---
route: /zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami - baza maturalna
description: 283 zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami krok po kroku. Wzory, typy zadań i rozwiązane przykłady maturalne w jednej bazie.
type: strategy
category: Geometria analityczna
tags: zadania CKE geometria analityczna, geometria analityczna zadania maturalne, zadania maturalne z rozwiązaniami, baza zadań CKE z rozwiązaniami, geometria analityczna matura zadania, równanie prostej zadania matura, równanie okręgu zadania CKE, odległość punktu od prostej zadania, zadania maturalne CKE wg działów, geometria analityczna krok po kroku
published: 2026-06-18T11:08:49.5658+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:22.928813+00:00
---
# Zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami - baza maturalna
Geometria analityczna to jeden z najczęściej punktowanych działów na maturze z matematyki. W naszej bazie znajdziesz 283 zadania z tego działu pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE - od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i diagnostyczne. Każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań się powtarzają, i prowadzi przez kilka rozwiązanych przykładów CKE.

## Ile geometrii analitycznej jest na maturze

Geometria analityczna pojawia się na każdej maturze podstawowej - zwykle w postaci 2-4 zadań zamkniętych i co najmniej jednego zadania otwartego. To oznacza realnie od 4 do nawet 8 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) to są punkty, których nie wolno oddawać.

Dobra wiadomość jest taka, że ten dział jest wyjątkowo schematyczny. Zadania sprowadzają się do kilkunastu powtarzalnych typów: odległość punktów, środek odcinka, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe, równanie okręgu, odległość punktu od prostej. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, to rozwiążesz praktycznie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię działu znajdziesz w przewodniku [geometria analityczna na maturze](/topics/geometria-analityczna).

## Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet wzorów. Większość z nich jest w [karcie wzorów CKE](/formulas), ale część musisz mieć w głowie. Oto rdzeń działu.

Długość odcinka między punktami \(A=(x_A,y_A)\) i \(B=(x_B,y_B)\):

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Współrzędne środka odcinka \(AB\):

$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Równanie kierunkowe prostej przez dwa punkty - najpierw współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

Warunek równoległości prostych: \(a_1=a_2\). Warunek prostopadłości: \(a_1\cdot a_2=-1\).

Równanie okręgu o środku \(S=(p,q)\) i promieniu \(r\):

$$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$$

Odległość punktu \(P=(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\):

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Każdy z tych wzorów ma u nas osobny poradnik z zadaniami: [równanie prostej](/rownanie-prostej-matura-kierunkowe-ogolne-przez-dwa-punkty), [równanie okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), [odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-matura) oraz [układ współrzędnych i wektory](/uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory).

## Baza zadań CKE wedlug typu

Zadania z geometrii analitycznej w bazie dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-6 punktów, pełne rozwiązanie). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

| Typ zadania | Forma | Co sprawdza | Gdzie ćwiczyć |
| --- | --- | --- | --- |
| Odległość i środek odcinka | zamknięte i otwarte | wzory na \(|AB|\) i środek | [/random](/random) |
| Równanie prostej | zamknięte i otwarte | prosta przez dwa punkty, postać ogólna | [/solve](/solve) |
| Proste równoległe i prostopadłe | zamknięte | warunki na współczynniki | [/topics/geometria-analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| Równanie okręgu | otwarte | środek, promień, przecięcia z osiami | [/solve](/solve) |
| Czworokąty i trójkąty w układzie | otwarte | łączenie wzorów, środkowe, przekątne | [/random](/random) |
| Odległość punktu od prostej | otwarte | wzór na odległość, styczność | [/exams](/exams) |

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy [CKE 2015-2023](/exams) oraz z najnowszych arkuszy pokazowych [CKE 2025](/exams). Wszystkie rozwiążesz w [trybie nauki](/random), gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

## Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć prawdziwych zadań CKE z geometrii analitycznej, każde rozwiązane od początku do końca. Kliknij w numer zadania, żeby otworzyć je w bazie wraz z pełnym rozwiązaniem.

### Zadanie 1

Dane są punkty \(A=(-1,1)\), \(B=(5,-3)\) oraz \(C=(3,2)\). Wyznacz równanie środkowej poprowadzonej do boku \(AB\) w trójkącie \(ABC\).

Środkowa do boku \(AB\) wychodzi z wierzchołka \(C\) i trafia w środek boku \(AB\). Najpierw środek:

$$M=\left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{1+(-3)}{2}\right)=(2,-1)$$

Teraz prosta przez \(C=(3,2)\) i \(M=(2,-1)\). Współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{2-(-1)}{3-2}=\frac{3}{1}=3$$

Podstawiamy do \(y-y_C=a(x-x_C)\): \(y-2=3(x-3)\), czyli \(y=3x-7\). To jest szukana środkowa.

