frac{a \cdot b}{a + b}$$

Ostatni wzór to przekształcone równanie pracy wspólnej, więc nie musisz go zapamiętywać. Dla trzech wykonawców dodajesz trzeci ułamek: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{t}\). Żadnego z tych wzorów nie ma w tablicach maturalnych, bo wynikają wprost z definicji wydajności.

## Przykład 1: Ośmiu robotników zamiast sześciu (matura próbna Operon listopad 2019, zadanie 16)

**Treść:** Sześciu robotników wykonało pewną pracę w ciągu \(6\) godzin i \(20\) minut. Ośmiu robotników pracujących z taką samą wydajnością wykona tę samą pracę w ciągu:

- A) \(8\) godzin i \(26\) minut
- B) \(4\) godzin i \(45\) minut
- C) \(4\) godzin i \(20\) minut
- D) \(4\) godzin i \(40\) minut

**Krok 1: Zamiana czasu na jedną jednostkę.** Godziny z minutami nie nadają się do mnożenia. Przeliczasz na minuty: \(6 \cdot 60 + 20 = 380\) minut. Możesz też na godziny, \(\frac{19}{3}\) godziny, rachunek wyjdzie ten sam.

**Krok 2: Rozmiar pracy w osobominutach.** Sześciu robotników przez \(380\) minut to

$$6 \cdot 380 = 2280 \text{ osobominut}$$

Ta liczba opisuje całą pracę i nie zależy od tego, ilu ludzi ją wykona.

**Krok 3: Czas dla ośmiu robotników.** Tę samą pracę dzielisz między ośmiu:

$$8 \cdot t = 2280 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{2280}{8} = 285 \text{ minut}$$

**Krok 4: Powrót do godzin i minut.** \(285 = 4 \cdot 60 + 45\), czyli \(4\) godziny i \(45\) minut. Kontrola sensu: więcej ludzi, krótszy czas, a \(4\) h \(45\) min jest krótsze od \(6\) h \(20\) min.

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A wychodzi z proporcji ułożonej „na krzyż” jak dla wielkości wprost proporcjonalnych: \(\frac{8 \cdot 380}{6} \approx 506{,}7\) minuty, czyli \(8\) godzin, \(26\) minut i \(40\) sekund, a więcej robotników nie może pracować dłużej. Odpowiedź D bierze się z jednostek: kto zapisze \(6\) h \(20\) min jako \(6{,}2\) godziny, dostanie \(6{,}2 \cdot \frac{6}{8} = 4{,}65\) godziny, czyli \(4\) h \(39\) min, i zaokrągli do D.

## Przykład 2: Ile guzików zrobi pięć maszyn w godzinę (matura sierpień 2022, zadanie 15)

**Treść:** W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

- A) \(800\)
- B) \(900\)
- C) \(1000\)
- D) \(1500\)

**Krok 1: Wydajność jednej maszyny.** Trzy maszyny przez dwie godziny to \(3 \cdot 2 = 6\) maszynogodzin pracy, w których powstało \(1200\) guzików:

$$w = \frac{1200}{3 \cdot 2} = 200 \text{ guzików na godzinę}$$

**Krok 2: Pięć maszyn przez godzinę.** Produkcja to liczba maszyn razy wydajność razy czas:

$$5 \cdot 200 \cdot 1 = 1000$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź D wychodzi, gdy \(600\) guzików na godzinę (tyle robią trzy maszyny) podzielisz przez \(2\) zamiast przez \(3\): \(300 \cdot 5 = 1500\). Odpowiedź A wychodzi, gdy \(400\) guzików przypadających na jedną maszynę w dwie godziny pomnożysz przez \(2\) zamiast podzielić. Kontrola sensu: pięć maszyn przez godzinę to \(5\) maszynogodzin, mniej niż \(6\) z treści, więc wynik musi być mniejszy od \(1200\).

## Przykład 3: Trzech chłopaków grabi boisko razem (matura próbna kwiecień 2020, zadanie 33)

**Treść:** Adam, Bartek i Czarek mają za zadanie zgrabić liście z boiska. Adam sam wykonałby całą pracę w \(6\) godzin, Bartek w \(8\) godzin, a Czarek w \(12\) godzin. Gdyby pracowali razem, to wydajność każdego z nich byłaby o \(33{,}(3)\%\) większa. Ile czasu zajmie zgrabienie całego boiska wszystkim trzem chłopakom, jeśli będą pracowali razem?

**Krok 1: Wydajność każdego z osobna.** Cała praca to \(1\). W ciągu godziny Adam grabi \(\frac{1}{6}\) boiska, Bartek \(\frac{1}{8}\), a Czarek \(\frac{1}{12}\).

