---
route: /zadania-cke-wyrazenia-algebraiczne-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami - baza wg działu
description: Baza zadań CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami krok po kroku: wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki, ułamki algebraiczne i wielomiany.
type: strategy
category: Wyrażenia algebraiczne
tags: zadania CKE wyrażenia algebraiczne, wyrażenia algebraiczne zadania maturalne, zadania z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami, wzory skróconego mnożenia zadania matura, rozkład na czynniki zadania CKE, ułamki algebraiczne zadania matura, wyrażenia wymierne zadania maturalne, różnica kwadratów zadania matura, baza zadań CKE z rozwiązaniami, wyrażenia algebraiczne matura podstawowa
published: 2026-07-22T07:12:20.402+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:13.515745+00:00
---
# Zadania CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami - baza wg działu
## Zadania CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami - baza wg działu

Wyrażenia algebraiczne to jeden z tych działów, których na maturze podstawowej nie da się ominąć. Wzory skróconego mnożenia, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, upraszczanie ułamków algebraicznych i działania na wielomianach wracają w każdym arkuszu, zwykle jako łatwe zadania zamknięte za 1 punkt plus jedno zadanie otwarte za 2-4 punkty. To dochodowy dział: rachunki krótkie, schematów garść, a typy zadań powtarzają się jak w zegarku. W naszej bazie masz kilkadziesiąt zadań z wyrażeń algebraicznych z prawdziwych arkuszy CKE, od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze próbne i treningowe z lat 2010-2026, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają, i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE.

Jeśli szukasz najpierw uporządkowanej teorii, zacznij od przewodnika [wyrażenia algebraiczne na maturze](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia). Ta strona jest jego praktycznym uzupełnieniem: tu się liczy i rozwiązuje.

## Co z wyrażeń algebraicznych musisz umieć na maturę

Dział jest szeroki, ale na maturze podstawowej wraca ten sam zestaw umiejętności. Poniżej mapa tego, co realnie sprawdza CKE, z linkami do konkretnych zasobów.

| Podtemat | Co trzeba umieć | Gdzie poćwiczyć |
| --- | --- | --- |
| Wzory skróconego mnożenia | \((a\pm b)^2\), \(a^2-b^2\), sześciany | [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) |
| Wyłączanie wspólnego czynnika | Rozkład sumy na iloczyn | [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki) |
| Działania na wielomianach | Dodawanie, mnożenie, stopień iloczynu | [wyrażenia algebraiczne na maturze](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia) |
| Wyrażenia wymierne | Wspólny mianownik, upraszczanie ułamków | [równania wymierne](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura) |
| Dziedzina wyrażenia wymiernego | Mianownik różny od zera | [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura) |
| Pierwiastki wielomianu | Twierdzenie Bezouta, wzory Viete'a | [wzory Viete'a na maturze](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania) |
| Upraszczanie z pierwiastkami | Usuwanie niewymierności z mianownika | [usuwanie niewymierności](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac) |

Zwróć uwagę na dwie warstwy. Zadania zamknięte za 1 punkt (rozpoznanie kwadratu, wymnożenie nawiasów, stopień wielomianu) to szybkie punkty na początek arkusza. Zadania otwarte (upraszczanie ułamków algebraicznych, wyznaczanie parametru, dziedzina wyrażenia wymiernego) to zwykle 2-4 punkty i to one robią różnicę w wyniku.

## Ile wyrażeń algebraicznych jest na maturze

W arkuszu na poziomie podstawowym wyrażenia algebraiczne to zazwyczaj 2-4 zadania. Prawie zawsze pojawia się przynajmniej jedno łatwe zadanie zamknięte oparte na wzorach skróconego mnożenia oraz jedno zadanie z ułamkiem algebraicznym lub wielomianem. Razem to solidne 3-6 punktów, które da się zdobyć bez talentu, samą znajomością schematów.

To dużo, jeśli pamiętasz, że [do zdania matury potrzeba 30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki). Wyrażenia algebraiczne to też fundament pod inne działy: bez sprawnego przekształcania nie ruszysz [równań i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) ani [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania). Poniżej sześć przykładów pokazujących dokładnie te typy zadań.

## Przykład 1 - wyłączanie wspólnego czynnika

Zacznijmy od klasyka za 1 punkt. Zapisz wyrażenie \(5a^2-10ab+15a\) w postaci iloczynu.

Pierwszy ruch przy rozkładzie to zawsze pytanie: czy wszystkie składniki mają wspólny czynnik? Tutaj każdy dzieli się przez \(5a\), więc wyłączamy go przed nawias.

$$5a^2-10ab+15a = 5a\cdot a - 5a\cdot 2b + 5a\cdot 3 = 5a(a-2b+3)$$

Cała trudność to poprawnie wyłączyć \(5a\), a nie samo \(5\) czy samo \(a\), i nie pomylić się przy ostatnim składniku, gdzie po podzieleniu \(15a\) przez \(5a\) zostaje \(3\), a nie \(15\). Ten typ pojawił się w zadaniu [matura maj 2011](/task/matura-maj-2011-03). Techniki rozkładu masz zebrane w [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki).

