---
route: /zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami krok po kroku: nierówności kwadratowe, równania wymierne i z podstawieniem na arkuszach CKE.
type: strategy
category: Równania i nierówności
tags: zadania CKE równania i nierówności, zadania maturalne równania z rozwiązaniami, nierówności kwadratowe matura zadania, równania wymierne CKE, baza zadań CKE z rozwiązaniami, zadania maturalne wg działów, nierówności matura zadania, równania i nierówności matura, zadania maturalne online za darmo, rozwiązania krok po kroku CKE
published: 2026-06-20T11:08:49.543208+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:23.056545+00:00
---
# Zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
Równania i nierówności to dział, który na maturze z matematyki wraca co roku jak bumerang. W naszej bazie mamy ich ponad 260 - od jednolinijkowych zadań zamkniętych za 1 punkt po pełne zadania otwarte z dziedziną i sprawdzeniem. Ten tekst to hub: zbieram tu typy zadań CKE z tego działu, pokazuję rozwiązania krok po kroku na prawdziwych arkuszach i kieruję cię prosto do zadań, na których możesz ćwiczyć. Wszystkie zadania, do których linkuję, pochodzą z arkuszy CKE i mają pełne rozwiązania.

Jeśli wolisz najpierw uporządkować teorię, zacznij od przewodnika [równania i nierówności na maturze - metody rozwiązywania](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), a potem wróć tutaj po zadania.

## Co dokładnie obejmuje ten dział na maturze

Pod hasłem "równania i nierówności" CKE testuje kilka odrębnych umiejętności. Warto je rozdzielić, bo każda ma inną metodę:

- **Równania i nierówności liniowe** - podstawa, ale uważaj na zmianę znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
- **Równania i nierówności kwadratowe** - delta, miejsca zerowe, znak paraboli.
- **Równania i nierówności z wartością bezwzględną** - rozbicie na przypadki albo interpretacja na osi.
- **Równania wymierne** - najpierw dziedzina, dopiero potem rozwiązanie.
- **Równania wyższych stopni** - rozkład na czynniki albo podstawienie.

Każdy z tych podtematów ma osobny przewodnik: [nierówności na maturze - liniowe i kwadratowe](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody), [nierówności kwadratowe metodą graficzną](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania), [wartość bezwzględna - równania i nierówności](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci) oraz [równanie wymierne - dziedzina i zadania](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura). Poniżej rozwiązuję po jednym reprezentatywnym zadaniu z każdego typu, na realnych arkuszach CKE.

## Nierówność kwadratowa - zadanie CKE 2025

Zacznijmy od klasyka, który pojawił się na maturze 2025. Rozwiąż nierówność:

$$(3x-4)(x-1) \lt x$$

Najpierw wymnażamy lewą stronę i przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$3x^2 - 7x + 4 \lt x$$
$$3x^2 - 8x + 4 \lt 0$$

Liczymy deltę dla trójmianu \(3x^2 - 8x + 4\):

$$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16, \quad \sqrt{\Delta} = 4$$

Miejsca zerowe:

$$x_1 = \frac{8-4}{6} = \frac{2}{3}, \qquad x_2 = \frac{8+4}{6} = 2$$

Parabola jest skierowana ramionami w górę, a my chcemy "mniejsze od zera", czyli fragment **pod osią** - między pierwiastkami. Odpowiedź:

$$x \in \left(\frac{2}{3},\, 2\right)$$

Całe zadanie z rozwiązaniem masz tutaj: [zadanie cke-2025-pp-19](/task/cke-2025-pp-19). To wzorcowy schemat każdej nierówności kwadratowej: do postaci \(ax^2+bx+c\), delta, pierwiastki, znak ramion, przedział.

## Równanie wymierne - zadanie CKE 2023

Teraz coś, gdzie najwięcej osób gubi punkty przez dziedzinę. Rozwiąż równanie:

$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)} = 0$$

Kluczowa zasada: ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0**, a **mianownik różny od zera**.

Najpierw dziedzina - mianownik nie może się zerować:

$$2x - 10 \neq 0 \implies x \neq 5, \qquad x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$$

Teraz licznik:

$$(4x+1)(x-5) = 0 \implies x = -\frac{1}{4} \ \lor \ x = 5$$

I tu jest pułapka: \(x = 5\) odpada, bo wypada z dziedziny. Zostaje:

$$x = -\frac{1}{4}$$

Pełne rozwiązanie: [zadanie cke-2023-pp-07](/task/cke-2023-pp-07). Gdybyś zapomniał o dziedzinie i wpisał oba pierwiastki, stracisz punkt - dlatego przy każdym równaniu wymiernym dziedzina jest krokiem pierwszym, nie ostatnim.

