--- route: /wzory-na-sinus-i-cosinus-sumy-i-roznicy-katow-matura-rozszerzona title: Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej description: Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, podwojony kąt i zamiana sumy na iloczyn. Sześć zadań z arkuszy rozszerzonych CKE rozwiązanych krok po kroku. type: task_solution category: Trygonometria tags: sinus sumy kątów wzór, cosinus sumy kątów wzór, sinus różnicy kątów, cosinus różnicy kątów, wzory na podwojony kąt, sinus podwojonego kąta, cosinus podwojonego kąta, suma sinusów na iloczyn, równania trygonometryczne matura rozszerzona, trygonometria matura rozszerzona zadania, sinus 75 stopni jak obliczyć, wzory trygonometryczne rozszerzenie published: 2026-09-14T07:09:17.676+00:00 updated: 2026-09-14T07:12:01.699745+00:00 --- # Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej Sinus sumy kątów to \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\), a cosinus sumy to \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\). Dla różnicy kątów zmieniasz znak w środku: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\) i \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\). Z tych czterech wzorów wynikają wzory na podwojony kąt, \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) i \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), oraz wzory zamieniające sumę sinusów na iloczyn. To zakres [matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona): na podstawie ich nie ma, a na rozszerzeniu wracają w prawie każdym równaniu trygonometrycznym za 4 punkty. W arkuszach rozszerzonych te wzory rzadko występują jako osobne pytanie. Częściej są narzędziem: zadanie każe rozwiązać równanie z \(\sin(x - \frac{\pi}{4})\), obliczyć \(\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ\) albo udowodnić nierówność z iloczynem sinusa i cosinusa, a cała trudność polega na tym, żeby rozpoznać, który wzór rozbija wyrażenie na coś, co już umiesz. W tym wpisie porządkujemy cztery wzory bazowe, wyprowadzamy z nich resztę i rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z arkuszy CKE, od jednopunktowych po pięciopunktowe. ## Cztery wzory bazowe i jak je zapamiętać Sinus sumy i różnicy ma w środku iloczyny mieszane, sinus razy cosinus, a znak między nimi jest taki sam jak znak w nawiasie. Cosinus sumy i różnicy ma iloczyny jednorodne, cosinus razy cosinus i sinus razy sinus, a znak między nimi jest przeciwny do znaku w nawiasie. Ta jedna obserwacja zastępuje wkuwanie czterech wzorów na pamięć. $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$ Znak \(\mp\) w drugim wzorze czytasz "na odwrót": dla sumy jest minus, dla różnicy plus. Sprawdź to na kącie zerowym: \(\cos(\alpha - \alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\), czyli dokładnie [jedynka trygonometryczna](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura), a \(\cos 0 = 1\) się zgadza. Gdybyś pomylił znak, dostałbyś \(\cos 2\alpha\) zamiast jedynki. Wzory działają dla dowolnych kątów, także ujemnych i większych od \(180^\circ\), więc nie musisz wcześniej sprowadzać kąta do pierwszej ćwiartki. To odróżnia je od [wzorów redukcyjnych](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania), które są ich szczególnym przypadkiem: \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin 180^\circ \cos\alpha - \cos 180^\circ \sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha - (-1)\sin\alpha = \sin\alpha\). ## Podwojony kąt Wzory na podwojony kąt to wzory na sumę z \(\beta = \alpha\). Sinus daje jeden wzór, cosinus daje trzy postacie tego samego wzoru i na maturze potrzebujesz wszystkich trzech. $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$ Drugą i trzecią postać dostajesz z pierwszej, podstawiając za \(\sin^2\alpha\) albo za \(\cos^2\alpha\) z jedynki trygonometrycznej. Którą wybrać w zadaniu? Tę, która zostawia w równaniu jedną funkcję. Jeśli obok \(\cos 2x\) stoi \(\cos x\), bierzesz \(2\cos^2 x - 1\); jeśli stoi \(\sin x\), bierzesz \(1 - 2\sin^2 x\). Po podstawieniu masz równanie kwadratowe z niewiadomą \(\cos x\) albo \(\sin x\) i dalej liczysz jak na podstawie, według metod z wpisu o [rozwiązywaniu równań trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura). Wzór na \(\sin 2\alpha\) czytaj też w drugą stronę: iloczyn \(\sin x \cos x\) to \(\frac{1}{2}\sin 2x\). W ten sposób znika połowa trudności w zadaniach z iloczynem sinusa i cosinusa tego samego argumentu. ## Suma sinusów zamieniona na iloczyn Równanie w rodzaju \(\sin x + \sin 3x = 0\) nie rozłoży się na czynniki bez wzoru zamieniającego sumę na iloczyn: $$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$ $$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$ $$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$ $$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$ Wszystkie cztery wynikają z dodania albo odjęcia stronami wzorów na sumę i różnicę kątów. Na przykład \(\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2\sin a\cos b\); podstawiasz \(a + b = \alpha\), \(a - b = \beta\), czyli \(a = \frac{\alpha + \beta}{2}\) i \(b = \frac{\alpha - \beta}{2}\), i masz pierwszy wzór. Ta sama sztuczka czytana od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę, co przydaje się w dowodach nierówności. Wartości sinusa i cosinusa dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\), które podstawiasz do tych wzorów, masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela), a ich pełny zestaw na obu poziomach w [zbiorze wzorów trygonometrycznych](/wzory-trygonometryczne-matura-tabela-wartosci). Interaktywny kalkulator: tabela-trygonometryczna (dostępny na stronie wpisu) ## Wzory Sinus sumy kątów: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ Sinus różnicy kątów: $$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$ Cosinus sumy kątów: $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ Cosinus różnicy kątów: $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$ Sinus podwojonego kąta: $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ Cosinus podwojonego kąta: $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$ Suma sinusów jako iloczyn: $$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$ Suma cosinusów jako iloczyn: $$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$ ## Przykład 1: Cosinus podwojonego kąta w zadaniu zamkniętym (matura maj 2019, zadanie 2) **Treść:** Liczba \(\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ\) jest równa: - A) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) - B) \(-\frac{1}{2}\) - C) \(\frac{1}{2}\) - D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) **Krok 1: Rozpoznaj wzór.** Różnica kwadratów cosinusa i sinusa tego samego kąta to cosinus podwojonego kąta. $$\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ = \cos 210^\circ$$ **Krok 2: Zredukuj kąt.** Kąt \(210^\circ\) to \(180^\circ + 30^\circ\), a w trzeciej ćwiartce cosinus jest ujemny. $$\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ **Odpowiedź: A.** Liczenie \(\cos 105^\circ\) osobno ze wzoru na cosinus sumy \(60^\circ + 45^\circ\) też się uda, ale zajmie pięć razy więcej czasu za ten sam jeden punkt. ## Przykład 2: Sinus różnicy z cosinusem w trzeciej ćwiartce (matura maj 2022, zadanie 3) **Treść:** Jeżeli \(\cos\beta = -\frac{1}{3}\) i \(\beta \in \left(\pi, \frac{3}{2}\pi\right)\), to wartość wyrażenia \(\sin\left(\beta - \frac{1}{3}\pi\right)\) jest równa: - A) \(\frac{-2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}\) - B) \(\frac{2\sqrt{6} + 1}{6}\) - C) \(\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}\) - D) \(\frac{1 - 2\sqrt{6}}{6}\) **Krok 1: Wyznacz sinus z jedynki trygonometrycznej.** W trzeciej ćwiartce sinus jest ujemny. $$\sin^2\beta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}, \quad \sin\beta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ **Krok 2: Rozpisz sinus różnicy.** Podstaw \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) i \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). $$\sin\left(\beta - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\beta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\beta\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **Krok 3: Uporządkuj.