---
route: /zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE - potęgi i pierwiastki z rozwiązaniami krok po kroku
description: Zadania maturalne CKE z potęg i pierwiastków z rozwiązaniami krok po kroku. Ćwicz online za darmo zadania zamknięte i otwarte z prawdziwych arkuszy.
type: strategy
category: Potęgi i pierwiastki
tags: zadania CKE potęgi i pierwiastki, zadania maturalne potęgi z rozwiązaniami, potęgi i pierwiastki matura zadania, pierwiastki zadania maturalne CKE, baza zadań CKE matematyka, działania na potęgach matura, zadania zamknięte potęgi CKE, dowody z potęg matura, potęgi i pierwiastki krok po kroku, zadania maturalne online za darmo, przekształcanie potęg i pierwiastków, matura podstawowa potęgi zadania
published: 2026-06-28T09:41:32.589629+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:11.338819+00:00
---
# Zadania CKE - potęgi i pierwiastki z rozwiązaniami krok po kroku
Potęgi i pierwiastki to dział, który na maturze pojawia się zawsze i prawie zawsze daje łatwe punkty, pod warunkiem że znasz reguły działań. To też dział, który wraca w innych zadaniach: w [funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania), [logarytmach](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) czy przy upraszczaniu wyrażeń w geometrii. Dlatego warto mieć go opanowany do automatu. Na sprawnamatura.pl masz 157 zadań CKE z tego działu z [rozwiązaniami krok po kroku](/solve). Ta strona to przewodnik po nich: pokazuje typy zadań, wzory i sześć rozwiązanych przykładów z prawdziwych arkuszy.

## Co musisz znać przed zadaniami

Cała zabawa opiera się na kilku wzorach. Bez nich ani rusz:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad a^0 = 1$$

Do tego pierwiastki: \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) oraz \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\). Wszystkie te wzory masz na [karcie wzorów CKE](/formulas), ale na egzaminie nie ma czasu szukać, więc lepiej znać je z głowy. Solidne podstawy z liczb znajdziesz w przewodniku o [liczbach rzeczywistych](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna).

## Jakie typy zadań spotkasz

W bazie CKE zadania z potęg i pierwiastków dzielą się na kilka powtarzalnych typów. Oto one wraz z tym, czego wymagają:

| Typ zadania | Co trzeba zrobić | Punkty |
| --- | --- | --- |
| Obliczenie wartości wyrażenia | Sprowadzić do wspólnej podstawy i dodać wykładniki | 1 |
| Odwrotność lub przekształcenie | Zapisać liczbę jako potęgę i odwrócić wykładnik | 1 |
| Porównanie potęg | Sprowadzić do tej samej podstawy i porównać wykładniki | 1 |
| Usuwanie niewymierności | Pomnożyć przez sprzężenie mianownika | 1-2 |
| Dowód podzielności lub nierówności | Wyłączyć wspólny czynnik z potęg | 2-5 |

Z 157 zadań w bazie aż 128 to [zadania zamknięte](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody), czyli najszybsze punkty na egzaminie, a 29 to zadania otwarte, w tym dowody. Poniżej rozwiązujemy po jednym z najważniejszych typów.

## Rozwiązane zadania krok po kroku

### Zadanie 1

Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{-16}}{-8}\).

Korzystamy ze wzoru na iloczyn pierwiastków tego samego stopnia: \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{-16}=\sqrt[3]{4\cdot(-16)}=\sqrt[3]{-64}=-4\). Teraz dzielimy: \(\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}\). Wynik to \(\frac{1}{2}\). Cały trik polega na tym, żeby zamiast liczyć każdy pierwiastek osobno, połączyć je pod jednym pierwiastkiem.

### Zadanie 2

Zapisz liczbę \(3^{30}\cdot 9^{90}\) jako potęgę liczby 3.

Klucz to wspólna podstawa. Zapisujemy \(9=3^2\), więc \(9^{90}=(3^2)^{90}=3^{180}\). Teraz mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: \(3^{30}\cdot 3^{180}=3^{210}\). Gdy widzisz różne podstawy będące potęgami tej samej liczby, zawsze sprowadzaj do wspólnej podstawy.

### Zadanie 3

Oblicz \(3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{9^2}\).

Zamieniamy pierwiastek na potęgę o wykładniku ułamkowym: \(\sqrt[3]{9^2}=(9^2)^{\frac{1}{3}}=(3^4)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{4}{3}}\). Mnożymy: \(3^{\frac{8}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{12}{3}}=3^4=81\). Pierwiastki to po prostu potęgi o wykładniku ułamkowym i to jest najważniejsza intuicja w tym dziale.

### Zadanie 4

Wyznacz odwrotność liczby \(2\sqrt{2}\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}\).