## Równanie z podstawieniem - zadanie CKE 2023

Zadanie, które wygląda strasznie, dopóki nie zauważysz triku. Rozwiąż:

$$(x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 6 = 0$$

Podstawiamy \(t = (x-1)^2\), gdzie \(t \ge 0\). Wtedy \((x-1)^4 = t^2\) i równanie robi się kwadratowe:

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Delta: \(\Delta = 25 - 24 = 1\), więc \(t = 2\) lub \(t = 3\). Oba są dodatnie, więc wracamy do podstawienia:

$$(x-1)^2 = 2 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$$
$$(x-1)^2 = 3 \implies x = 1 \pm \sqrt{3}$$

Cztery rozwiązania: \(x = 1-\sqrt{3},\ 1-\sqrt{2},\ 1+\sqrt{2},\ 1+\sqrt{3}\). Krok po kroku: [zadanie cke-2023-pp-13](/task/cke-2023-pp-13). Zapamiętaj wzorzec: gdy widzisz to samo wyrażenie w potędze 4 i w potędze 2, prawie zawsze ratuje cię podstawienie.

## Równanie wymierne z dziedziną - zadanie CKE 2025

Jeszcze jedno z najnowszego arkusza, tym razem z poleceniem "wyznacz dziedzinę i rozwiąż":

$$\frac{2}{2x+1} = \frac{x-1}{x+2}$$

Dziedzina - oba mianowniki różne od zera:

$$2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}, \qquad x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$$

Mnożymy na krzyż:

$$2(x+2) = (x-1)(2x+1)$$
$$2x + 4 = 2x^2 - x - 1$$
$$2x^2 - 3x - 5 = 0$$

Delta: \(\Delta = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{\Delta} = 7\), stąd:

$$x = \frac{3-7}{4} = -1, \qquad x = \frac{3+7}{4} = \frac{5}{2}$$

Oba mieszczą się w dziedzinie, więc oba są rozwiązaniami. Szczegóły: [zadanie cke-2025-pp-18](/task/cke-2025-pp-18).

## Nierówność z wartością bezwzględną - zadanie CKE 2023

Wartość bezwzględna odstrasza, a jest banalnie prosta, jak znasz definicję. Rozwiąż:

$$|x - 3| \ge 5$$

Nierówność z wartością bezwzględną typu \(|wyrażenie| \ge a\) rozbijamy na dwa przypadki połączone słowem "lub":

$$x - 3 \ge 5 \quad \lor \quad x - 3 \le -5$$

Rozwiązujemy każdy osobno:

$$x \ge 8 \quad \lor \quad x \le -2$$

Zbiór rozwiązań to suma dwóch półprostych: \(x \in (-\infty,\, -2\rangle \cup \langle 8,\, +\infty)\). Zwróć uwagę na regułę: przy \(\ge\) rozwiązania są "na zewnątrz", przy \(\le\) byłyby "w środku". Pełne rozwiązanie: [zadanie cke-2023-pp-02](/task/cke-2023-pp-02). Najczęstszy błąd to napisanie tylko jednego przypadku - i od razu połowa zadania w plecy.

## Nierówność liniowa z ułamkami - zadanie CKE 2025

Na koniec klasyk z ułamkami, gdzie wszystko rozbija się o wspólny mianownik. Rozwiąż:

$$\frac{2x-1}{2} - \frac{x+2}{3} \ge \frac{1}{6}$$

Wspólny mianownik dla 2, 3 i 6 to 6. Mnożymy obie strony przez 6 (liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje):

$$3(2x-1) - 2(x+2) \ge 1$$

Rozwijamy nawiasy i porządkujemy:

$$6x - 3 - 2x - 4 \ge 1$$
$$4x - 7 \ge 1$$
$$4x \ge 8 \implies x \ge 2$$

Odpowiedź: \(x \in \langle 2,\, +\infty)\). Tu pułapka jest podwójna: pomylenie wspólnego mianownika albo - gdybyś mnożył przez liczbę ujemną - zapomnienie o odwróceniu znaku. Rozwiązanie: [zadanie cke-2025-pp-17](/task/cke-2025-pp-17).

## Tabela - typy zadań z tego działu i jak je rozpoznać

| Typ zadania | Sygnał rozpoznawczy | Pierwszy krok | Częsta pułapka |
|---|---|---|---|
| Nierówność liniowa | jedna niewiadoma, brak kwadratu | przenieś x na jedną stronę | zmiana znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną |
| Nierówność kwadratowa | jest \(x^2\) | postać \(ax^2+bx+c\), delta | zły kierunek przedziału względem znaku ramion |
| Wartość bezwzględna | symbol \(\lvert\ \rvert\) | rozbij na przypadki | pominięty drugi przypadek |
| Równanie wymierne | x w mianowniku | wyznacz dziedzinę | pierwiastek wpadający poza dziedzinę |
| Równanie wyższego stopnia | potęga 3 lub 4 | rozkład albo podstawienie | zgubione rozwiązanie przy rozkładzie |

## Zadania zamknięte i otwarte w tym dziale

W tym dziale CKE stawia oba typy zadań i warto wiedzieć, czego się spodziewać. Zadania zamknięte to zwykle pojedyncze nierówności albo równania, gdzie wybierasz odpowiedź albo zaznaczasz właściwy rysunek na osi liczbowej - jak w pokazanych wyżej przykładach z wartością bezwzględną i ułamkami. Liczy się tu szybkość i pewność rachunku, bo punkt dostajesz albo go nie ma, bez punktów częściowych.

