---
route: /zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z ciągów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: 218 zadań CKE z ciągów z rozwiązaniami krok po kroku. Wzory na ciąg arytmetyczny i geometryczny, typy zadań i rozwiązane przykłady maturalne CKE.
type: strategy
category: Ciągi
tags: zadania CKE ciągi, ciągi zadania maturalne, zadania maturalne z ciągów z rozwiązaniami, baza zadań CKE z rozwiązaniami, ciąg arytmetyczny zadania matura, ciąg geometryczny zadania CKE, suma ciągu zadania matura, zadania maturalne CKE wg działów, ciągi matura krok po kroku, zadania z ciągów online
published: 2026-06-22T11:14:05.297438+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:23.630468+00:00
---
# Zadania CKE z ciągów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
Ciągi to jeden z najpewniejszych działów na maturze z matematyki - schematyczny, przewidywalny i hojny w punkty. W naszej bazie znajdziesz 218 zadań z ciągów pochodzących z prawdziwych arkuszy CKE: od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i diagnostyczne. Każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają i prowadzi przez kilka rozwiązanych przykładów CKE.

## Ile ciągów jest na maturze

Ciągi pojawiają się na praktycznie każdej maturze podstawowej - zwykle jako 1-3 zadania zamknięte i często jedno zadanie otwarte. To realnie od 3 do 6 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) to są punkty, których po prostu nie wolno oddawać.

Dobra wiadomość jest taka, że ten dział jest mało zmienny. Zadania sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów: wyznaczanie wyrazu ciągu, obliczanie sumy, wyznaczanie pierwszego wyrazu i różnicy lub ilorazu z warunków, sprawdzanie, czy liczby tworzą ciąg. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, rozwiążesz prawie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię znajdziesz w przewodniku [ciągi na maturze](/topics/ciagi) oraz w tekście [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

## Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet wzorów. Wszystkie są w [karcie wzorów CKE](/formulas), ale warto mieć je w głowie, bo oszczędzają czas.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i różnicy \(r\):

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\):

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dla \(q\neq 1\):

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Warunek na to, że trzy kolejne wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny (środkowy jest średnią sąsiadów):

$$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$$

Warunek na ciąg geometryczny (kwadrat środkowego to iloczyn sąsiadów):

$$a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}$$

Każdy z tych wątków ma u nas osobny poradnik z zadaniami: [ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania), [suma ciągu arytmetycznego i geometrycznego](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego) oraz [ciąg rekurencyjny](/ciag-rekurencyjny-matura-wzor-ogolny-jak-obliczyc-wyrazy).

## Baza zadań CKE według typu

Zadania z ciągów dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-4 punkty, pełne rozwiązanie). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

| Typ zadania | Forma | Co sprawdza | Gdzie ćwiczyć |
| --- | --- | --- | --- |
| Wyraz ciągu arytmetycznego | zamknięte i otwarte | wzór na \(a_n\) | [/random](/random) |
| Suma ciągu arytmetycznego | otwarte | wzór na \(S_n\) | [/solve](/solve) |
| Wyznaczanie \(a_1\) i \(r\) z warunków | otwarte | układ z dwóch równań | [/topics/ciagi](/topics/ciagi) |
| Wyraz i suma ciągu geometrycznego | zamknięte i otwarte | wzory na \(a_n\) i \(S_n\) | [/solve](/solve) |
| Liczby tworzące ciąg | zamknięte i otwarte | warunek arytmetyczny lub geometryczny | [/random](/random) |
| Ciąg rekurencyjny | zamknięte | obliczanie kolejnych wyrazów | [/exams](/exams) |

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy [CKE 2015-2023](/exams) oraz z najnowszych arkuszy pokazowych [CKE 2025](/exams). Wszystkie rozwiążesz w [trybie nauki](/random), gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

## Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć zadań z ciągów w stylu CKE, każde rozwiązane od początku do końca. Ten sam zestaw schematów znajdziesz w setkach zadań w bazie.

### Zadanie 1

W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz to \(a_1=5\), a różnica \(r=3\). Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu.

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz: \(a_n=a_1+(n-1)r\). Podstawiamy \(n=20\):

$$a_{20}=5+(20-1)\cdot 3=5+19\cdot 3=5+57=62$$

Dwudziesty wyraz wynosi \(62\).

