---
route: /zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE ze stereometrii z rozwiązaniami krok po kroku: objętość, pole powierzchni, kąty nachylenia krawędzi i ściany na prawdziwych arkuszach CKE.
type: strategy
category: Stereometria
tags: zadania CKE stereometria, stereometria matura zadania, zadania maturalne stereometria z rozwiązaniami, objętość bryły matura zadania, kąt nachylenia ściany bocznej zadania, baza zadań CKE z rozwiązaniami, zadania maturalne wg działów, bryły matura zadania krok po kroku, zadania maturalne online za darmo, rozwiązania krok po kroku CKE
published: 2026-06-21T11:08:56.23692+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:29.964903+00:00
---
# Zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
Stereometria to dział, na którym co roku rozbija się sporo maturzystów - nie dlatego, że jest trudna, tylko dlatego, że trzeba zobaczyć bryłę w wyobraźni i wyłapać właściwy trójkąt prostokątny. W naszej bazie mamy ponad 200 zadań ze stereometrii z prawdziwych arkuszy CKE, od jednolinijkowych zadań zamkniętych za 1 punkt po pełne zadania otwarte na 4-5 punktów. Ten tekst to hub: zbieram tu typy zadań CKE z tego działu, rozwiązuję sześć z nich krok po kroku na realnych arkuszach i kieruję cię prosto do zadań, na których możesz ćwiczyć.

Jeśli wolisz najpierw uporządkować teorię i wzory, zacznij od przewodników [stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) oraz [stereometria - wzory na objętość i pole powierzchni](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), a potem wróć tutaj po zadania. Wszystkie wzory, których potrzebujesz, masz też w [tablicach](/formulas).

## Co dokładnie obejmuje stereometria na maturze

Pod hasłem "stereometria" CKE testuje kilka odrębnych umiejętności. Warto je rozdzielić, bo każda ma inny schemat:

- **Liczenie krawędzi, ścian i wierzchołków** brył - graniastosłupów i ostrosłupów.
- **Objętość i pole powierzchni** graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli.
- **Kąt nachylenia krawędzi do podstawy** - klucz to rzut krawędzi na podstawę.
- **Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy** (kąt dwuścienny) - klucz to apotema.
- **Przekroje brył** - najczęściej przekrój osiowy walca i stożka.

Każdy z tych podtematów ma osobny przewodnik: [jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania), [jak obliczyć objętość stożka i pole powierzchni](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni), [kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa) oraz [jak obliczyć kąt dwuścienny w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura). Poniżej rozwiązuję po jednym reprezentatywnym zadaniu z różnych typów, na realnych arkuszach CKE.

## Liczenie krawędzi - zadanie CKE czerwiec 2018

Zacznijmy od łatwego punktu, którego nie wolno oddać. Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, otrzymamy \(15\). Ile krawędzi ma ten graniastosłup?

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi (dwie podstawy po \(n\) plus \(n\) krawędzi bocznych) i \(2n\) wierzchołków. Zatem:

$$3n + 2n = 15 \implies 5n = 15 \implies n = 3$$

Podstawą jest trójkąt, więc liczba krawędzi to \(3n = 9\). Pełne rozwiązanie: [zadanie matura-czerwiec-2018-23](/task/matura-czerwiec-2018-23). Zapamiętaj te dwa wzory dla graniastosłupa \(n\)-kątnego: \(3n\) krawędzi, \(2n\) wierzchołków, \(n+2\) ściany. Dla ostrosłupa \(n\)-kątnego jest \(2n\) krawędzi, \(n+1\) wierzchołków i \(n+1\) ścian.

## Przekątna sześcianu z objętości - zadanie CKE maj 2025

Klasyk, który pojawił się na maturze 2025. Objętość sześcianu jest równa \(729\). Jaka jest długość jego przekątnej?

Najpierw krawędź. Objętość sześcianu to \(V = a^3\), więc:

$$a^3 = 729 \implies a = \sqrt[3]{729} = 9$$

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), zatem:

$$d = 9\sqrt{3}$$

Rozwiązanie: [zadanie matura-maj-2025-33](/task/matura-maj-2025-33). Wzór \(d = a\sqrt{3}\) bierze się z dwukrotnego twierdzenia Pitagorasa: najpierw przekątna ściany \(a\sqrt{2}\), potem przekątna bryły. Warto go znać na pamięć, bo wraca co roku.

## Objętość stożka z kąta rozwarcia - zadanie CKE maj 2016

Tutaj trzeba rozłożyć przekrój osiowy na dwa trójkąty prostokątne. Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca ma długość \(4\). Oblicz objętość.

Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku \(120^\circ\). Wysokość stożka dzieli ten kąt na pół, więc pracujemy z trójkątem prostokątnym o kącie \(60^\circ\) przy wierzchołku, w którym tworząca \(l = 4\) jest przeciwprostokątną:

$$r = l \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$
$$h = l \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Teraz wzór na objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$$

Rozwiązanie: [zadanie matura-maj-2016-23](/task/matura-maj-2016-23). Najczęstszy błąd to wzięcie całego kąta \(120^\circ\) zamiast jego połowy. Pamiętaj: wysokość stożka zawsze połowi kąt rozwarcia.

## Objętość ostrosłupa z kątem nachylenia krawędzi - zadanie CKE próbna luty 2026

Teraz pełne zadanie otwarte na 4 punkty. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\). Oblicz objętość.

Krok 1. Wyznaczamy bok podstawy. Pole trójkąta równobocznego to \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), więc:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \implies a^2 = 15 \implies a = \sqrt{15}$$

Krok 2. Promień okręgu opisanego na podstawie (to na nim "ląduje" rzut krawędzi bocznej): \(R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}\).

Krok 3. Krawędź boczna \(b\). Jej rzut na podstawę ma długość \(R\), a kąt nachylenia to \(\alpha\), więc \(\cos\alpha = \frac{R}{b}\):

$$b = \frac{R}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{5}$$

Krok 4. Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(R, h, b\):

$$h = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{45 - 5} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$

Krok 5. Objętość:

$$V = \frac{1}{3} P h = \frac{1}{3} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{10} = \frac{5\sqrt{30}}{2}$$

Pełne rozwiązanie: [zadanie matura-pr-bna-luty-2026-34](/task/matura-pr-bna-luty-2026-34). To wzorcowy schemat: bok podstawy, promień opisany, krawędź z kąta, wysokość z Pitagorasa, objętość.

## Pole całkowite graniastosłupa z przekątną - zadanie CKE maj 2015

Kolejne zadanie otwarte. Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus wynosi \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Niech \(a\) to krawędź podstawy, \(d\) - przekątna bryły. Rzut przekątnej na podstawę to przekątna kwadratu podstawy, czyli \(a\sqrt{2}\). Z definicji kąta nachylenia:

$$\cos\beta = \frac{a\sqrt{2}}{d} = \frac{3}{5}, \qquad \sin\beta = \frac{16}{d} = \frac{4}{5}$$

Z drugiego równania \(d = 20\). Wtedy:

$$a\sqrt{2} = d \cos\beta = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \implies a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$

Pole podstawy: \(P_p = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72\). Dwie podstawy dają \(144\). Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:

$$P_b = 4a \cdot 16 = 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 384\sqrt{2}$$

Pole całkowite:

$$P = 144 + 384\sqrt{2}$$

Rozwiązanie: [zadanie matura-maj-2015-32](/task/matura-maj-2015-32). Uwaga na pułapkę: rzutem przekątnej bryły jest przekątna podstawy \(a\sqrt{2}\), a nie bok \(a\).

## Kąt nachylenia ściany bocznej - zadanie CKE 2015-2023

Na koniec zadanie otwarte na 5 punktów. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest \(2\) razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Oznaczmy krawędź podstawy \(a\) i wysokość ostrosłupa \(H\). Z treści \(a = 2H\), czyli \(H = \frac{a}{2}\).

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzymy w trójkącie prostokątnym, którego jedną przyprostokątną jest wysokość \(H\), a drugą - promień okręgu wpisanego w podstawę (apotema). Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) ten promień to:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Tangens szukanego kąta \(\varphi\) to stosunek wysokości do apotemy:

$$\tan\varphi = \frac{H}{r} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \implies \varphi = 60^\circ$$

Rozwiązanie: [zadanie cke-2015-2023-pp-107](/task/cke-2015-2023-pp-107). Kluczowa różnica: kąt nachylenia krawędzi bocznej liczysz względem promienia opisanego \(R\), a kąt nachylenia ściany - względem promienia wpisanego \(r\). Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w całym dziale.

## Tabela - typy zadań ze stereometrii i jak je rozpoznać

| Typ zadania | Sygnał rozpoznawczy | Pierwszy krok | Częsta pułapka |
|---|---|---|---|
| Liczenie krawędzi i ścian | "ile krawędzi/ścian/wierzchołków" | wzory \(3n\), \(2n\), \(n+2\) | mylenie graniastosłupa z ostrosłupem |
| Przekątna bryły | sześcian, prostopadłościan | dwa razy Pitagoras | branie przekątnej ściany zamiast bryły |
| Objętość stożka/walca | przekrój osiowy, tworząca | rozłóż przekrój na trójkąty | pomylenie tworzącej z wysokością |
| Kąt krawędzi do podstawy | "krawędź nachylona do podstawy" | rzut na podstawę = promień \(R\) | użycie apotemy zamiast \(R\) |
| Kąt ściany do podstawy | "ściana nachylona", kąt dwuścienny | apotema = promień \(r\) | użycie \(R\) zamiast \(r\) |

## Zadania zamknięte i otwarte w stereometrii

W tym dziale CKE stawia oba typy zadań. Zadania zamknięte to zwykle szybkie rachunki: policz objętość z danych wymiarów, znajdź pole powierzchni, policz liczbę krawędzi. Liczy się tu pewność i tempo, bo punkt dostajesz albo nie, bez punktów częściowych. Trzy pierwsze przykłady wyżej to właśnie ten typ.