** Sprowadź do wspólnego mianownika \(6\). $$-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}$$ **Odpowiedź: A.** Odpowiedź C to wynik dla dodatniego sinusa, czyli dla kąta z drugiej ćwiartki. Znak sinusa z ćwiartki rozstrzygasz zanim cokolwiek podstawisz. ## Przykład 3: Podnoszenie do kwadratu i sinus podwojonego kąta (matura czerwiec 2012, zadanie 3) **Treść:** Kąt \(\alpha\) jest taki, że \(\cos\alpha + \sin\alpha = \frac{4}{3}\). Oblicz wartość wyrażenia \(|\cos\alpha - \sin\alpha|\). **Krok 1: Podnieś równość do kwadratu.** Kwadrat sumy ujawnia iloczyn \(\sin\alpha\cos\alpha\), a suma kwadratów to jedynka. $$\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha = \frac{16}{9} \iff 1 + \sin 2\alpha = \frac{16}{9}$$ **Krok 2: Odczytaj sinus podwojonego kąta.** $$\sin 2\alpha = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$$ **Krok 3: Policz kwadrat szukanej różnicy.** Kwadrat różnicy ma ten sam iloczyn ze znakiem minus. $$(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - \sin 2\alpha = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$$ **Krok 4: Pierwiastkuj z wartością bezwzględną.** Nie znasz znaku różnicy, ale zadanie pyta o jej moduł, więc pierwiastek z kwadratu to dokładnie to. $$|\cos\alpha - \sin\alpha| = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$ **Odpowiedź:** \(|\cos\alpha - \sin\alpha| = \frac{\sqrt{2}}{3}\). Sprawdzenie sensu: \(\sin 2\alpha = \frac{7}{9}\) mieści się w przedziale \(\langle -1, 1 \rangle\), więc taki kąt istnieje. ## Przykład 4: Równanie z sinusem różnicy i cosinusem sumy (matura czerwiec 2017, zadanie 11) **Treść:** Rozwiąż równanie \(3\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\) w przedziale \(\langle 0, 2\pi \rangle\). **Krok 1: Rozpisz oba składniki.** Dla \(\frac{\pi}{4}\) sinus i cosinus są równe \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), więc w obu wzorach da się wyłączyć ten czynnik. $$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x), \quad \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$$ **Krok 2: Zauważ, że drugi nawias to minus pierwszy.** Podstaw do równania i zbierz wyrazy. $$3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) = 1 \iff \sqrt{2}(\sin x - \cos x) = 1$$ **Krok 3: Wróć do sinusa różnicy.** Z Kroku 1 wynika, że \(\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\). $$2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \iff \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$ **Krok 4: Rozwiąż równanie elementarne.** Sinus równy \(\frac{1}{2}\) daje argument \(\frac{\pi}{6}\) albo \(\frac{5\pi}{6}\), plus wielokrotności okresu. $$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$ **Krok 5: Wybierz rozwiązania z przedziału.** Dodaj \(\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}\) do obu. $$x = \frac{5\pi}{12} \quad \text{lub} \quad x = \frac{13\pi}{12}$$ **Odpowiedź:** \(x = \frac{5\pi}{12}\) lub \(x = \frac{13\pi}{12}\). Oba leżą w \(\langle 0, 2\pi \rangle\); kolejne, dla \(k = 1\), przekraczają \(2\pi\). ## Przykład 5: Suma trzech sinusów (matura maj 2022, zadanie 11) **Treść:** Rozwiąż równanie \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\). **Krok 1: Sparuj skrajne składniki.** Wzór na sumę sinusów dla \(\alpha = 3x\) i \(\beta = x\) daje w środku \(\sin 2x\), czyli dokładnie to, co stoi w środku równania. $$\sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x + x}{2}\cos\frac{3x - x}{2} = 2\sin 2x\cos x$$ **Krok 2: Wyłącz wspólny czynnik.** $$2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0 \iff \sin 2x\,(2\cos x + 1) = 0$$ **Krok 3: Rozwiąż pierwszy czynnik.** W przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\) argument \(2x\) przebiega \(\langle 0, 2\pi \rangle\). $$\sin 2x = 0 \iff 2x \in \{0, \pi, 2\pi\} \iff x \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi\right\}$$ **Krok 4: Rozwiąż drugi czynnik.