--- route: /wzory-trojkatow-matura-sinus-cosinus-tangens title: Wzory trygonometryczne na maturze: tożsamości, wzory redukcyjne, twierdzenia i zadania description: Wzory trygonometryczne na maturę w jednym miejscu: jedynka, wzory redukcyjne, sinus i cosinus sumy, kąt podwojony, twierdzenie sinusów i cosinusów. type: topic_guide category: Trygonometria tags: trygonometria, wzory trygonometryczne, matura, sinus, cosinus, tangens author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-04-10T06:00:00+00:00 updated: 2026-10-04T20:38:41.2+00:00 --- # Wzory trygonometryczne na maturze: tożsamości, wzory redukcyjne, twierdzenia i zadania ## Wstęp Trygonometria wraca na maturze z matematyki na obu poziomach: w zadaniach o trójkątach, w planimetrii, w stereometrii i w równaniach. W tym przewodniku zbieramy wzory, które trzeba umieć zastosować: definicje funkcji, jedynkę trygonometryczną, wzory redukcyjne, wzory na sumę i różnicę kątów oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. Każdy pokazujemy na przykładzie, a na końcu rozwiązujemy pięć zadań krok po kroku. ## Definicje funkcji trygonometrycznych Zanim przejdziemy do wzorów, musimy zrozumieć, czym są funkcje trygonometryczne. Definiujemy je na dwa sposoby: za pomocą trójkąta prostokątnego oraz za pomocą koła jednostkowego. ### Definicja w trójkącie prostokątnym Rozważmy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \(\alpha\). Względem tego kąta możemy wyróżnić trzy boki: - **przyprostokątna przyległa** do kąta \(\alpha\) - **przyprostokątna przeciwległa** do kąta \(\alpha\) - **przeciwprostokątna** Funkcje trygonometryczne kąta \(\alpha\) definiujemy następująco: $$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$$ $$\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$$ $$\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ $$\cot \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna przeciwległa}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ ### Definicja na kole jednostkowym Koło jednostkowe to koło o promieniu 1 o środku w punkcie początkowym układu współrzędnych. Każdemu kątowi \(\alpha\) odpowiada punkt \(P = (\cos \alpha, \sin \alpha)\) na tym kole. Ta definicja pozwala nam rozszerzyć funkcje trygonometryczne na wszystkie kąty, nie tylko ostre. ## Wartości dla kątów 30°, 45° i 60° Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90° (oraz dla kątów do 360°) zebraliśmy w interaktywnej [tabeli trygonometrycznej](/wzory/tabela-trygonometryczna). Skąd się biorą i jak ich używać, pokazujemy w poradniku o [wartościach funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). Tu wystarczy sposób, żeby odtworzyć je bez zaglądania do tabeli. ### Mnemonika do zapamiętania wartości Aby zapamiętać wartości sinusa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, możesz użyć następującej sztuczki: **Dla sinusa:** \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\) **Dla cosinusa:** Czytamy wartości sinusa w odwrotnym kierunku: \(\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}\) Ta metoda pozwala szybko odtworzyć tabelę, gdy jej nie pamiętasz dokładnie. ## Jedynka trygonometryczna i podstawowe tożsamości ### Jedynka trygonometryczna Jedna z najważniejszych tożsamości w trygonometrii to **jedynka trygonometryczna**: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ **Dowód:** Weźmy punkt \(P = (x, y)\) na kole jednostkowym odpowiadający kątowi \(\alpha\). Mamy \(x = \cos \alpha\) oraz \(y = \sin \alpha\). Ponieważ punkt leży na kole jednostkowym, spełnia równanie \(x^2 + y^2 = 1\), czyli \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\). ### Podstawowe tożsamości Z jedynki trygonometrycznej wynika szereg innych ważnych tożsamości: $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ $$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ $$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$$ **Przykład:** Jeśli \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym, to: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$ (kąt ostry, więc cosinus dodatni) $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$$ ## Wzory redukcyjne Wzory redukcyjne pozwalają nam sprowadzić funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do funkcji kąta ostrym. Są to wzory niezwykle ważne na maturze. ### Wzory dla kąta \(90° \pm \alpha\) $$\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha$$ $$\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha$$ $$\cos(90° + \alpha) = -\sin \alpha$$ $$\cos(90° - \alpha) = \sin \alpha$$ $$\tan(90° + \alpha) = -\cot \alpha$$ $$\tan(90° - \alpha) = \cot \alpha$$ ### Wzory dla kąta \(180° \pm \alpha\) $$\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha$$ $$\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$$ $$\cos(180° + \alpha) = -\cos \alpha$$ $$\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$$ $$\tan(180° + \alpha) = \tan \alpha$$ $$\tan(180° - \alpha) = -\tan \alpha$$ ### Wzory dla kąta \(360° - \alpha\) $$\sin(360° - \alpha) = -\sin \alpha$$ $$\cos(360° - \alpha) = \cos \alpha$$ $$\tan(360° - \alpha) = -\tan \alpha$$ ### Parzystość i okresowość Sinus i tangens są funkcjami