Zadania otwarte są bardziej wymagające, bo musisz rozpisać całe rozumowanie: dziedzinę, przekształcenia, wynik i często sprawdzenie. To właśnie tu najwięcej osób gubi punkty - nie dlatego, że nie umieją policzyć, tylko dlatego, że nie pokazują metody albo pomijają dziedzinę. Jeśli chcesz wyrobić nawyk poprawnego zapisu, przeczytaj poradnik [jak rozwiązywać zadania otwarte z matematyki](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), a potem ćwicz na zadaniach otwartych z tego działu.

## Jak czytać zasady oceniania, żeby nie tracić punktów

Każde zadanie otwarte z arkusza CKE ma schemat oceniania, który mówi dokładnie, za co przyznaje się kolejne punkty. W równaniach i nierównościach typowy podział wygląda tak: jeden punkt za poprawną dziedzinę albo poprawne przekształcenie do równania kwadratowego, kolejny za rozwiązanie, a ostatni za pełną, poprawną odpowiedź z uwzględnieniem dziedziny. To znaczy, że nawet jeśli pomylisz się w rachunku na końcu, za sam poprawny początek dostaniesz część punktów - pod warunkiem że go zapiszesz.

Wniosek praktyczny: zawsze rozpisuj rozwiązanie, nawet jeśli nie jesteś pewny wyniku. Pusta kartka to gwarantowane zero, a poprawna metoda z błędem rachunkowym to często połowa punktów. Jak punktowane są poszczególne zadania, rozkłada na czynniki tekst [jak punktowane są zadania na maturze z matematyki](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Najczęstsze błędy w tym dziale

Z setek rozwiązań widać, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy:

- **Brak dziedziny w równaniach wymiernych.** Bez niej nawet poprawny rachunek może dać błędną odpowiedź.
- **Zła interpretacja nierówności kwadratowej.** Masz pierwiastki, ale nie wiesz, czy bierzesz "między" czy "na zewnątrz" - decyduje znak ramion i kierunek nierówności.
- **Zapomniany drugi przypadek przy wartości bezwzględnej.**
- **Zmiana znaku.** Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną znak się odwraca. Banał, a kosztuje punkty co roku.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach [błędy rachunkowe na maturze - jak unikać](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac) i [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Teoria bez zadań nic nie da. Plan jest prosty:

1. Przerób przewodnik [równania i nierówności - metody rozwiązywania](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), żeby ułożyć metody w głowie.
2. Wejdź na stronę działu [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) i rób zadania jedno po drugim, od najłatwiejszych.
3. Gdy utkniesz, nie zgaduj - wrzuć zadanie do [solvera](/solve) i zobacz rozwiązanie krok po kroku. Jak działa mądre korzystanie z solvera, tłumaczę w tekście [solver matematyczny online - rozwiąż zadanie ze zdjęcia](/solver-matematyczny-online-rozwiaz-zadanie-maturalne-ze-zdjecia).
4. Na koniec sprawdź się [losowym zadaniem](/random) z całej bazy - bez wiedzy, jaki to typ, tak jak na prawdziwej maturze.

## FAQ - równania i nierówności CKE

### Ile zadań z tego działu jest na maturze?
Zwykle kilka: zwykle 2-3 zamknięte i 1-2 otwarte. To jeden z najczęściej testowanych działów, więc opłaca się go ogarnąć w pierwszej kolejności.

### Czy te zadania są darmowe?
Zadania zamknięte CKE i przewodniki są dostępne za darmo. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje abonament Premium - ceny sprawdzisz na stronie [płatności](/payment/checkout).

### Od czego zacząć, jeśli kompletnie nie ogarniam?
Od nierówności liniowych i kwadratowych - to fundament. Dopiero potem wymierne i wartość bezwzględna.

### Czy wystarczy znać wzory z tablic?
Karta wzorów ([tablice](/formulas)) pomaga, ale metody musisz umieć sam. Wzór na deltę masz w tablicach, ale to ty decydujesz, kiedy go użyć.

## Podsumowanie

Równania i nierówności to dział, w którym da się zgarnąć dużo pewnych punktów, jeśli opanujesz kilka schematów: postać standardowa i delta dla kwadratowych, dziedzina przed rozwiązaniem dla wymiernych, podstawienie dla wyższych stopni, przypadki dla wartości bezwzględnej. Masz tu komplet zadań CKE z rozwiązaniami - zacznij od [strony działu](/topics/rownania-i-nierownosci), a gdy utkniesz, [solver](/solve) doprowadzi cię do "aha". Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)