### Zadanie 2

Dany jest okrąg \(O\) o równaniu \((x-2)^2+(y+3)^2=16\). Oblicz współrzędne \(x\) punktów przecięcia okręgu \(O\) z osią \(Ox\).

Na osi \(Ox\) zawsze \(y=0\). Podstawiamy do równania okręgu:

$$(x-2)^2+(0+3)^2=16$$

$$(x-2)^2+9=16$$

$$(x-2)^2=7$$

Pierwiastkujemy obie strony: \(x-2=\pm\sqrt{7}\), więc \(x_1=2+\sqrt{7}\) oraz \(x_2=2-\sqrt{7}\).

### Zadanie 3

Punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7)\), \(C=(6,9)\), \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia jego przekątnych.

Przekątne to \(AC\) i \(BD\). Najpierw prosta \(AC\). Współczynnik: \(a=\frac{9-(-5)}{6-(-1)}=\frac{14}{7}=2\), więc \(y=2x-3\). Teraz prosta \(BD\): \(a=\frac{9-(-7)}{-2-2}=\frac{16}{-4}=-4\), więc \(y=-4x+1\).

Porównujemy: \(2x-3=-4x+1\), stąd \(6x=4\), czyli \(x=\frac{2}{3}\). Wtedy \(y=2\cdot\frac{2}{3}-3=-\frac{5}{3}\). Przekątne przecinają się w punkcie \(P=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right)\).

### Zadanie 4

Punkt \(M=(2,1)\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(N=(8,3)\) środkiem boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Oblicz długość boku tego kwadratu.

Odcinek \(MN\) łączy środki dwóch sąsiednich boków kwadratu. Jego długość:

$$|MN|=\sqrt{(8-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$

W kwadracie o boku \(a\) odcinek łączący środki sąsiednich boków ma długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Zatem \(\frac{a\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{10}\), stąd \(a=2\sqrt{10}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}\).

### Zadanie 5

Punkt \(A=(2,7)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(S=(6,5)\) środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Oblicz długość boku kwadratu.

Środek okręgu opisanego to środek kwadratu, a odległość \(AS\) to połowa przekątnej:

$$|AS|=\sqrt{(6-2)^2+(5-7)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

Cała przekątna ma więc długość \(d=2\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\). Bok kwadratu liczymy z zależności \(d=a\sqrt{2}\):

$$a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}$$

### Zadanie 6

Punkty \(A=(7,6)\) i \(B=(1,-2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Najpierw bok trójkąta, czyli długość \(AB\):

$$|AB|=\sqrt{(7-1)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu opisanego wynosi \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Podstawiamy \(a=10\):

$$R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

## Najczęstsze typy zadań i pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że pułapki się powtarzają. Oto te, które najczęściej kosztują punkty.

Pułapka pierwsza: mylenie wzoru na środek odcinka ze wzorem na długość. Środek to średnia współrzędnych (dodajesz i dzielisz przez dwa), długość to pierwiastek z sumy kwadratów różnic. Brzmi banalnie, a pod presją czasu łatwo o pomyłkę.

Pułapka druga: znak w warunku prostopadłości. Proste są prostopadłe, gdy \(a_1\cdot a_2=-1\), a nie gdy są równe. Jeśli jedna prosta ma współczynnik \(2\), to prostopadła ma \(-\frac{1}{2}\).

Pułapka trzecia: zapominanie o wszystkich przypadkach. W zadaniach typu "rozważ wszystkie przypadki" (jak przy szukaniu środka okręgu opisanego na kwadracie z jednym danym bokiem) bywają dwa rozwiązania. Pominięcie jednego to utrata punktów.

Pułapka czwarta: błędy rachunkowe przy pierwiastkach. \(\sqrt{40}\) to \(2\sqrt{10}\), a nie \(4\sqrt{10}\). Naucz się sprawnie wyłączać czynnik przed pierwiastek - więcej w poradniku o [błędach rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

Pułapka piąta: zapominanie o pierwiastku przy promieniu. W równaniu okręgu po prawej stronie stoi \(r^2\), a nie \(r\). Jeśli w zadaniu podano promień 5, po prawej wpisujesz 25, a gdy odczytujesz promień z równania, pamiętaj o pierwiastku - w zadaniu 2 powyżej po prawej stało 16, więc promień to 4.

