--- route: /zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami title: Zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami - baza wg działu description: Baza zadań CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami krok po kroku: wartość bezwzględna, potęgi, przedziały, ułamki okresowe i dowody podzielności. type: strategy category: Liczby rzeczywiste tags: zadania CKE liczby rzeczywiste, liczby rzeczywiste zadania maturalne, zadania z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami, wartość bezwzględna zadania matura, działania na przedziałach zadania CKE, potęgi liczbowe zadania matura, ułamek okresowy na zwykły zadania, dowody podzielności matura zadania, baza zadań CKE z rozwiązaniami, liczby rzeczywiste matura podstawowa published: 2026-07-21T07:10:14.944+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:12.823982+00:00 --- # Zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami - baza wg działu ## Zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami - baza wg działu Liczby rzeczywiste to dział, który na maturze podstawowej wraca co roku i prawie zawsze daje łatwe punkty na start arkusza, plus jedno zadanie otwarte na dowód, które potrafi zaważyć na wyniku. Rachunki są krótkie, wzorów garść, a typy zadań powtarzają się jak w zegarku. W naszej bazie znajdziesz kilkadziesiąt zadań z liczb rzeczywistych z prawdziwych arkuszy CKE, od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i próbne z lat 2011-2026. Każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają, i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE. Jeśli szukasz najpierw teorii i uporządkowania działu, zacznij od przewodnika [liczby rzeczywiste na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna). Ta strona jest jego praktycznym uzupełnieniem: tu rozwiązujesz. ## Co z liczb rzeczywistych musisz umieć na maturę Dział jest szeroki, ale na maturze podstawowej wraca zawsze ten sam zestaw umiejętności. Poniżej mapa tego, co realnie sprawdza CKE, z linkami do konkretnych zasobów. | Podtemat | Co trzeba umieć | Gdzie poćwiczyć | | --- | --- | --- | | Wartość bezwzględna | Obliczyć \(|a|\), rozwiązać proste równania i nierówności z modułem | [wartość bezwzględna - równania i nierówności](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci) | | Przedziały liczbowe | Suma, część wspólna i różnica przedziałów, zapis zbioru | [działania na przedziałach](/dzialania-na-przedzialach-liczbowych-suma-czesc-wspolna-roznica) | | Potęgi i pierwiastki | Działania na potęgach, wykładnik wymierny i ujemny | [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) | | Ułamki i procenty | Zamiana ułamka okresowego na zwykły, obliczenia procentowe | [procenty na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) | | Przybliżenia | Błąd bezwzględny i względny, zaokrąglanie, rząd wielkości | [tryb losowy](/random) | | Dowody podzielności | Rozkład na czynniki, reszty z dzielenia, dowód "dla każdego n" | [dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac) | | Dowody nierówności | Przekształcenie do kwadratu, \((a-b)^2 \ge 0\) | [dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac) | Zwróć uwagę na dwie osobne warstwy. Zadania zamknięte za 1 punkt (wartość bezwzględna, potęgi, przedziały) to szybkie punkty na początek arkusza. Zadania otwarte na dowód (podzielność, nierówności) to zwykle 2 punkty i to one odróżniają dobry wynik od przeciętnego, bo wielu zdających je odpuszcza. ## Ile liczb rzeczywistych jest na maturze W arkuszu maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym liczby rzeczywiste to zazwyczaj 2-4 zadania. Prawie zawsze pojawia się przynajmniej jedno łatwe zadanie zamknięte (na przykład wartość bezwzględna albo działanie na potęgach liczbowych) oraz jedno zadanie otwarte na wykazanie, najczęściej z podzielności lub nierówności. Razem to solidne 3-6 punktów, które da się zdobyć bez talentu, samą regularnością. To dużo, jeśli pamiętasz, że [do zdania matury potrzeba 30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki). Liczby rzeczywiste to jeden z najbardziej opłacalnych działów: mało teorii, dużo pewnych punktów. Poniżej sześć przykładów pokazujących dokładnie te typy zadań. ## Przykład 1 - wartość bezwzględna Zacznijmy od klasyka za 1 punkt. Oblicz wartość wyrażenia \(|5-2|+|1-6|\). Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera, więc zawsze wychodzi liczba nieujemna. Liczymy najpierw to, co w środku, potem bierzemy moduł. $$|5-2|+|1-6| = |3| + |-5| = 3 + 5 = 8$$ Cała trudność to pamiętać, że \(|-5| = 5\), a nie \(-5\). Najczęstszy błąd to opuszczenie modułu i zapisanie \(3 + (-5) = -2\). Ten sam schemat ćwiczysz w zadaniu [matura sierpień 2011](/task/matura-sierpie-2011-08). Więcej o module przeczytasz w poradniku [wartość bezwzględna - równania i nierówności](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci). ## Przykład 2 - działania na potęgach liczbowych Kolejny pewniak za 1 punkt. Oblicz \(\dfrac{9^5 \cdot 5^9}{45^5}\). Trik polega na rozłożeniu podstawy w mianowniku na czynniki, które już masz w liczniku. Zauważ, że \(45 = 9 \cdot 5\), więc: $$45^5 = (9 \cdot 5)^5 = 9^5 \cdot 5^5$$ Podstawiamy i skracamy: $$\frac{9^5 \cdot 5^9}{9^5 \cdot 5^5} = \frac{5^9}{5^5} = 5^{9-5} = 5^4 = 625$$ Klucz to nie liczyć \(9^5\) ani \(45^5\) na piechotę, tylko rozłożyć podstawy na czynniki i skrócić. Ten typ wraca rok w rok, na przykład w zadaniu [matura sierpień 2015](/task/matura-sierpie-2015-03). Cały dział działań na potęgach masz w [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania). ## Przykład 3 - działania na przedziałach Teraz przedziały liczbowe. Dane są \(A = \langle -2, 3)\) oraz \(B = (1, 5\rangle\). Wyznacz \(A \cup B\), \(A \cap B\) oraz \(A \setminus B\). Najlepiej narysować oba przedziały na jednej osi liczbowej i odczytać wynik. Pamiętaj o nawiasach: kwadratowy \(\langle\) oznacza, że koniec należy do zbioru, okrągły \((\) że nie należy. Suma to wszystko, co pokrywa przynajmniej jeden przedział: $$A \cup B = \langle -2, 5\rangle$$ Część wspólna to fragment wspólny obu przedziałów: $$A \cap B = (1, 3)$$ Różnica \(A \setminus B\) to to, co jest w \(A\), ale nie w \(B\), czyli z \(A\) usuwamy przedział \((1, 5\rangle\): $$A \setminus B = \langle -2, 1\rangle$$ Uwaga na końce: liczba \(1\) zostaje w różnicy, bo należy do \(A\) i nie należy do otwartego od dołu \(B\). Ten typ znajdziesz w zadaniu [matura próbna Operon listopad 2017](/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-16), a technikę krok po kroku w poradniku [działania na przedziałach liczbowych](/dzialania-na-przedzialach-liczbowych-suma-czesc-wspolna-roznica). ## Przykład 4 - ułamek okresowy na zwykły Zadanie za 1 punkt, które zaskakuje, jeśli nie znasz metody. Zapisz liczbę \(0{,}(70)\) w postaci ułamka zwykłego. Zapis \(0{,}(70)\) oznacza \(0{,}70707070\ldots\) z powtarzającym się okresem \(70\). Dla ułamka, gdzie okres zaczyna się od razu po przecinku, jest prosta reguła: w liczniku wpisujesz okres, a w mianowniku tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres. Okres \(70\) ma dwie cyfry, więc: $$0{,}(70) = \frac{70}{99}$$ Ułamka \(\frac{70}{99}\) nie da się skrócić, bo \(99 = 9 \cdot 11\), a \(70\) nie dzieli się ani przez \(3\), ani przez \(11\). Ten sam schemat sprawdza zadanie [matura próbna kwiecień 2015](/task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-07). ## Przykład 5 - dowód podzielności Teraz zadanie otwarte za 2 punkty, typ, który wielu zdających niepotrzebnie odpuszcza. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^2 + 21n\) jest podzielna przez \(7\). Metoda na takie dowody jest jedna: wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i pokazać, że dzielnik zostaje na wierzchu. Zapisujemy: $$7n^2 + 21n = 7(n^2 + 3n) = 7n(n+3)$$ Wyrażenie \(7n(n+3)\) jest iloczynem, w którym jednym z czynników jest \(7\). Iloczyn, w którym występuje czynnik \(7\), jest podzielny przez \(7\) dla każdej liczby całkowitej \(n\), co należało wykazać. To pełne rozwiązanie na 2 punkty. Klucz to jasno zapisać wniosek "iloczyn z czynnikiem 7 jest podzielny przez 7", bo za sam rozkład bez komentarza klucz CKE potrafi obciąć punkt. Ten dokładny typ pojawił się w zadaniu [matura maj 2026](/task/matura-maj-2026-07). Jak pisać takie dowody, żeby zgarnąć komplet, opisuje poradnik [dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac). ## Przykład 6 - dowód nierówności Ostatni typ, też za 2 punkty. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) zachodzi nierówność \(a + \dfrac{1}{a} \ge 2\). Sztuczka na dowody nierówności prawie zawsze polega na sprowadzeniu wszystkiego do kwadratu, bo kwadrat jest nieujemny. Zaczynamy od pewnika \((a-1)^2 \ge 0\), który jest prawdziwy dla każdego \(a\): $$(a-1)^2 \ge 0$$ Rozwijamy kwadrat: $$a^2 - 2a + 1 \ge 0$$ Przenosimy \(2a\) na drugą stronę: $$a^2 + 1 \ge 2a$$ Ponieważ \(a\) jest dodatnie, możemy podzielić obie strony przez \(a\) bez zmiany znaku nierówności: $$a + \frac{1}{a} \ge 2$$ To kończy dowód. Cały trik to zacząć od dobrego kwadratu i dojść do tezy. Podobny typ znajdziesz w zadaniu [matura sierpień 2013](/task/matura-sierpie-2013-30). ## Najczęstsze pułapki w zadaniach z liczb rzeczywistych Zebrałem błędy, które najczęściej kosztują punkty w tym dziale. Sprawdź, czy któryś nie jest twój. Opuszczanie wartości bezwzględnej. \(|-5|\) to \(5\), nie \(-5\). Zawsze najpierw policz to, co w środku, potem weź moduł. Mylenie nawiasów w przedziałach. Nawias okrągły wyklucza koniec, kwadratowy go włącza. Przy różnicy i części wspólnej to właśnie końce decydują o poprawnej odpowiedzi. Liczenie potęg na piechotę. Nie licz \(9^5\), tylko rozkładaj podstawy na czynniki i skracaj. Oszczędzasz czas i unikasz pomyłek rachunkowych. Urwany dowód. W zadaniach na wykazanie sam rozkład to za mało. Musisz zapisać wniosek słowami, na przykład "iloczyn z czynnikiem 7 jest podzielny przez 7". Bez tego klucz CKE często daje 1 punkt zamiast 2. Skracanie nieskracalnego ułamka. \(\frac{70}{99}\) już jest w najprostszej postaci. Sprawdź rozkład mianownika, zanim zaczniesz skracać na siłę. ## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie Sama teoria nie da punktów. Potrzebujesz przerobić kilkanaście zadań, aż metody wejdą w nawyk. Oto sensowna kolejność. Zacznij od zadań zamkniętych za 1 punkt: wartość bezwzględna, potęgi, przedziały. To szybkie pewniaki, które budują poczucie, że dział masz opanowany. Wejdź na [zadania z liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) i rozwiąż serię samodzielnie, a wynik sprawdź od razu. Potem weź zadania otwarte na dowód. Daj sobie po 10 minut na każde, dopiero potem porównaj z rozwiązaniem. Jeśli utknąłeś, zajrzyj do [poradnika o dowodach](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac), a nie od razu do gotowej odpowiedzi. Na koniec sprawdź się na chłodno. Włącz [tryb losowy](/random), który miesza działy jak prawdziwy arkusz, albo rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress). Jedno wyrażenie do policzenia kontrolnie wrzuć do [solvera](/solve). A jeśli chcesz zrozumieć, dlaczego dana metoda działa, poproś o wyjaśnienie AI, ale wynik zawsze sprawdź, o czym więcej w tekście [czy ChatGPT rozwiąże zadanie z matury z matematyki](/czy-chatgpt-rozwiaze-zadanie-maturalne-z-matematyki). ## FAQ ### Czy liczby rzeczywiste są trudne na maturze? To jeden z łatwiejszych działów. Zadania zamknięte są krótkie i schematyczne, a dowody idą jednym z dwóch sprawdzonych sposobów: rozkład na czynniki przy podzielności i kwadrat przy nierówności. Wystarczy przećwiczyć oba. ### Ile zadań z liczb rzeczywistych jest na maturze podstawowej? Zazwyczaj 2-4 zadania, najczęściej jedno lub dwa zamknięte za 1 punkt i jedno otwarte na wykazanie za 2 punkty. Razem to solidne 3-6 punktów. ### Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły? Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, wpisz okres w licznik, a w mianownik tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres. Na przykład \(0{,}(70) = \frac{70}{99}\). ### Jak udowodnić, że liczba jest podzielna przez daną liczbę? Rozłóż wyrażenie na czynniki tak, żeby ten dzielnik został jako osobny czynnik, i zapisz wniosek słowami. Przykład masz wyżej: \(7n^2 + 21n = 7n(n+3)\). ### Gdzie znajdę więcej zadań z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami? Wszystkie zebrane są w dziale [liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste), a teorię uporządkuje przewodnik [liczby rzeczywiste na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna). ## Podsumowanie Liczby rzeczywiste to dział, w którym opłaca się usiąść wcześnie, bo daje pewne punkty przy minimalnym nakładzie. Naucz się sześciu typów z tej strony: wartość bezwzględna, potęgi liczbowe, działania na przedziałach, ułamek okresowy, dowód podzielności i dowód nierówności. To pokrywa praktycznie wszystko, co CKE sprawdza w tym dziale na poziomie podstawowym. Plan na dziś: rozwiąż pięć [zadań z liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) samodzielnie, a wynik sprawdź w rozwiązaniach krok po kroku. Jeśli potrzebujesz najpierw teorii, zacznij od [przewodnika po dziale](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna), a metody dowodzenia dopracuj w [poradniku o dowodach](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)