## Przykład 2 - rozpoznanie kwadratu sumy lub różnicy

Kolejny pewniak za 1 punkt. Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \(4x^2-12x+9\) jest równe kwadratowi którego dwumianu?

Warto nauczyć się rozpoznawać wzór \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) z drugiej strony. Sprawdzamy: \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\), a środkowy wyraz powinien wynosić \(2\cdot 2x\cdot 3 = 12x\) ze znakiem minus. Zgadza się, więc:

$$4x^2-12x+9 = (2x-3)^2$$

Jeśli nie dostrzegasz wzoru od razu, zawsze możesz sprawdzić przez wymnożenie: \((2x-3)(2x-3) = 4x^2 - 6x - 6x + 9 = 4x^2 - 12x + 9\). Ten typ wraca rok w rok, na przykład w zadaniu [matura maj 2013](/task/matura-maj-2013-07). Cały komplet wzorów masz w [wzory skróconego mnożenia na maturze](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

## Przykład 3 - różnica kwadratów w liczbach

Teraz zadanie, które wygląda strasznie, a jest banalne, jeśli zauważysz wzór. Oblicz \(50001^2 - 49999^2\).

Nie licz tych kwadratów na piechotę. To różnica kwadratów, więc stosujemy \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\):

$$50001^2 - 49999^2 = (50001+49999)\cdot(50001-49999) = 100\,000\cdot 2 = 200\,000$$

Klucz to rozpoznać strukturę \(a^2-b^2\) i zamienić trudne potęgowanie na łatwe mnożenie. Ten sam trik sprawdza zadanie [matura czerwiec 2016](/task/matura-czerwiec-2016-04).

## Przykład 4 - różnica kwadratów jako narzędzie

Ten sam wzór, ale użyty w drugą stronę, w zadaniu za 1 punkt. Dla pewnych \(a\) i \(b\) zachodzą równości \(a^2 - b^2 = 200\) oraz \(a + b = 8\). Ile wynosi \(a - b\)?

Zamiast szukać samych \(a\) i \(b\), zauważ, że lewą stronę pierwszej równości da się rozłożyć wzorem na różnicę kwadratów:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

Podstawiamy to, co wiemy, czyli \(a^2-b^2 = 200\) i \(a+b = 8\):

$$200 = (a-b)\cdot 8 \quad\Rightarrow\quad a-b = \frac{200}{8} = 25$$

Cała sztuka to dostrzec, że nie trzeba wyznaczać \(a\) i \(b\) osobno, bo szukane wyrażenie jest jednym z czynników rozkładu. Ten typ pojawił się w zadaniu [matura sierpień 2011](/task/matura-sierpie-2011-07).

## Przykład 5 - upraszczanie wyrażenia z nawiasami

Zadanie za 1 punkt, w którym gubi się rachunkowo więcej osób, niż myślisz. Uprość wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\).

Rozbijamy oba składniki wzorami skróconego mnożenia. Pierwszy to kwadrat różnicy, drugi to różnica kwadratów:

$$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$$

$$(2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9$$

Teraz odejmujemy, uważając na znak przy całym drugim nawiasie:

$$9x^2 - 12x + 4 - (4x^2 - 9) = 9x^2 - 12x + 4 - 4x^2 + 9 = 5x^2 - 12x + 13$$

Najczęstszy błąd to zapomnieć o zmianie znaku przy \(-9\) i zapisać \(-9\) zamiast \(+9\) po opuszczeniu nawiasu. Ten typ pojawił się w zadaniu [matura czerwiec 2019](/task/matura-czerwiec-2019-11).

## Przykład 6 - wyrażenie wymierne do postaci ilorazu wielomianów

Na koniec zadanie otwarte za 2 punkty, czyli ten trudniejszy, dochodowy typ. Wyrażenie \(\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\) zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Metoda jest jak przy dodawaniu zwykłych ułamków: sprowadzamy do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem jest iloczyn \((x-3)(x+1)\).

$$\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1} = \frac{3(x+1)}{(x-3)(x+1)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+1)}$$

Teraz liczymy licznik, uważając na znak przed drugim ułamkiem:

$$3(x+1) - x(x-3) = 3x + 3 - x^2 + 3x = -x^2 + 6x + 3$$

Zapisujemy wynik:

$$\frac{-x^2 + 6x + 3}{(x-3)(x+1)} \quad \text{dla } x\ne 3 \text{ oraz } x\ne -1$$

Zwróć uwagę na zastrzeżenie dziedziny na końcu: mianownik nie może się zerować, więc \(x\ne 3\) i \(x\ne -1\). Bez tego zastrzeżenia klucz CKE potrafi obciąć punkt. Ten typ przećwiczysz w zadaniu [CKE PP treningowe](/task/cke-pp-treningowe-60), a jak wyznaczać dziedzinę wyrażeń wymiernych, pokazuje [jak rozwiązać równanie wymierne](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura).