Pułapka szósta: postać prostej przy wzorze na odległość. Wzór na odległość punktu od prostej działa wyłącznie dla postaci ogólnej \(Ax+By+C=0\). Jeśli masz prostą w postaci kierunkowej \(y=ax+b\), najpierw przenieś wszystko na jedną stronę - dopiero wtedy podstawiaj. Cały schemat rozpisaliśmy w poradniku o [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-matura).

## Jak czytać rozwiązanie krok po kroku

Samo zerknięcie na odpowiedź nic nie daje. Zysk z rozwiązanego zadania pojawia się dopiero wtedy, gdy rozumiesz każdy krok rozumowania. Dlatego rozwiązania w bazie nie podają samego wyniku - prowadzą cię przez całą drogę: od tego, co jest dane, przez wybór wzoru, aż po obliczenia.

Czytaj rozwiązanie aktywnie. Po każdym kroku zatrzymaj się i zadaj pytanie: dlaczego akurat ten wzór, dlaczego ta kolejność działań? W zadaniu 1 powyżej kluczowy był pomysł, żeby najpierw policzyć środek boku, a dopiero potem prostą. W zadaniu 3 trik polegał na tym, żeby zapisać równania obu przekątnych i przyrównać je do siebie. To są schematy, które wracają na maturze.

Najlepszy nawyk to zasłonić rozwiązanie i spróbować dojść do wyniku samemu, odsłaniając kolejne kroki tylko wtedy, gdy naprawdę utkniesz. Jeśli masz własne zadanie, którego nie ma w bazie, wrzuć je do [solvera](/solve) - dostaniesz rozpisane rozwiązanie w tym samym stylu. O metodach weryfikacji własnych obliczeń pisaliśmy też w poradniku [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Od czego zacząć, jeśli ten dział leży

Jeśli geometria analityczna na razie ci nie idzie, nie rzucaj się od razu na zadania za 5 punktów. Zacznij od najprostszych typów: liczenie długości odcinka i środka odcinka. To zadania jednokrokowe - podstawiasz do wzoru i masz wynik. Jak je opanujesz, dorzuć równanie prostej przez dwa punkty, bo połowa zadań otwartych z tego działu sprowadza się właśnie do wyznaczenia prostej.

Dopiero potem przejdź do okręgu i odległości punktu od prostej, które łączą kilka wzorów naraz. Taka kolejność - od zadań jednokrokowych do złożonych - sprawia, że budujesz pewność, zamiast od razu zderzać się ze ścianą. Jeśli braki masz głębsze, sięgnij po poradnik [jak uczyć się matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury), a planowanie całej powtórki ogarniesz z poradnikiem [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

## Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na geometrię analityczną to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od [trybu losowego](/random) z filtrem na geometrię analityczną - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić swoje obliczenia, wrzuć je do [solvera](/solve). Kiedy poczujesz, że typy wchodzą automatycznie, rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) albo przejdź przez [symulator matury](/simulator), żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na [stronie statystyk](/progress).

Jeśli uczysz się samodzielnie, bez korepetytora, ten dział jest idealny na początek - jest schematyczny i daje pewne punkty. Cały plan takiej nauki opisaliśmy w poradniku [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z geometrii analitycznej powinienem przerobić?
Zacznij od circa 30-40 zadań różnych typów. To wystarczy, żeby rozpoznać schematy. Potem dorzucaj zadania z całych arkuszy w ramach powtórek.

### Czy wzory są w karcie wzorów?
Większość tak, ale wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów i warunki równoległości oraz prostopadłości warto mieć w głowie, bo oszczędzają czas. Sprawdź dokładnie [kartę wzorów CKE](/formulas).

### Skąd pochodzą zadania w bazie?
Wyłącznie z prawdziwych arkuszy CKE - matur majowych, czerwcowych, sierpniowych poprawkowych oraz arkuszy pokazowych i diagnostycznych. Pełną listę arkuszy masz na stronie [egzaminów](/exams).

### Czy geometria analityczna jest trudna?
Na poziomie podstawowym należy do łatwiejszych i pewniejszych działów, bo jest bardzo schematyczna. Większość zadań sprowadza się do podstawienia do znanego wzoru. To dlatego warto zacząć od niej naukę, gdy budujesz pewne punkty na maturze.

## Podsumowanie - co musisz umieć

Z geometrii analitycznej na maturze podstawowej musisz pewnie liczyć: długość odcinka, środek odcinka, równanie prostej przez dwa punkty, warunki równoległości i prostopadłości, równanie okręgu oraz odległość punktu od prostej. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz 283 zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w [trybie nauki](/random) już dziś. A jeśli przygotowujesz się bez korepetytora, połącz ten dział z pełnym planem z poradnika [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)