** Cosinus równy \(-\frac{1}{2}\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\) ma jedno rozwiązanie. $$\cos x = -\frac{1}{2} \iff x = \frac{2\pi}{3}$$ **Odpowiedź:** \(x \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}\). Parowanie \(\sin x + \sin 2x\) zamiast skrajnych składników też jest poprawne, ale zostawia \(\sin 3x\) bez pary i prowadzi donikąd. ## Przykład 6: Iloczyn sinusa i cosinusa tego samego argumentu (matura próbna CKE marzec 2021, zadanie 7) **Treść:** Rozwiąż równanie \(\sin\left(x + \frac{1}{4}\pi\right) \cdot \cos\left(x + \frac{1}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\). **Krok 1: Zwiń iloczyn do sinusa podwojonego kąta.** Oba czynniki mają ten sam argument, więc \(\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin 2t\). $$\frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \iff \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ **Krok 2: Zastosuj wzór redukcyjny.** Sinus kąta przesuniętego o \(\frac{\pi}{2}\) to cosinus. $$\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ **Krok 3: Rozwiąż równanie elementarne.** Cosinus równy \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) daje argument \(\pm\frac{\pi}{4}\), plus wielokrotności \(2\pi\). $$2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad 2x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$$ **Krok 4: Podziel przez 2.** Okres \(2\pi\) po podzieleniu staje się okresem \(\pi\). $$x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Odpowiedź:** \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\) lub \(x = -\frac{\pi}{8} + k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Zadanie nie podało przedziału, więc odpowiedzią jest ogólny zapis z parametrem \(k\). ## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy rozszerzonych Trzy zadania niżej to ten sam zestaw wzorów w trzech różnych rolach: dowód nierówności, równanie z sumą sinusów o przesuniętych argumentach i równanie, w którym trzeba zobaczyć wspólny czynnik. Treść widzisz od razu, [pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia](/payment/checkout) odsłaniasz pod kartą. W pierwszym zadaniu dodaj stronami wzory na sinus sumy i sinus różnicy: iloczyn \(\sin A\cos B\) zamieni się w połowę sumy \(\sin(A + B) + \sin(A - B)\), a suma argumentów \(\frac{\pi}{12} - \alpha\) i \(\frac{\pi}{12} + \alpha\) to stały kąt \(\frac{\pi}{6}\). Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2018-7 W drugim zadaniu suma sinusów w nawiasie kwadratowym ma argumenty różniące się o stałą, więc wzór na sumę sinusów zostawia po lewej stronie sam \(\sin x\) pomnożony przez liczbę. Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2019-14 W trzecim rozpisz \(\sin 2x\) i \(\cos 2x\) przez sinus i cosinus kąta \(x\), a jedynkę po prawej stronie zamień na \(\sin^2 x + \cos^2 x\). Wszystko zbierze się do iloczynu dwóch nawiasów. Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2015-12 ## Typowe pułapki i błędy **Pułapka:** Rozdzielanie sinusa względem dodawania. \(\sin(\alpha + \beta)\) to NIE jest \(\sin\alpha + \sin\beta\). Sprawdź na \(\alpha = \beta = 45^\circ\): lewa strona to \(\sin 90^\circ = 1\), prawa to \(\sqrt{2}\). Ten błąd kosztuje wszystkie punkty za zadanie, bo psuje równanie w pierwszej linijce. **Pułapka 2:** Znak w cosinusie sumy. W \(\cos(\alpha + \beta)\) między iloczynami stoi minus, choć w nawiasie jest plus. Uczniowie przepisują znak z nawiasu i dostają wzór na cosinus różnicy. Test kąta zerowego z sekcji o wzorach bazowych wykrywa tę pomyłkę w dziesięć sekund. **Pułapka 3:** Znak sinusa albo cosinusa wyznaczonego z jedynki. Jedynka daje kwadrat funkcji, a pierwiastek ma dwa znaki. O tym, który wybrać, decyduje ćwiartka podana w zadaniu, tak jak w Przykładzie 2. Bez tej decyzji trafisz w dystraktor, który CKE przygotował dokładnie na ten błąd. **Pułapka 4:** Zgubienie rozwiązań przy dzieleniu przez funkcję. W równaniu \(\sin 2x\,(2\cos x + 1) = 0\) nie wolno podzielić obu stron przez \(\sin 2x\), bo znikną rozwiązania, dla których ten czynnik jest zerem. Zawsze iloczyn równy zero, nigdy dzielenie przez niewiadomą. **Pułapka 5:** Zły