## Najczęstsze pułapki w wyrażeniach algebraicznych

Zebrałem błędy, które najczęściej kosztują punkty w tym dziale. Sprawdź, czy któryś nie jest twój.

Błąd znaku przy opuszczaniu nawiasu. Odejmując cały nawias, zmieniasz znak każdego składnika w środku. \(-(4x^2-9)\) to \(-4x^2+9\), a nie \(-4x^2-9\).

Mylenie kwadratu różnicy z różnicą kwadratów. \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), natomiast \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\). To dwa różne wzory i mylenie ich to klasyk.

Zapominanie o środkowym wyrazie. \((a+b)^2\) to nie \(a^2+b^2\), tylko \(a^2 + 2ab + b^2\). Podwojony iloczyn to najczęściej gubiony składnik.

Niepełne wyłączanie czynnika. Z \(5a^2-10ab+15a\) wyłączasz \(5a\), a nie samo \(5\). Sprawdź, czy po wyłączeniu każdy składnik w nawiasie jest już bez wspólnego dzielnika.

Pominięcie dziedziny w wyrażeniach wymiernych. Przy ułamkach algebraicznych zawsze dopisz, dla jakich \(x\) mianownik jest różny od zera. To nie ozdobnik, tylko warunek na punkt.

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Sama teoria nie da punktów. Trzeba przerobić kilkanaście zadań, aż wzory wejdą w nawyk. Oto sensowna kolejność.

Zacznij od zadań zamkniętych za 1 punkt: rozpoznawanie kwadratu, wymnażanie nawiasów, różnica kwadratów. To szybkie pewniaki. Wejdź na [zadania z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) i rozwiąż serię samodzielnie, a wynik sprawdź od razu.

Potem weź zadania otwarte z ułamkami algebraicznymi i wielomianami. Daj sobie po 10 minut na każde, dopiero potem porównaj z rozwiązaniem. Jeśli utknąłeś, zajrzyj do [poradnika o rozkładzie na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki), a nie od razu do gotowej odpowiedzi.

Na koniec sprawdź się na chłodno. Włącz [tryb losowy](/random), który miesza działy jak prawdziwy arkusz, albo rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress).

Kontrolne przekształcenie, którego nie jesteś pewien, wrzuć do [solvera](/solve), a wzory skróconego mnożenia i inne przydatne tożsamości znajdziesz w dziale [wzory](/wzory). Jeśli wracasz do matury po przerwie, przeczytaj też [maturę z matematyki po latach](/matura-z-matematyki-po-latach-dla-doroslych-jak-zdac), gdzie ten dział jest jednym z pierwszych na liście priorytetów.

## FAQ

### Czy wyrażenia algebraiczne są trudne na maturze?
Nie. To jeden z bardziej schematycznych działów. Wzory skróconego mnożenia i wyłączanie wspólnego czynnika załatwiają większość zadań zamkniętych, a ułamki algebraiczne rozwiązujesz zawsze tak samo: wspólny mianownik i uproszczenie.

### Ile zadań z wyrażeń algebraicznych jest na maturze podstawowej?
Zazwyczaj 2-4 zadania, najczęściej jedno lub dwa zamknięte za 1 punkt i jedno otwarte z ułamkiem algebraicznym lub wielomianem. Razem to solidne 3-6 punktów.

### Jakie wzory skróconego mnożenia trzeba znać?
Przede wszystkim \((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) oraz \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\). Pełny zestaw z przykładami masz w [wzory skróconego mnożenia na maturze](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

### Jak uprościć wyrażenie wymierne?
Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika, wykonaj działania w liczniku, skróć, co się da, i dopisz dziedzinę, czyli warunek, że mianownik jest różny od zera. Przykład masz w przykładzie 6 wyżej.

### Gdzie znajdę więcej zadań z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami?
Wszystkie zebrane są w dziale [wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne), a teorię uporządkuje przewodnik [wyrażenia algebraiczne na maturze](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia).

## Podsumowanie

Wyrażenia algebraiczne to dział, w którym opłaca się usiąść wcześnie, bo daje pewne punkty przy minimalnym nakładzie i jest fundamentem pod resztę materiału. Naucz się sześciu typów z tej strony: wyłączanie wspólnego czynnika, rozpoznawanie kwadratu, różnica kwadratów w obie strony, upraszczanie wyrażeń z nawiasami i sprowadzanie ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika. To pokrywa praktycznie wszystko, co CKE sprawdza w tym dziale na poziomie podstawowym.

Plan na dziś: rozwiąż pięć [zadań z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) samodzielnie, a wynik sprawdź w rozwiązaniach krok po kroku. Jeśli potrzebujesz najpierw teorii, zacznij od [przewodnika po dziale](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia), a wzory dopracuj w [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)