--- route: /zadania-cke-funkcja-liniowa-z-rozwiazaniami title: Zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami - baza maturalna description: Baza zadań CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami krok po kroku: monotoniczność, wzór prostej, miejsce zerowe, proste równoległe i prostopadłe, kąt nachylenia. type: strategy category: Funkcja liniowa tags: zadania CKE funkcja liniowa, funkcja liniowa matura, zadania maturalne funkcja liniowa, funkcja liniowa zadania z rozwiązaniami, równanie prostej matura, proste równoległe prostopadłe, kąt nachylenia prostej, miejsce zerowe funkcji liniowej, baza zadań CKE, funkcja liniowa z parametrem author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-07-04T09:03:16.045992+00:00 updated: 2026-07-04T09:03:16.045992+00:00 --- # Zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami - baza maturalna Funkcja liniowa to jeden z najbardziej opłacalnych działów na maturze z matematyki. Zadania są przewidywalne, wzory krótkie, a punkty niemal pewne, jeśli tylko ogarniesz kilka schematów. W tej bazie zbieramy zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami krok po kroku i tłumaczymy dokładnie te typy, które wracają co roku. Wszystkie zadania pochodzą z prawdziwych arkuszy CKE. Możesz je rozwiązywać w dziale [funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) albo losowo przez [losowe zadanie](/random). Jeśli wolisz uczyć się na pełnych rozwiązaniach, zobacz też [jak korzystać z zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo). ## Co musisz umieć z funkcji liniowej Funkcja liniowa ma postać kierunkową \(y = ax + b\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy, a \(b\) to wyraz wolny. To wszystko kręci się wokół kilku faktów: - Monotoniczność: dla \(a > 0\) funkcja jest rosnąca, dla \(a 0\). Stąd \(m > 1\). To klasyk: całe zadanie sprowadza się do jednej nierówności na współczynnik przy \(x\). ## Przykład 2 - wzór prostej przez dwa punkty Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty \(A=(-1, 2)\) i \(B=(3, 10)\). Najpierw współczynnik kierunkowy: \(a = \frac{10 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2\). Teraz wyraz wolny - podstawiamy współrzędne punktu \(A\): \(2 = 2 \cdot (-1) + b\), więc \(b = 4\). Wzór to \(y = 2x + 4\). Ten schemat rozwijamy w tekście [jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty). ## Przykład 3 - miejsce zerowe Oblicz miejsce zerowe funkcji \(f(x) = 3x - 9\). Miejsce zerowe to \(x\), dla którego \(f(x) = 0\). Rozwiązujemy \(3x - 9 = 0\), czyli \(x = 3\). Można też od razu ze wzoru \(x_0 = -\frac{b}{a} = -\frac{-9}{3} = 3\). ## Przykład 4 - proste prostopadłe Prosta ma równanie \(y = 2x + 1\). Jaki współczynnik kierunkowy ma prosta do niej prostopadła? Z warunku prostopadłości \(a_1 \cdot a_2 = -1\) mamy \(2 \cdot a_2 = -1\), więc \(a_2 = -\frac{1}{2}\). Więcej takich zadań znajdziesz w [proste równoległe i prostopadłe - warunki, wzory, zadania](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania). ## Przykład 5 - kąt nachylenia prostej Prosta ma współczynnik kierunkowy \(a = \sqrt{3}\). Jaki kąt tworzy z osią OX? Korzystamy z \(a = \tan\alpha\), czyli \(\tan\alpha = \sqrt{3}\). Stąd \(\alpha = 60^\circ\). Temat kąta nachylenia rozkładamy na czynniki w [kąt nachylenia prostej do osi OX - wzór, zadania](/kat-nachylenia-prostej-do-osi-ox-wzor-zadania). ## Zadania CKE z funkcji liniowej do rozwiązania Poniżej wybrane zadania z prawdziwych arkuszy. Kliknij, żeby zobaczyć pełne rozwiązanie