### Zadanie 2

W ciągu arytmetycznym \(a_3=11\) oraz \(a_7=27\). Wyznacz pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\).

Zapisujemy oba wyrazy wzorem ogólnym: \(a_3=a_1+2r\) i \(a_7=a_1+6r\). Odejmujemy równania stronami:

$$a_7-a_3=4r=27-11=16$$

Stąd \(r=4\). Wracamy do \(a_3=a_1+2r=11\), czyli \(a_1+8=11\), więc \(a_1=3\). Pierwszy wyraz to \(3\), różnica \(4\).

### Zadanie 3

Oblicz sumę trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \(a_1=4\) i \(r=2\).

Najpierw trzydziesty wyraz: \(a_{30}=4+(30-1)\cdot 2=4+58=62\). Teraz suma:

$$S_{30}=\frac{a_1+a_{30}}{2}\cdot 30=\frac{4+62}{2}\cdot 30=33\cdot 30=990$$

Suma wynosi \(990\).

### Zadanie 4

W ciągu geometrycznym \(a_1=3\), a iloraz \(q=2\). Oblicz szósty wyraz.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\). Podstawiamy \(n=6\):

$$a_6=3\cdot 2^{5}=3\cdot 32=96$$

Szósty wyraz to \(96\).

### Zadanie 5

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym \(a_1=2\) i \(q=3\).

Korzystamy ze wzoru na sumę dla \(q\neq 1\):

$$S_5=a_1\cdot\frac{1-q^5}{1-q}=2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=2\cdot\frac{1-243}{-2}=2\cdot\frac{-242}{-2}=2\cdot 121=242$$

Dla pewności sprawdzamy bezpośrednio: \(2+6+18+54+162=242\). Wynik się zgadza.

### Zadanie 6

Liczby \(2\), \(x\), \(18\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, przy czym \(x>0\). Wyznacz \(x\).

Korzystamy z warunku geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów.

$$x^2=2\cdot 18=36$$

Stąd \(x=6\) lub \(x=-6\). Ponieważ \(x>0\), bierzemy \(x=6\). Sprawdzenie: ciąg \(2, 6, 18\) ma iloraz \(q=3\), więc warunek jest spełniony.

## Najczęstsze typy zadań i pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że pułapki się powtarzają. Oto te, które najczęściej kosztują punkty.

Pułapka pierwsza: indeks \(n-1\) we wzorze na wyraz. W ciągu arytmetycznym \(a_n=a_1+(n-1)r\), a nie \(a_1+nr\). Przy dwudziestym wyrazie mnożysz różnicę przez \(19\), a nie przez \(20\). To najczęstszy błąd w całym dziale.

Pułapka druga: mylenie wzorów ciągu arytmetycznego z geometrycznym. W arytmetycznym dodajesz różnicę, w geometrycznym mnożysz przez iloraz. Zanim zaczniesz liczyć, ustal, z jakim ciągiem masz do czynienia.

Pułapka trzecia: dwa rozwiązania w warunku geometrycznym. Z równania \(x^2=36\) wychodzi \(x=6\) oraz \(x=-6\). Jeśli zadanie nie ogranicza znaku, podaj oba. Pominięcie jednego to utrata punktów.

Pułapka czwarta: wzór na sumę geometryczną działa tylko dla \(q\neq 1\). Gdy \(q=1\), wszystkie wyrazy są równe i suma to po prostu \(S_n=n\cdot a_1\). Podstawianie do ułamka z zerem w mianowniku to klasyczny błąd. Więcej o takich potknięciach w poradniku [błędy rachunkowe na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

Pułapka piąta: liczenie wyrazu zamiast sumy albo na odwrót. Czytaj polecenie do samego końca. Czasem zadanie pyta o konkretny wyraz ciągu, a czasem o sumę kilku początkowych wyrazów. To dwa różne wzory i pod presją czasu bardzo łatwo je pomylić, tracąc punkty za dobrze rozpoczęte rozwiązanie.

## Jak czytać rozwiązanie krok po kroku

Samo zerknięcie na odpowiedź nic nie daje. Zysk pojawia się dopiero wtedy, gdy rozumiesz każdy krok. Dlatego rozwiązania w bazie nie podają samego wyniku - prowadzą cię przez całą drogę: od tego, co jest dane, przez wybór wzoru, aż po obliczenia.