Najpierw upraszczamy drugi czynnik: \(\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}=8^{\frac{4}{3}}=(2^3)^{\frac{4}{3}}=2^4=16\). Pierwszy czynnik zapisujemy jako potęgę dwójki: \(2\sqrt{2}=2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}\). Mnożymy: \(2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^4=2^{\frac{11}{2}}\). Odwrotność liczby to ta liczba w potędze minus jeden: \(\left(2^{\frac{11}{2}}\right)^{-1}=2^{-\frac{11}{2}}=\frac{1}{32\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{64}\).

### Zadanie 5

Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez 37.

Sprowadzamy wszystko do podstawy 3: \(9^{22}=(3^2)^{22}=3^{44}\) oraz \(27^{14}=(3^3)^{14}=3^{42}\). Mamy więc sumę \(3^{45}+3^{44}+3^{42}\). Wyłączamy najmniejszą potęgę, czyli \(3^{42}\):

$$3^{45}+3^{44}+3^{42}=3^{42}\left(3^3+3^2+1\right)=3^{42}\left(27+9+1\right)=3^{42}\cdot 37$$

Skoro liczba jest iloczynem \(3^{42}\) i 37, to dzieli się przez 37. Koniec dowodu. W zadaniach dowodowych z potęg prawie zawsze chodzi o wyłączenie wspólnego czynnika - to schemat, który warto zapamiętać.

### Zadanie 6

Dane są liczby \(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\). Oblicz \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\).

Najpierw zauważ, że \(a\cdot b=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=5-4=1\) ze wzoru na różnicę kwadratów. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Liczymy kwadraty: \(a^2=(\sqrt{5}-2)^2=9-4\sqrt{5}\) oraz \(b^2=(\sqrt{5}+2)^2=9+4\sqrt{5}\), więc \(a^2+b^2=18\). Ponieważ \(ab=1\), wynik to \(\frac{18}{1}=18\). Sprzężenia i wzór na różnicę kwadratów to twoi najlepsi przyjaciele przy pierwiastkach.

## Typowe pułapki

Pierwsza: mylenie \(a^{-n}\) z liczbą ujemną. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, nie znak minus. \(2^{-3}=\frac{1}{8}\), a nie \(-8\).

Druga: błędne dodawanie wykładników przy różnych podstawach. \(2^3\cdot 3^2\) to nie \(6^5\). Wzór na dodawanie wykładników działa tylko przy tej samej podstawie.

Trzecia: zapominanie, że \(\sqrt{a^2}=|a|\), a nie zawsze \(a\). Na maturze ta wartość bezwzględna potrafi zdecydować o punkcie.

Czwarta: gubienie się w ułamkowych wykładnikach. Zamień każdy pierwiastek na potęgę od razu na początku, a rachunki staną się czystym dodawaniem ułamków.

## Gdzie ćwiczyć więcej

Sześć przykładów to za mało, żeby wbić schematy do głowy. W bazie czeka na ciebie 157 zadań CKE z tego działu, od jednopunktowych zamkniętych po dowody za 5 punktów. Wejdź na [przewodnik po dziale potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) i rozwiązuj zadanie po zadaniu, a po każdym sprawdzaj [rozwiązanie krok po kroku](/solve). Jeśli wolisz losową kolejność, włącz [tryb losowych zadań](/random) i licz, aż reguły wejdą w krew. Postępy w tym dziale podejrzysz w [panelu postępów](/progress).

Gdy potęgi masz już opanowane, naturalnym kolejnym krokiem są [funkcja wykładnicza](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) i [logarytmy](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku), bo oba działy stoją dokładnie na tych samych wzorach. A jeśli dopiero układasz plan nauki na cały rok, zerknij do przewodnika [jak zacząć przygotowania do matury z matematyki 2027](/jak-zaczac-przygotowania-do-matury-z-matematyki-2027-plan-na-rok).

## FAQ

### Czy potęgi i pierwiastki są trudne na maturze?
Nie, to jeden z łatwiejszych działów i źródło pewnych punktów, jeśli znasz wzory działań. Trudność pojawia się dopiero w zadaniach dowodowych.

### Ile zadań z tego działu jest na maturze?
Zwykle jedno do dwóch zadań zamkniętych bezpośrednio o potęgach, ale wzory wykorzystasz w wielu innych zadaniach, więc realny wpływ jest większy.

### Czy wzory trzeba znać na pamięć?
Część jest na [karcie wzorów](/formulas), ale działania na potęgach musisz mieć w głowie, bo na egzaminie nie ma czasu na ich wyszukiwanie.

### Gdzie znajdę więcej zadań z rozwiązaniami?
Cała baza CKE jest dostępna w [dziale potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki), a zadania zamknięte i przewodniki są za darmo; pełne rozwiązania wszystkich zadań otwiera [abonament Premium](/payment/checkout).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)