okres po podzieleniu argumentu. Rozwiązanie \(2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) po podzieleniu przez \(2\) daje \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\), a nie \(x = \frac{\pi}{8} + 2k\pi\). Dzielisz cały zapis, razem z okresem. **Wskazówka egzaminacyjna:** W zadaniu otwartym z równaniem trygonometrycznym punkty dostajesz za etapy: doprowadzenie do postaci iloczynowej albo do równania elementarnego, rozwiązanie równania elementarnego i wybór rozwiązań z przedziału. Nawet gdy końcówka się nie uda, zapisany poprawnie pierwszy etap jest punktowany. Zapisz go czytelnie, z nazwą użytego wzoru. **Zapamiętaj:** Sinus sumy miesza funkcje i kopiuje znak, cosinus sumy nie miesza i odwraca znak. Podwojony kąt to suma z równymi składnikami. Suma sinusów o różnych argumentach zamienia się w iloczyn z połową sumy i połową różnicy argumentów. ## Co musisz umieć - Zapisać z pamięci cztery wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, ze sprawdzeniem znaków na kącie zerowym. - Wyprowadzić wzory na podwojony kąt i wybrać właściwą postać \(\cos 2\alpha\) do równania. - Rozpoznać w wyrażeniu gotowy wzór: różnicę kwadratów jako \(\cos 2\alpha\), iloczyn sinusa i cosinusa jako \(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\). - Zamienić sumę dwóch sinusów albo cosinusów na iloczyn i wyłączyć wspólny czynnik. - Wyznaczyć brakującą funkcję z jedynki trygonometrycznej z poprawnym znakiem z ćwiartki. - Doprowadzić równanie do postaci iloczynowej i wybrać rozwiązania z podanego przedziału. - Zapisać rozwiązanie ogólne z parametrem całkowitym i poprawnym okresem po podzieleniu argumentu. ## Poćwicz na zadaniach z bazy Zadania z arkuszy rozszerzonych CKE, w których wzory na podwojony kąt i sumę kątów są kluczem do rozwiązania. Każde otwiera się na własnej stronie, a cały dział przejrzysz na stronie [trygonometrii](/topics/trygonometria) i w [zbiorze zadań CKE z trygonometrii](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami). Pełną listę działów rozszerzenia z liczbą zadań w każdym znajdziesz we wpisie o [wymaganiach matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Następny krok: Losuj kolejne zadanie z trygonometrii (/losuj) ## Najczęstsze pytania o wzory na sinus i cosinus sumy kątów ### Jaki jest wzór na sinus sumy kątów? \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\). Dla różnicy kątów zmienia się tylko znak w środku: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\). Sinus sumy zawsze miesza funkcje, sinus jednego kąta razy cosinus drugiego. ### Jaki jest wzór na cosinus sumy kątów? \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\), a dla różnicy \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\). Znak między iloczynami jest przeciwny do znaku w nawiasie i to jest najczęstsze miejsce pomyłki. ### Czy wzory na sinus i cosinus sumy są na maturze podstawowej? Nie. Na poziomie podstawowym pracujesz z jedynką trygonometryczną, wzorami redukcyjnymi i wartościami dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\). Sumy i różnice kątów, podwojony kąt i zamiana sumy na iloczyn to zakres poziomu rozszerzonego. ### Jak wyprowadzić wzór na cosinus podwojonego kąta? Do wzoru \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\) podstaw \(\beta = \alpha\): \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\). Postacie \(2\cos^2\alpha - 1\) i \(1 - 2\sin^2\alpha\) dostajesz, zastępując \(\sin^2\alpha\) przez \(1 - \cos^2\alpha\) albo \(\cos^2\alpha\) przez \(1 - \sin^2\alpha\). ### Jak zamienić sumę sinusów na iloczyn? \(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\). Wzór bierze się z dodania stronami sinusa sumy i sinusa różnicy. W równaniach typu \(\sin x + \sin 3x = 0\) daje od razu postać iloczynową: \(2\sin 2x\cos x = 0\). ### Jak obliczyć sinus 75 stopni bez kalkulatora? Rozbij \(75^\circ\) na \(45^\circ + 30^\circ\) i użyj sinusa sumy: \(\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\). Tak samo policzysz \(\cos 15^\circ\), bo \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\).