**Krok 2: Suma wydajności bez premii.** Wspólny mianownik to \(24\):

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$$

**Krok 3: Wydajność większa o 33,(3)%.** \(33{,}(3)\%\) to dokładnie \(\frac{1}{3}\), więc każda wydajność rośnie do \(\frac{4}{3}\) swojej wartości. Skoro każdy składnik mnożysz przez \(\frac{4}{3}\), możesz pomnożyć od razu całą sumę:

$$W = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$$

Razem grabią pół boiska na godzinę.

**Krok 4: Czas z wydajności.** Czas to cała praca podzielona przez wydajność:

$$t = \frac{1}{W} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

**Odpowiedź:** Zgrabienie boiska zajmie im \(2\) godziny. Kontrola sensu: sam Adam potrzebowałby \(6\) godzin, więc trójka z premią musi skończyć wyraźnie szybciej.

## Przykład 4: Robotnik wykwalifikowany szybszy o 10 dni (matura próbna luty 2014, zadanie 34)

**Treść:** Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono ją obu robotnikom, którzy pracując razem, wykonali ją w ciągu \(12\) dni. W ciągu ilu dni wykonałby pracę każdy robotnik pracując samodzielnie?

**Krok 1: Niewiadoma i dziedzina.** Niech \(x\) oznacza liczbę dni pracy niewykwalifikowanego robotnika. Wykwalifikowany jest szybszy, więc potrzebuje \(x - 10\) dni. Oba czasy muszą być dodatnie, stąd \(x > 10\).

**Krok 2: Wydajności dzienne.** Niewykwalifikowany robi \(\frac{1}{x}\) pracy dziennie, wykwalifikowany \(\frac{1}{x-10}\).

**Krok 3: Równanie z pracy wspólnej.** Razem wykonali pracę w \(12\) dni, czyli ich łączna wydajność to \(\frac{1}{12}\) pracy dziennie:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}$$

**Krok 4: Wspólny mianownik i równanie kwadratowe.** Lewą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika, potem mnożysz na krzyż:

$$\frac{2x - 10}{x(x-10)} = \frac{1}{12} \quad \Rightarrow \quad 12(2x - 10) = x^2 - 10x$$

$$24x - 120 = x^2 - 10x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 34x + 120 = 0$$

**Krok 5: Delta i pierwiastki.**

$$\Delta = 34^2 - 4 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676, \quad \sqrt{\Delta} = 26$$

$$x_1 = \frac{34 - 26}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{34 + 26}{2} = 30$$

**Krok 6: Odrzucenie pierwiastka spoza dziedziny.** Dla \(x = 4\) wykwalifikowany robotnik pracowałby \(4 - 10 = -6\) dni, co nie ma sensu i łamie warunek \(x > 10\). Zostaje \(x = 30\), a wtedy \(x - 10 = 20\).

**Krok 7: Sprawdzenie.** \(\frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}\), czyli razem faktycznie potrzebują \(12\) dni.

**Odpowiedź:** Niewykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w \(30\) dni, wykwalifikowany w \(20\) dni.

## Przykład 5: Dwie pompy i wydajność większa o 20% (zbiór zadań CKE 2015-2023, zadanie 24)

**Treść:** Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o \(1\) godzinę i \(40\) minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy, pracując jednocześnie.

**Krok 1: Jednostki i niewiadoma.** \(1\) godzina \(40\) minut to \(1 + \frac{40}{60} = \frac{5}{3}\) godziny. Niech \(t\) oznacza czas napełniania basenu samą drugą, wolniejszą pompą, w godzinach. Jej wydajność to \(w_2 = \frac{1}{t}\) basenu na godzinę.

**Krok 2: Wydajność i czas pierwszej pompy.** „O \(20\%\) większa wydajność” to \(1{,}2\) razy większa:

$$w_1 = 1{,}2 \cdot \frac{1}{t} = \frac{6}{5t}$$

Czas to odwrotność wydajności, więc pierwsza pompa napełnia basen w \(\frac{5t}{6}\) godziny. Zwróć uwagę: jej czas nie jest o \(20\%\) krótszy, tylko o \(\frac{1}{6}\) krótszy.

**Krok 3: Równanie z różnicy czasów.** Druga pompa pracuje o \(\frac{5}{3}\) godziny dłużej niż pierwsza:

$$t = \frac{5t}{6} + \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{t}{6} = \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad t = 10$$

Druga pompa napełnia basen w \(10\) godzin, pierwsza w \(\frac{50}{6} = \frac{25}{3}\) godziny, czyli \(8\) godzin \(20\) minut. Różnica to \(1\) godzina \(40\) minut, zgodnie z treścią.