nieparzystymi, a cosinus parzystą: $$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \qquad \cos(-\alpha) = \cos \alpha, \qquad \tan(-\alpha) = -\tan \alpha$$ Sinus i cosinus mają okres \(360°\), czyli \(2\pi\), a tangens \(180°\), czyli \(\pi\). Dlatego \(\sin 390° = \sin(360° + 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\), a \(\tan 225° = \tan(180° + 45°) = 1\). Kąty ujemne i większe od \(360°\) pojawiają się na maturze rozszerzonej. ## Wzory na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów Wzory na sumę i różnicę kątów są niezbędne do rozwiązywania bardziej skomplikowanych zadań z trygonometrii. ### Sinus sumy i różnicy $$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ ### Cosinus sumy i różnicy $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ ### Tangens sumy i różnicy $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$ ### Wzory na funkcje kąta podwojonego Wzory te otrzymujemy, podstawiając \(\beta = \alpha\) do powyższych wzorów: $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$$ $$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$ **Przykład:** Oblicz \(\sin 2\alpha\), jeśli \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym. Wiemy, że \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), więc \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) (jak obliczyliśmy wcześniej). $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$ ### Wzory na połowę kąta i sumę sinusów (poziom rozszerzony) Z \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) i \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\), po podstawieniu \(2\alpha = x\), dostajesz: $$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}, \qquad \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$ Znak pierwiastka wybierasz według ćwiartki, w której leży \(\frac{x}{2}\). Gdy w wyrażeniu stoją dwa sinusy o różnych argumentach, pomaga wzór na sumę: $$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$ ## Twierdzenie sinusów i cosinusów Twierdzenia sinusów i cosinusów pozwalają nam rozwiązywać problemy dotyczące trójkątów, gdy nie są one prostokątne. To niezwykle ważne narzędzia na maturze. ### Twierdzenie sinusów W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta przeciwającego jest równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$ gdzie \(a, b, c\) to boki trójkąta, \(A, B, C\) to kąty przeciwające tym bokom, a \(R\) to promień okręgu opisanego. **Kiedy używać twierdzenia sinusów:** - Znamy jeden bok i dwa kąty (kąt przy danym boku i kąt przeciwny) - Znamy dwa boki i kąt przeciwny do jednego z nich - Szukamy promienia okręgu opisanego ### Twierdzenie cosinusów W dowolnym trójkącie kwadrat boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków minus dwukrotny iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$ **Kiedy używać twierdzenia cosinusów:** - Znamy dwa boki i kąt między nimi (SAS) - Znamy wszystkie trzy boki (SSS) - Szukamy kąta trójkąta ### Porównanie i praktyczne wskazówki Wybór między twierdzeniem sinusów a cosinusów zależy od danych, które posiadasz: | Dane | Twierdzenie | Uwagi | |---|---|---| | Bok, dwa kąty | Sinusów | Najprostszy przypadek dla sinusów | | Dwa boki, kąt między nimi | Cosinusów | Kąt musi być między bokami | | Dwa boki, kąt naprzeciwko jednego | Sinusów lub cosinusów | Wiele rozwiązań lub jedno | | Trzy boki | Cosinusów | Aby znaleźć kąty | ## Przykładowe zadania maturalne z rozwiązaniami Poniżej pięć zadań w stylu maturalnym, na których widać, jak działają wzory z tego przewodnika. ### Zadanie 1. Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych **Treść:** Wiadomo, że \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(\tan \alpha = 2\). Oblicz \(\sin \alpha\) i \(\cos \alpha\). **Rozwiązanie:** Z definicji: \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2\), czyli \(\sin \alpha = 2 \cos \alpha\). Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej: $$(2\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$ $$4\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$5\cos^2 \alpha = 1$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$ $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ (cosinus dodatni dla kąta ostrego) $$\sin \alpha = 2 \cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ **Sprawdzenie:** \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{4 \cdot 5}{25} + \frac{5}{25} = \frac{20 + 5}{25} = 1\) ✓ ### Zadanie 2. Twierdzenie sinusów w praktyce **Treść:** W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 8\) cm, \(\angle A = 60°\), \(\angle B = 45°\). Oblicz długość boku \(b\). **Rozwiązanie:** Stosujemy twierdzenie sinusów: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$ $$\frac{8}{\sin 60°} = \frac{b}{\sin 45°}$$ $$\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$\frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{2b}{\sqrt{2}}$$ $$b = \frac{16 \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$$ cm **Odpowiedź:** \(b = \frac{8\sqrt{6}}{3}\) cm \(\approx 6,53\) cm ### Zadanie 3. Twierdzenie cosinusów **Treść:** Dane są dwa boki trójkąta: \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm, oraz kąt między nimi \(\angle C = 120°\). Oblicz długość trzeciego boku \(c\). **Rozwiązanie:** Stosujemy twierdzenie cosinusów: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$ $$c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120°$$ $$c^2 = 74 - 70 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$c^2 = 74 + 35 = 109$$ $$c = \sqrt{109}$$ cm \(\approx 10,44\) cm **Odpowiedź:** \(c = \sqrt{109}\) cm ### Zadanie 4. Wzory na funkcje kąta podwojonego **Treść:** Oblicz \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\) i \(\tan 2\alpha\), jeśli \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\) i \(\alpha \in (90°, 180°)\). **Rozwiązanie:** Najpierw znajdujemy \(\sin \alpha\) z jedynki trygonometrycznej: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$ (sinus dodatni dla kątów z drugiej ćwiartki) Teraz obliczamy: $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25}$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$$ $$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$$ **Odpowiedź:** \(\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}\), \(\cos 2\alpha = -\frac{7}{25}\), \(\tan 2\alpha = \frac{24}{7}\) ### Zadanie 5. Upraszczanie wyrażenia **Treść:** Uprość wyrażenie \(W = \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}\) dla \(\cos x \neq 1\). **Rozwiązanie:** Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)\), więc: $$W = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x} = 1 + \cos x$$ Skracanie jest dozwolone, bo z założenia \(1 - \cos x \neq 0\). **Odpowiedź:** \(W = 1 + \cos x\) Ten sam chwyt, czyli zamiana \(\sin^2 x\) na \(1 - \cos^2 x\) i rozkład na czynniki, wraca w zadaniach na dowodzenie tożsamości. ## Typowe błędy i pułapki na maturze ### Błąd 1: Zapomnienie o znaku funkcji w różnych ćwiartkach Wiele osób nie pamięta, w której ćwiartce które funkcje są dodatnie. Pomaga skrót ASTC: - **A** (ALL) - Wszystkie dodatnie (ćwiartka I) - **S** (Sine) - Sinus dodatni (ćwiartka II) - **T** (Tangent) - Tangens dodatni (ćwiartka III) - **C** (Cosine) - Cosinus dodatni (ćwiartka IV) ### Błąd 2: Mylenie wzorów redukcyjnych Częstym błędem jest mylenie wzorów dla \(90° \pm \alpha\) z wzorami dla \(180° \pm \alpha\). Zawsze rysuj okrąg jednostkowy lub trójkąt, aby upewnić się, że stosujesz właściwy wzór. ### Błąd 3: Niezauważenie warunku na dziedzinę Pamiętaj, że: - \(\tan \alpha\) jest nieokreślony dla \(\alpha = 90° + k \cdot 180°\) - \(\cot \alpha\) jest nieokreślony dla \(\alpha = k \cdot 180°\) Jeśli zadanie zawiera wyrażenie z tangensem lub cotangensem, musisz wyraźnie wykazać, że mianownik jest różny od zera. ### Błąd 4: Błędy algebraiczne przy przekształcaniu równań trygonometrycznych Podczas rozwiązywania równań typu \(\sin 2\alpha = \sin \alpha\), łatwo zgubić rozwiązania. Zawsze sprawdzaj swoje odpowiedzi, wstawiając je z powrotem do oryginalnego równania. ### Błąd 5: Zaokrąglanie zbyt wcześnie Jeśli zadanie wymaga dokładnej odpowiedzi (a nie przybliżenia), nie zaokrąglaj pośrednich wyników. Pracuj z pierwiastkami i ułamkami całą drogę. ## Podsumowanie i dalsze ćwiczenia Wzory trygonometryczne stanowią fundamentalną część maturalnego kursu matematyki. Kluczowe punkty do zapamiętania: 1. **Definicje funkcji** - zapamiętaj zarówno definicję za pomocą trójkąta prostokątnego, jak i koła jednostkowego 2. **Tabela wartości** - znaj wartości dla kątów \(0°, 30°, 45°, 60°, 90°\) 3. **Jedynka trygonometryczna** - \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) to klucz do wielu zadań 4. **Wzory redukcyjne** - muszą być na końcu języka 5. **Twierdzenia sinusów i cosinusów** - wybieraj je ostrożnie w zależności od dostępnych danych Aby poszerzyć swoją wiedzę i umiejętności, przejdź do naszych materiałów dotyczących [trygonometrii](/topics/trygonometria), gdzie znajdziesz więcej zadań i wyjaśnień. Jeśli chcesz zrozumieć, kiedy stosować twierdzenie sinusów i cosinusów, przeczytaj artykuł [Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - kiedy stosować](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac). Czytaj również o [podstawowych definicjach sinus, cosinus i tangens](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci), aby ugruntować swoją wiedzę. Jeśli pracujesz z [trójkątami o kątach 30-60-90 oraz 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), możesz tam znaleźć szczegółowe informacje o ich właściwościach. Zainteresowany geometrią analityczną? Przejdź do [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna), gdzie trygonometria znajduje praktyczne zastosowanie. Możesz również przejrzeć artykuł o [polach trójkątów](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne), gdzie funkcje trygonometryczne pojawiają się w wielu wzorach. Jeśli chcesz ćwiczyć bez konkretnego tematu, spróbuj naszych [zadań losowych](/random), które obejmują wszystkie działy matematyki maturalnej. Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza. Rozwiąż jak najwięcej zadań, narysuj wykresy funkcji trygonometrycznych i nie bój się eksperymentować ze wzorami. Powodzenia na maturze! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)