Czytaj rozwiązanie aktywnie. Po każdym kroku zatrzymaj się i zapytaj: dlaczego akurat ten wzór, dlaczego ta kolejność. W zadaniu 2 powyżej kluczowy był pomysł, żeby odjąć równania stronami i pozbyć się \(a_1\). W zadaniu 6 trik polegał na zastosowaniu warunku geometrycznego zamiast zgadywania. To są schematy, które wracają na maturze.

Najlepszy nawyk to zasłonić rozwiązanie i spróbować dojść do wyniku samemu, odsłaniając kolejne kroki tylko wtedy, gdy naprawdę utkniesz. Jeśli masz własne zadanie, którego nie ma w bazie, wrzuć je do [solvera](/solve) - dostaniesz rozpisane rozwiązanie w tym samym stylu, nawet ze zdjęcia. O sprawdzaniu własnych obliczeń piszemy w poradniku [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Od czego zacząć, jeśli ten dział leży

Jeśli ciągi na razie ci nie idą, zacznij od ciągu arytmetycznego - jest prostszy. Najpierw opanuj sam wzór na n-ty wyraz: podstawiasz dane i masz wynik. Potem dorzuć sumę \(S_n\), bo połowa zadań otwartych z tego działu sprowadza się właśnie do policzenia sumy.

Dopiero potem przejdź do ciągu geometrycznego i do zadań, w których wyznaczasz \(a_1\) oraz \(r\) lub \(q\) z dwóch warunków. Taka kolejność - od zadań jednokrokowych do złożonych - buduje pewność, zamiast od razu zderzać cię ze ścianą. Jeśli braki masz głębsze, sięgnij po [jak uczyć się matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury). Zadania otwarte z sumami i monotonicznością rozpisaliśmy w tekście [ciągi na maturze - suma i monotoniczność](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte).

## Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na ciągi to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od [trybu losowego](/random) z filtrem na ciągi - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić obliczenia, wrzuć je do [solvera](/solve). Kiedy poczujesz, że typy wchodzą automatycznie, rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) albo przejdź przez [symulator matury](/simulator), żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na [stronie statystyk](/progress).

Jeśli uczysz się sam, bez korepetytora, ten dział jest idealny na początek - jest schematyczny i daje pewne punkty. Jak zbudować z darmowych zasobów własny program nauki, opisaliśmy w tekście [kurs maturalny z matematyki online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto-jak-wybrac).

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z ciągów powinienem przerobić?
Zacznij od circa 30 zadań różnych typów - to wystarczy, żeby rozpoznać schematy. Potem dorzucaj zadania z całych arkuszy w ramach powtórek.

### Czy wzory na ciągi są w karcie wzorów?
Tak, wzory na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego znajdziesz w [karcie wzorów CKE](/formulas). Warto je jednak znać na pamięć, bo oszczędzają czas.

### Co jest trudniejsze: ciąg arytmetyczny czy geometryczny?
Arytmetyczny jest prostszy, bo operujesz dodawaniem. W geometrycznym dochodzą potęgi, więc łatwiej o błąd rachunkowy. Zacznij od arytmetycznego.

### Skąd pochodzą zadania w bazie?
Wyłącznie z prawdziwych arkuszy CKE - matur majowych, czerwcowych, sierpniowych poprawkowych oraz arkuszy pokazowych i diagnostycznych. Pełną listę masz na stronie [egzaminów](/exams).

## Podsumowanie - co musisz umieć

Z ciągów na maturze podstawowej musisz pewnie liczyć: n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i geometrycznego, sumę \(S_n\) obu ciągów, wyznaczanie \(a_1\) oraz \(r\) lub \(q\) z warunków, a także sprawdzanie warunku arytmetycznego i geometrycznego. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz 218 zadań CKE z ciągów z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w [trybie nauki](/random) już dziś. A jeśli zastanawiasz się, czy potrzebujesz płatnego kursu, najpierw przeczytaj [kurs maturalny z matematyki online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto-jak-wybrac) i sprawdź, jak daleko zajdziesz za darmo.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)