**Krok 4: Łączna wydajność.** Wydajności dodajesz:

$$w_1 + w_2 = \frac{6}{5 \cdot 10} + \frac{1}{10} = \frac{12}{100} + \frac{10}{100} = \frac{22}{100}$$

**Odpowiedź:** W ciągu godziny obie pompy napełnią \(\frac{22}{100} = \frac{11}{50}\) basenu, czyli \(22\%\). Pytanie dotyczy części basenu, nie czasu, więc nie licz dalej odwrotności \(\frac{100}{22}\), chyba że zadanie pyta o czas wspólny.

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Dodawanie czasów zamiast wydajności. Jeśli Adam grabi boisko w \(6\) godzin, a Czarek w \(12\), to razem nie potrzebują ani \(18\), ani \(9\) godzin. Razem muszą skończyć szybciej niż szybszy z nich, więc wynik powyżej \(6\) godzin jest od razu podejrzany. Dodajesz \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}\), nie \(6 + 12\).

**Pułapka 2:** „Wydajność o \(20\%\) większa” to nie „czas o \(20\%\) krótszy”. Wydajność \(1{,}2w\) daje czas \(\frac{t}{1{,}2} = \frac{5}{6}t\), czyli krótszy o \(\frac{1}{6}\), około \(16{,}7\%\). Procent odnosi się do tej wielkości, przy której stoi w zdaniu. Jeśli mieszasz ci się, co jest podstawą procentu, zajrzyj do wpisu o [obliczaniu procentu z liczby i zmianie procentowej](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa).

**Pułapka 3:** Jednostki mieszane. \(6\) godzin \(20\) minut to \(\frac{19}{3}\) godziny, nie \(6{,}2\). W przykładzie 1 błędne \(6{,}2\) prowadzi prosto do odpowiedzi D. Zamień wszystko na minuty albo na godziny w ułamku zwykłym, zanim zaczniesz mnożyć.

**Pułapka 4:** Pierwiastek, który przechodzi przez równanie, ale nie przez treść. W przykładzie 4 równanie kwadratowe dało \(x = 4\) i \(x = 30\). Czwórka jest dodatnia, więc ktoś, kto sprawdza tylko znak, ją zostawi. Tymczasem \(x - 10 = -6\) dni. Dziedzinę zapisuj na starcie (\(x > 10\)) i odrzucaj pierwiastek z komentarzem.

**Pułapka 5:** Znak przy „szybciej o \(10\) dni”. Szybszy wykonawca ma krótszy czas, więc jeśli wolniejszy pracuje \(x\) dni, szybszy pracuje \(x - 10\), nie \(x + 10\). Odwrotnie, gdy oznaczysz czas szybszego jako \(x\): wolniejszy dostaje \(x + 10\). Oba wybory są dobre, jeśli znak zgadza się ze zdaniem.

**Pułapka 6:** Odpowiedź to nie zawsze niewiadoma. W przykładzie 5 liczysz \(t = 10\), ale pytanie dotyczy części basenu napełnianej w godzinę przez obie pompy. W przykładzie 3 liczysz łączną wydajność \(\frac{1}{2}\), a odpowiedzią jest czas \(2\) godziny. Po rozwiązaniu równania przeczytaj pytanie jeszcze raz.

**Wskazówka:** W zadaniu zamkniętym za \(1\) punkt zrób kontrolę sensu przed zaznaczeniem: więcej ludzi to krótszy czas, więcej maszyn to więcej sztuk, praca wspólna to czas krótszy niż czas najszybszego wykonawcy. Ta jedna myśl odrzuca zwykle połowę odpowiedzi.

**Zapamiętaj:** W zadaniu otwartym za \(5\) punktów oceniane są etapy rozwiązania, nie sam wynik: oznaczenie niewiadomej z jednostką, poprawne równanie, jego rozwiązanie, odrzucenie pierwiastka sprzecznego z treścią i odpowiedź z jednostką. Zapisuj równanie nawet wtedy, gdy nie umiesz go dokończyć. Jak dokładnie dzieli się punkty, przeczytasz we wpisie o [punktowaniu zadań na maturze](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Co musisz umieć