Zadania otwarte są dłuższe i wymagają pełnego rozumowania: trzeba narysować bryłę, wskazać właściwy trójkąt prostokątny, rozpisać kolejne kroki i podać wynik. Tu gubi się najwięcej punktów - nie przez rachunek, tylko przez źle wskazany kąt albo pomylony promień. Jeśli chcesz wyrobić nawyk poprawnego zapisu rozwiązania, przeczytaj poradnik [jak rozwiązywać zadania otwarte z matematyki](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Najczęstsze błędy w stereometrii

Z setek rozwiązań widać, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy:

- **Mylenie promienia opisanego \(R\) z wpisanym \(r\).** Krawędź boczna "siada" na \(R\), apotema to \(r\). To źródło połowy błędów w zadaniach z kątami.
- **Branie tworzącej zamiast wysokości stożka** (albo odwrotnie) w trójkącie przekroju osiowego.
- **Zapomniany czynnik \(\frac{1}{3}\)** we wzorze na objętość ostrosłupa i stożka.
- **Pomylenie przekątnej ściany z przekątną bryły** w sześcianie i prostopadłościanie.
- **Niedorysowany rysunek.** Bez schematu bryły trudno wskazać właściwy trójkąt, a wtedy całe rozumowanie się sypie.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach [błędy rachunkowe na maturze - jak unikać](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac) oraz [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Teoria bez zadań nic nie da. Plan jest prosty:

1. Przerób przewodnik [stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy), żeby ułożyć metody w głowie.
2. Wejdź na stronę działu [stereometria](/topics/stereometria) i rób zadania jedno po drugim, od najłatwiejszych zamkniętych.
3. Gdy utkniesz, nie zgaduj - wrzuć zadanie do [solvera](/solve) i zobacz rozwiązanie krok po kroku.
4. Na koniec sprawdź się [losowym zadaniem](/random) z całej bazy, bez wiedzy, jaki to typ, tak jak na prawdziwej maturze.

Jeśli chcesz ćwiczyć tylko za darmo, plan darmowej nauki online masz w tekście [zadania maturalne z matematyki online za darmo](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo). A po więcej zadań z geometrii zajrzyj do hubów [zadania CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) i [zadania CKE z geometrii analitycznej](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami).

## FAQ - zadania CKE ze stereometrii

### Ile zadań ze stereometrii jest na maturze?
Zwykle kilka: 2-3 zamknięte i często jedno otwarte na 4-5 punktów. To jeden z najlepiej punktujących działów, jeśli opanujesz schemat z kątami.

### Czy te zadania są darmowe?
Zadania zamknięte CKE i przewodniki są dostępne za darmo. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje abonament Premium - ceny sprawdzisz na stronie [płatności](/payment/checkout).

### Od czego zacząć, jeśli nie ogarniam stereometrii?
Od liczenia krawędzi i objętości z gotowych wymiarów - to pewne punkty bez wyobraźni przestrzennej. Dopiero potem przejdź do kątów nachylenia.

### Jak nie mylić kątów nachylenia?
Zapamiętaj jedno zdanie: krawędź boczna opiera się na promieniu opisanym \(R\), a ściana boczna na promieniu wpisanym \(r\). Zawsze narysuj odpowiedni trójkąt prostokątny.

### Czy wystarczy znać wzory z tablic?
Wzory na objętość i pole masz w [tablicach](/formulas), ale to ty musisz wskazać właściwy trójkąt i kąt. Wzór nie zrobi tego za ciebie.

## Podsumowanie

Stereometria to dział, w którym da się zgarnąć dużo pewnych punktów, jeśli opanujesz kilka schematów: wzory na liczbę krawędzi i ścian, podwójny Pitagoras dla przekątnej, rozkład przekroju osiowego na trójkąty oraz - najważniejsze - różnicę między promieniem opisanym \(R\) (krawędź) a wpisanym \(r\) (ściana). Masz tu komplet zadań CKE z rozwiązaniami - zacznij od [strony działu](/topics/stereometria), a gdy utkniesz, [solver](/solve) doprowadzi cię do "aha". Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)