krok po kroku: - [Zadanie z arkusza Matura maj 2010](/task/matura-maj-2010-20) - podstawy funkcji liniowej. - [Zadanie z arkusza Matura maj 2011](/task/matura-maj-2011-10) - wyznaczanie wzoru prostej. - [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2018](/task/matura-czerwiec-2018-11) - własności współczynników. - [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2019](/task/matura-czerwiec-2019-05) - wzajemne położenie prostych. - [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2024](/task/matura-czerwiec-2024-15) - funkcja liniowa z parametrem. - [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-11) - najnowszy typ z arkusza. Cały dział z kompletem zadań i rozwiązań masz na stronie [funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa), a pełne arkusze z danych lat w sekcji [arkusze CKE](/exams). ## Typowe pułapki - Mylenie warunku prostopadłości z równoległością. Równoległe: \(a_1 = a_2\). Prostopadłe: \(a_1 \cdot a_2 = -1\). - Zapominanie o założeniu \(a \neq 0\) przy miejscu zerowym. Gdy \(a = 0\), funkcja jest stała i nie ma miejsca zerowego (chyba że jest tożsamościowo zerem). - Błąd znaku przy wyznaczaniu \(b\). Zawsze podstaw współrzędne punktu z powrotem do wzoru i sprawdź. - Przy kącie nachylenia pamiętaj, że dla \(a < 0\) kąt jest rozwarty (między 90 a 180 stopni). ## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie Rób każdy typ osobno, aż zaczniesz go rozpoznawać w sekundę. Najpierw monotoniczność z parametrem, potem wzór prostej, miejsce zerowe, położenie prostych i kąt nachylenia. Gdy każdy z tych typów masz z głowy, przejdź na [losowe zadania](/random), żeby ćwiczyć rozpoznawanie. Do momentów, w których utkniesz, użyj [solvera ze zdjęcia](/solve). Metodę nauki na pełnych rozwiązaniach opisaliśmy w [zadaniach maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo). ## Przykład 6 - proste równoległe Dana jest prosta \(y = -3x + 5\). Wyznacz wzór prostej równoległej do niej, przechodzącej przez punkt \(P = (2, 1)\). Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać \(y = -3x + b\). Podstawiamy współrzędne punktu \(P\): \(1 = -3 \cdot 2 + b\), stąd \(b = 7\). Wzór to \(y = -3x + 7\). ## Przykład 7 - odczyt wzoru z wykresu Z wykresu odczytujesz, że prosta przecina oś OY w punkcie \((0, -2)\) i przechodzi przez \((2, 2)\). Wyznacz jej wzór. Wyraz wolny czytasz wprost z przecięcia z osią OY: \(b = -2\). Współczynnik kierunkowy: \(a = \frac{2 - (-2)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2\). Wzór to \(y = 2x - 2\). Odczytywanie własności z wykresu ćwiczysz też w dziale [funkcje](/topics). ## Przykład 8 - zadanie z treścią (model liniowy) Wypożyczalnia bierze 20 zł opłaty stałej plus 8 zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin i policz koszt za 5 godzin. Koszt to \(k(t) = 8t + 20\), gdzie \(t\) to liczba godzin. Dla \(t = 5\): \(k(5) = 8 \cdot 5 + 20 = 60\) zł. Funkcja liniowa świetnie modeluje takie sytuacje: opłata stała to wyraz wolny \(b\), a stawka za godzinę to współczynnik kierunkowy \(a\). ## Przykład 9 - punkt przecięcia dwóch prostych Znajdź punkt wspólny prostych \(y = 2x - 1\) oraz \(y = -x + 5\). Przyrównujemy wzory: \(2x - 1 = -x + 5\), stąd \(3x = 6\), czyli \(x = 2\). Wtedy \(y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\). Punkt przecięcia to \((2, 3)\). To pomost do [układów równań](/topics) i geometrii analitycznej. ## Przykład 10 - parametr z warunku przechodzenia przez punkt Dla jakiej wartości \(m\) wykres funkcji \(f(x) = mx - 4\) przechodzi przez punkt \(A = (2, 2)\)? Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru: \(2 = m \cdot 2 - 4\). Stąd \(2m = 6\), czyli \(m = 3\). Zawsze, gdy prosta przechodzi przez punkt, po prostu podstaw jego współrzędne do wzoru i rozwiąż równanie na parametr. ## Ile zadań z funkcji liniowej jest w bazie W bazie CKE dział funkcja liniowa to kilkadziesiąt zadań z arkuszy z lat 2010-2025 oraz zbiorów treningowych CKE. Rozkład typów wygląda mniej więcej tak: | Typ zadania | Jak często | Trudność | |---|---|---| | Monotoniczność i parametr | Bardzo często | Łatwa | | Wzór prostej (dwa punkty lub punkt i a) | Często | Łatwa/średnia | | Miejsce zerowe i przecięcia z osiami | Często | Łatwa | | Proste równoległe i prostopadłe | Regularnie | Średnia | | Kąt nachylenia | Rzadziej | Średnia | | Model liniowy z treścią | Rzadziej | Średnia | Wniosek jest prosty: większość zadań z tego działu to pewne, łatwe punkty. Dlatego funkcja liniowa powinna być jednym z pierwszych działów, które domykasz przygotowując się do matury. ## Częsty błąd z arkuszy CKE W zadaniach zamkniętych CKE ulubioną pułapką jest zamiana warunków dla prostych. Uczeń pod presją czasu zaznacza równoległość zamiast prostopadłości. Zapamiętaj obraz: równoległe to te same schody (równe \(a\)), prostopadłe to obrót o dziewięćdziesiąt stopni (iloczyn \(a\) równy minus jeden). Druga pułapka to znak przy odczycie \(a\) z wykresu - gdy prosta opada, współczynnik jest ujemny. ## Jak funkcja liniowa łączy się z innymi działami Ten dział to fundament pod geometrię analityczną, bo równanie prostej, odległości i wzajemne położenie prostych bazują dokładnie na tych samych wzorach. Współczynnik kierunkowy wraca przy stycznych i przy kącie nachylenia. Dlatego dobrze opanowana funkcja liniowa ułatwia potem całą geometrię na płaszczyźnie. Jeśli chcesz uczyć się systemowo, po tym dziale przejdź do [zadań CKE z geometrii analitycznej](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami). ## Od czego zacząć naukę tego działu Jeśli funkcja liniowa jest dla ciebie świeża, zacznij od teorii w [przewodniku o funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), potem zrób po dwa zadania każdego typu z tej bazy, a na końcu rozwiąż pięć losowych zadań przez [losowe zadanie](/random) bez podpowiedzi. Gdy pięć z pięciu pójdzie samodzielnie, dział masz opanowany i możesz iść dalej. ## Najczęstsze pytania o funkcję liniową Czy funkcja liniowa jest łatwa na maturze? Tak, to jeden z najprostszych działów - większość zadań opiera się na kilku wzorach i daje pewne punkty. Warto opanować go jako jeden z pierwszych. Ile zadań z tego działu wystarczy przerobić? Zrób po dwa, trzy zadania każdego typu z tej bazy, a potem sprawdź się na losowych zestawach. Gdzie znaleźć więcej zadań otwartych? W [arkuszach CKE](/exams) i przez [losowe zadanie](/random), a metodę nauki na rozwiązaniach opisaliśmy w [zadaniach maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo). ## Podsumowanie - co musisz umieć - Rozpoznać monotoniczność po znaku \(a\) i rozwiązać zadanie z parametrem. - Wyznaczyć wzór prostej przez dwa punkty oraz z jednego punktu i współczynnika. - Policzyć miejsce zerowe ze wzoru \(x_0 = -\frac{b}{a}\). - Zastosować warunki \(a_1 = a_2\) i \(a_1 \cdot a_2 = -1\). - Powiązać współczynnik kierunkowy z kątem nachylenia \(a = \tan\alpha\). Opanuj te pięć rzeczy, a funkcja liniowa będzie na maturze pewnym źródłem punktów. Zacznij od [działu funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)