- Rozpoznać, czy zadanie dotyczy proporcjonalności odwrotnej, prostej, czy pracy wspólnej.
- Zamienić godziny i minuty na jedną jednostkę, także na ułamek zwykły.
- Zapisać wydajność jako 1 podzielone przez czas i dodać wydajności pracujących razem.
- Przetłumaczyć „o 10 dni krócej” i „o 20% większa wydajność” na wyrażenia z niewiadomą.
- Rozwiązać równanie wymierne i równanie kwadratowe, które z niego wychodzi.
- Odrzucić pierwiastek sprzeczny z dziedziną i uzasadnić to jednym zdaniem.
- Wrócić do pytania i podać odpowiedź w jednostce z treści.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zacznij od zadania o ekipie wymieniającej tory kolejowe (matura próbna grudzień 2014, zadanie 11): znów działa proporcjonalność odwrotna, tym razem z pytaniem o liczbę dodatkowych osób. Dwa kolejne to krótkie zadania zamknięte z tego samego działu, o liczeniu liczb o zadanych cyfrach, nie o pracy: potraktuj je jako rozgrzewkę na jeden punkt. Niżej stoją też trzy zadania otwarte z przykładów, żebyś mógł rozwiązać je jeszcze raz od zera na ich własnych stronach. Więcej zadań znajdziesz w dziale [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste), a cały arkusz z przykładu 2 na stronie [matury z sierpnia 2022](/exams/matura-sierpien-2022).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z liczb rzeczywistych (/losuj)

## Najczęstsze pytania o zadania na wspólną pracę

### Jak ułożyć równanie do zadania o wspólnej pracy?

Oznacz czas jednego wykonawcy jako \(x\), drugi czas wyraź przez \(x\) zgodnie z treścią (na przykład \(x - 10\)), zapisz wydajności \(\frac{1}{x}\) i \(\frac{1}{x-10}\), a potem przyrównaj ich sumę do \(\frac{1}{t}\), gdzie \(t\) to czas pracy wspólnej. Cała praca to \(1\), więc równanie ma postać \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{t}\).

### Dlaczego w zadaniach o pracy dodaje się odwrotności czasów?

Bo odwrotność czasu to wydajność, czyli część pracy wykonana w jednostce czasu, a wydajności osób pracujących jednocześnie się sumują. Czasy się nie sumują: dwie osoby razem kończą szybciej niż każda z osobna, więc równanie na samych czasach nie miałoby sensu.

### Jak policzyć, w jakim czasie dwie osoby wykonają pracę razem?

Jeśli pierwsza potrzebuje \(a\) godzin, a druga \(b\) godzin, czas wspólny to \(t = \frac{ab}{a+b}\). Dla \(a = 6\) i \(b = 12\) dostajesz \(t = \frac{72}{18} = 4\) godziny. Wynik zawsze wychodzi krótszy niż mniejszy z czasów, co jest szybką kontrolą.

### Czy wydajność większa o 20% oznacza czas krótszy o 20%?

Nie. Wydajność większa \(1{,}2\) razy daje czas równy \(\frac{1}{1{,}2} = \frac{5}{6}\) czasu wyjściowego, czyli krótszy o \(\frac{1}{6}\), około \(16{,}7\%\). Procent w treści odnosi się do wielkości, przy której stoi, i na drugą wielkość przenosisz go przez odwrotność, a nie przepisujesz.

### Co zrobić, gdy równanie kwadratowe daje dwa dodatnie pierwiastki?

Sprawdź każdy z nich w treści, nie tylko w równaniu. W zadaniu z matury próbnej z lutego 2014 pierwiastki to \(4\) i \(30\), oba dodatnie, ale dla \(x = 4\) czas drugiego robotnika \(x - 10\) wychodzi ujemny. Zapisz dziedzinę na początku (tutaj \(x > 10\)) i odrzuć pierwiastek jednym zdaniem, bo to osobny etap rozwiązania.

### Jak zamienić godziny i minuty na ułamek godziny?

Minuty podziel przez \(60\) i skróć: \(20\) minut to \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) godziny, więc \(6\) godzin \(20\) minut to \(\frac{19}{3}\) godziny, a \(1\) godzina \(40\) minut to \(\frac{5}{3}\) godziny. Zapis dziesiętny \(6{,}2\) jest błędny, bo \(0{,}2\) godziny to \(12\) minut, nie \(20\).

### Czy zadania o pracy różnią się od zadań o prędkości?

Tylko nazwami wielkości. W ruchu droga to prędkość razy czas, w pracy wykonana część to wydajność razy czas, a cała praca gra rolę drogi równej \(1\). Schemat, dziedzina i pułapki z pierwiastkiem są te same, dlatego warto ćwiczyć oba typy razem, tak jak we wpisie o [zadaniach z prędkością, drogą i czasem](/zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie).