--- route: /zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami title: Zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu description: Baza zadań CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami krok po kroku: permutacje, wariacje, kombinacje, reguła mnożenia i sześć przykładów z pułapkami. type: strategy category: Kombinatoryka tags: zadania CKE kombinatoryka, kombinatoryka zadania maturalne, zadania z kombinatoryki z rozwiązaniami, permutacje wariacje kombinacje zadania, reguła mnożenia zadania maturalne, symbol Newtona zadania, kombinatoryka matura podstawowa, baza zadań CKE z rozwiązaniami, zadania maturalne CKE wg działów, kombinatoryka krok po kroku published: 2026-07-20T09:01:38.216+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:21.600953+00:00 --- # Zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu ## Zadania CKE z kombinatoryki - dlaczego ten dział budzi strach Kombinatoryka ma wśród maturzystów opinię działu, w którym "nigdy nie wiadomo, którego wzoru użyć". Permutacje, wariacje, kombinacje, do tego silnia i symbol Newtona - brzmi jak dużo, a w praktyce sprowadza się do kilku schematów i dwóch pytań kontrolnych. Ten tekst zbiera w jednym miejscu wszystkie wzory, tabelę decyzyjną, sześć rozwiązanych przykładów w stylu zadań CKE i typowe pułapki. Warto zainwestować w ten dział, bo kombinatoryka to fundament [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo). W klasycznej definicji prawdopodobieństwa i licznik, i mianownik to wyniki zliczania - czyli czysta kombinatoryka. Kto umie zliczać, ma z głowy oba działy naraz. ## Wzory, które musisz znać Reguła mnożenia to podstawa całego działu. Jeśli pewien wybór składa się z kolejnych etapów i pierwszy etap można wykonać na \(n_1\) sposobów, drugi na \(n_2\) i tak dalej, to wszystkich możliwości jest $$n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$ Permutacje to wszystkie ustawienia \(n\) różnych elementów w ciąg. Jest ich $$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$ Przykładowo \(4! = 24\), \(5! = 120\). Przyda się też umowa \(0! = 1\). Wariacje bez powtórzeń to wybór \(k\) elementów spośród \(n\), gdy kolejność ma znaczenie i elementy się nie powtarzają: $$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$ Wariacje z powtórzeniami to sytuacja, gdy kolejność ma znaczenie, a elementy mogą się powtarzać, jak cyfry w kodzie PIN: $$W_n^k = n^k$$ Kombinacje to wybór \(k\) elementów spośród \(n\), gdy kolejność nie gra roli: $$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ Symbol \(\binom{n}{k}\) czytamy "n nad k". Wszystkie te wzory znajdziesz też w [tablicach maturalnych](/formulas), ale na egzaminie liczy się umiejętność wyboru właściwego, a nie samo ich odszukanie. ## Który wzór wybrać - tabela decyzyjna Zanim zaczniesz liczyć, odpowiedz na dwa pytania: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać. | Czy kolejność ma znaczenie? | Czy elementy się powtarzają? | Model | Wzór | | --- | --- | --- | --- | | Tak, ustawiam wszystkie elementy | Nie | Permutacje | \(n!\) | | Tak, wybieram k z n | Nie | Wariacje bez powtórzeń | \(\frac{n!}{(n-k)!}\) | | Tak, wybieram k z n | Tak | Wariacje z powtórzeniami | \(n^k\) | | Nie, liczy się tylko skład | Nie | Kombinacje | \(\binom{n}{k}\) | Prosty test na kolejność: czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik? Przy ustawianiu osób w kolejce tak (kolejność ważna), przy wyborze dwuosobowej delegacji nie (delegacja Ani z Bartkiem to ta sama delegacja co Bartka z Anią). ## Rozwiązane przykłady w stylu CKE ### Przykład 1: liczby o różnych cyfrach Ile jest liczb trzycyfrowych, w których wszystkie cyfry są różne? Budujemy liczbę etapami i stosujemy regułę mnożenia. Cyfra setek: dowolna od 1 do 9, bo liczba trzycyfrowa nie zaczyna się zerem, czyli 9 możliwości. Cyfra dziesiątek: dowolna z dziesięciu cyfr poza już użytą, czyli 9 możliwości. Cyfra jedności: 8 możliwości. $$9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$$ Jest 648 takich liczb. Najczęstszy błąd to danie 10 możliwości na pierwszym miejscu i policzenie liczb zaczynających się od zera. ### Przykład 2: delegacja, czyli kombinacje Z klasy liczącej 10 osób wybieramy dwuosobową delegację. Ile jest możliwych delegacji? Kolejność nie gra roli, więc kombinacje: $$\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!\cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$ Gdyby zadanie pytało o wybór przewodniczącego i zastępcy, kolejność miałaby znaczenie i wynik byłby inny: \(10 \cdot 9 = 90\). To dokładnie różnica między kombinacją a wariacją. ### Przykład 3: kody i PIN-y Ile jest czterocyfrowych kodów PIN? A ile takich, w których cyfry się nie powtarzają? Kod PIN może zaczynać się zerem, więc na każdym z czterech miejsc mamy 10 cyfr. Wariacje z powtórzeniami: $$10^4 = 10000$$ Bez powtórzeń każde kolejne miejsce ma o jedną cyfrę mniej do wyboru: $$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$$ Zwróć uwagę, że kod PIN to nie liczba: 0357 jest poprawnym kodem, choć nie jest liczbą czterocyfrową. Czytaj treść uważnie. ### Przykład 4: osoby obok siebie Na ile sposobów można ustawić 5 osób w rzędzie tak, aby Ania i Bartek stali obok siebie? Sklejamy Anię i Bartka w jeden blok. Mamy wtedy 4 obiekty do ustawienia (blok plus 3 pozostałe osoby), czyli \(4! = 24\) ustawienia. Wewnątrz bloku Ania i Bartek mogą stać na \(2\) sposoby. $$2 \cdot 4! = 2 \cdot 24 = 48$$ Metoda sklejania wraca w wielu zadaniach CKE z warunkiem "obok siebie". Zapomnienie o mnożeniu przez 2 to klasyczna strata punktu. ### Przykład 5: liczby parzyste z warunkiem Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, jeśli liczba ma być parzysta? Zaczynamy od najmocniejszego warunku, czyli od cyfry jedności: musi być parzysta, więc 2 albo 4, czyli 2 możliwości. Zostają 4 cyfry na trzy pierwsze miejsca: \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\). $$2 \cdot 24 = 48$$ Reguła praktyczna: warunki obsługuj w pierwszej kolejności, a dopiero potem rozdzielaj pozostałe miejsca. ### Przykład 6: co najmniej jeden, czyli dopełnienie Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wyników, w których wypadł co najmniej jeden orzeł? Wszystkich wyników jest \(2^3 = 8\). Zamiast wypisywać przypadki z jednym, dwoma i trzema orłami, liczymy dopełnienie: wyników bez żadnego orła jest dokładnie 1 (same reszki). $$2^3 - 1 = 7$$ Ten sam trik ratuje w zadaniach z prawdopodobieństwem: szansa na co najmniej jednego orła to \(\frac{7}{8}\). Więcej takich zadań znajdziesz w hubie [zadania CKE z prawdopodobieństwa](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami). ## Najczęstsze pułapki Mylenie kombinacji z wariacjami. Jeśli zamiana wybranych elementów miejscami daje inny wynik, to wariacje. Jeśli nie, kombinacje. To pytanie kontrolne rozstrzyga większość wątpliwości. Zero na pierwszym miejscu. W zadaniach o liczbach pierwsza cyfra nie może być zerem, w zadaniach o kodach może. Jedno słowo w treści zmienia cały wynik. Dodawanie zamiast mnożenia. Etapy jednego wyboru mnożysz. Dodajesz wtedy, gdy przypadki się wykluczają, na przykład osobno liczysz liczby parzyste i osobno nieparzyste. Liczenie "co najmniej" wprost. Da się, ale to prosta droga do pominięcia przypadku. Dopełnienie jest szybsze i bezpieczniejsze. Silnia rośnie błyskawicznie. Zanim policzysz \(10!\) w całości, sprawdź, czy ułamek się nie skraca: \(\frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90\). ## Jak ćwiczyć ten dział Teoria bez zadań nie działa. Wszystkie zadania z kombinatoryki z prawdziwych arkuszy CKE znajdziesz w jednym miejscu: [zadania z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka). Każde ma rozwiązanie krok po kroku, więc gdy utkniesz, nie zostajesz sam. Kolejność pracy, która się sprawdza: najpierw zadania na czystą regułę mnożenia, potem liczby z warunkami (parzystość, różne cyfry), na końcu kombinacje i zadania typu "co najmniej". Gdy dział zaczyna wchodzić, sprawdź się na [losowych zadaniach](/random) i rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress). Jeśli utkniesz na zadaniu ze szkolnego zbioru, którego nie ma w bazie, wrzuć je do [solvera](/solve). O tym, jak korzystać z takich narzędzi z głową, piszemy w tekście [solver matematyczny online](/solver-matematyczny-online-rozwiaz-zadanie-maturalne-ze-zdjecia). ## FAQ ### Czy kombinatoryka jest trudna na maturze podstawowej? Nie, ale wymaga uważnego czytania treści. Rachunki są proste, cała trudność leży w wyborze modelu: permutacje, wariacje czy kombinacje. ### Ile zadań z kombinatoryki jest na maturze? Zwykle jedno lub dwa, często połączone z prawdopodobieństwem. Umiejętność zliczania pracuje więc na punkty w dwóch działach naraz. ### Czy wzory kombinatoryczne są w tablicach maturalnych? Tak, wzory na permutacje, wariacje i kombinacje znajdziesz w [tablicach](/formulas). Warto jednak znać je z głowy, bo kluczowa jest decyzja, którego użyć, a nie samo odszukanie wzoru. ### Od czego zacząć, jeśli nic z tego działu nie umiem? Od reguły mnożenia i prostych zadań o liczbach trzycyfrowych. To fundament, z którego wynika cała reszta. ### Czy zadania są za darmo? Duża część bazy, w tym zadania zamknięte i przewodniki tematyczne, jest dostępna bez opłat. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje [abonament Premium](/payment/checkout). ## Podsumowanie: co musisz umieć Regułę mnożenia i odruch rozbijania wyboru na etapy. Wzory na permutacje \(n!\), wariacje bez powtórzeń \(\frac{n!}{(n-k)!}\), wariacje z powtórzeniami \(n^k\) i kombinacje \(\binom{n}{k}\). Dwa pytania kontrolne: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają. Obsługę warunków w pierwszej kolejności, metodę sklejania przy "obok siebie" i dopełnienie przy "co najmniej". Masz wzory, masz tabelę decyzyjną, masz sześć rozwiązanych przykładów. Teraz brakuje tylko treningu: wejdź na [zadania z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka) i rozwiąż pierwsze z nich jeszcze dziś. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)