--- route: /wzory-na-podwojony-kat-sin-2x-cos-2x-zadania-matura title: Wzory na podwojony kąt - sin 2x, cos 2x i tg 2x z zadaniami description: Wzory na podwojony kąt: sin 2x, cos 2x, tg 2x. Wyprowadzenie z sumy kątów, wybór właściwej postaci cosinusa i 9 zadań maturalnych krok po kroku. type: task_solution category: Trygonometria tags: wzory na podwojony kąt, sin 2x wzór, cos 2x wzór, tangens podwojonego kąta, podwojony kąt zadania, tożsamości trygonometryczne matura, równania trygonometryczne z sin 2x, wzory na obniżenie stopnia, trygonometria matura rozszerzona, jedynka trygonometryczna zastosowania author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-08-13T07:22:20.005+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00 --- # Wzory na podwojony kąt - sin 2x, cos 2x i tg 2x z zadaniami Wzory na podwojony kąt zamieniają funkcję kąta \(2\alpha\) na funkcje kąta \(\alpha\): \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) oraz \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}\). Cosinus podwojonego kąta ma dodatkowo dwie równoważne postacie: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\) oraz \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\). To właśnie te dwie ratują większość zadań, bo zostawiają w wyrażeniu tylko jedną funkcję trygonometryczną zamiast dwóch. Niżej znajdziesz wyprowadzenie tych wzorów z sinusa i cosinusa sumy kątów, prostą regułę wyboru właściwej postaci cosinusa, dziewięć rozwiązanych przykładów w stylu maturalnym oraz listę pułapek, na których najczęściej lecą punkty. ## Wzory na podwojony kąt - komplet w jednym miejscu Zapamiętaj trzy wzory główne. Wszystkie działają dla dowolnego kąta \(\alpha\), nie tylko ostrego. $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$ $$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$$ Do kompletu dochodzą dwa wzory pochodne, zwane wzorami na obniżenie stopnia. Wyprowadza się je z cosinusa podwojonego kąta i przydają się wszędzie tam, gdzie chcesz pozbyć się kwadratu: $$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$ Wzory na podwojony kąt działają też w drugą stronę. Jeśli w zadaniu widzisz \(2\sin\alpha\cos\alpha\), to jest \(\sin 2\alpha\), i często właśnie ten kierunek skraca rachunki o połowę. ## Skąd biorą się wzory na podwojony kąt Wzory na podwojony kąt to zwykłe wzory na sinus i cosinus sumy kątów, w których zamiast \(\beta\) wstawisz \(\alpha\). Nie musisz ich kuć osobno: jeśli pamiętasz sumę kątów, wyprowadzisz podwojony kąt w piętnaście sekund na brudnopisie. To najtańszy sposób, żeby nie zgubić wzoru pod presją czasu. Startujesz od dwóch tożsamości: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ Podstawiasz \(\beta = \alpha\), bo \(2\alpha = \alpha + \alpha\): $$\sin 2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$ Dwie pozostałe postacie cosinusa dostajesz z [jedynki trygonometrycznej](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura), czyli z zależności \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\): - za \(\sin^2\alpha\) wstawiasz \(1 - \cos^2\alpha\) i wychodzi \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1\), - za \(\cos^2\alpha\) wstawiasz \(1 - \sin^2\alpha\) i wychodzi \(\cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\). Tangens podwojonego kąta wyprowadzisz identycznie ze wzoru na tangens sumy albo dzieląc \(\sin 2\alpha\) przez \(\cos 2\alpha\) i skracając przez \(\cos^2\alpha\). ## Którą postać cosinusa podwojonego kąta wybrać Wybieraj tę postać, która zostawi w wyrażeniu tylko funkcję, którą znasz z treści zadania. To jedna decyzja, która najczęściej odróżnia rozwiązanie na trzy linijki od rozwiązania na pół strony. Reguła jest banalna: - **Znasz \(\sin\alpha\):** użyj \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\). - **Znasz \(\cos\alpha\):** użyj \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\). - **Znasz obie funkcje albo dowodzisz tożsamości:** zostań przy \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), bo jest najbardziej symetryczna. - **W mianowniku masz \(1 + \cos 2\alpha\):** wstaw \(2\cos^2\alpha - 1\), bo jedynki się skrócą. - **W mianowniku masz \(1 - \cos 2\alpha\):** wstaw \(1 - 2\sin^2\alpha\), z tego samego powodu. ## Przykład 1: sinus i cosinus podwojonego kąta z danego sinusa Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Oblicz \(\sin 2\alpha\) oraz \(\cos 2\alpha\). **Krok 1: wyznacz brakującą funkcję z jedynki trygonometrycznej.** Z \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) mamy \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\), więc \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\). Bierzemy wartość dodatnią, bo kąt jest ostry. **Krok 2: podstaw do wzoru na sinus podwojonego kąta.** $$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$ **Krok 3: wybierz wygodną postać cosinusa.** Znasz \(\sin\alpha\), więc bierzesz \(1 - 2\sin^2\alpha\): $$\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$$ **Krok 4: sprawdź wynik jedynką dla kąta \(2\alpha\).** \(\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{576 + 49}{625} = 1\). Zgadza się, więc rachunki są dobre. Ten test zajmuje dziesięć sekund i wyłapuje większość błędów rachunkowych. ## Przykład 2: podwojony kąt, gdy kąt jest rozwarty Dany jest kąt \(\alpha\) taki, że \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) oraz \(90^\circ 1\), to \(\alpha\) jest większy od \(45^\circ\), więc \(2\alpha\) przekracza \(90^\circ\). Wszystko się zgadza. ## Przykład 7: dowód tożsamości \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha\) Wykaż, że dla każdego kąta \(\alpha\) zachodzi \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha\). **Krok 1: rozpoznaj różnicę kwadratów.** \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2\), a to jest \(a^2 - b^2\) z [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania). **Krok 2: rozłóż na czynniki.** $$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$$ **Krok 3: skorzystaj z jedynki trygonometrycznej.** Drugi nawias to dokładnie \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), więc znika z iloczynu. **Krok 4: rozpoznaj wzór na podwojony kąt.** Zostaje \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), czyli z definicji \(\cos 2\alpha\). Tożsamość udowodniona. Zasady zapisu takich dowodów opisaliśmy szerzej w tekście o tym, [jak pisać dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac). ## Gdzie podwojony kąt realnie pojawia się w zadaniach Poza gołym liczeniem \(\sin 2\alpha\) wzory na podwojony kąt wchodzą do gry w trzech miejscach: przy szukaniu największej lub najmniejszej wartości wyrażenia, przy obliczaniu wartości funkcji dla kątów spoza tabeli oraz przy upraszczaniu wyrażeń z kwadratami sinusa i cosinusa. W każdym z tych przypadków chodzi o to samo: zamienić dwie funkcje na jedną, bo jedną funkcję łatwiej ograniczyć i łatwiej rozwiązać. ## Przykład 8: największa wartość wyrażenia \(\sin x \cos x\) Wyznacz najmniejszą i największą wartość wyrażenia \(\sin x \cos x\). **Krok 1: rozpoznaj wzór czytany od prawej do lewej.** \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), więc \(\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\). **Krok 2: skorzystaj ze znanego zakresu sinusa.** Dla każdego kąta zachodzi \(-1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1\). **Krok 3: przemnóż nierówność przez \(\frac{1}{2}\).** $$-\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2}\sin 2x \leqslant \frac{1}{2}$$ **Krok 4: wskaż, kiedy wartości są osiągane.** Największa wartość to \(\frac{1}{2}\) dla \(\sin 2x = 1\), czyli \(x = 45^\circ + k \cdot 180^\circ\), a najmniejsza to \(-\frac{1}{2}\) dla \(x = 135^\circ + k \cdot 180^\circ\). Bez zamiany na \(\sin 2x\) trzeba by badać dwie funkcje naraz, co przy tym zadaniu zwykle kończy się zgadywaniem. Sam wykres i okres funkcji sinus powtórzysz w tekście o [wykresie sinusa i cosinusa](/wykres-funkcji-sinus-cosinus-okres-amplituda-przesuniecia). ## Przykład 9: wartość \(\sin 15^\circ\) ze wzoru na obniżenie stopnia Oblicz dokładną wartość \(\sin 15^\circ\), nie korzystając z kalkulatora. **Krok 1: powiąż kąt z kątem znanym z tabeli.** Podwojony kąt \(15^\circ\) to \(30^\circ\), a \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) znasz z pamięci. **Krok 2: wybierz postać cosinusa z sinusem.** Ze wzoru \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) dla \(\alpha = 15^\circ\) dostajesz \(\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sin^2 15^\circ\). **Krok 3: wyznacz kwadrat sinusa.** $$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$ **Krok 4: wyciągnij pierwiastek i wybierz znak.** Kąt \(15^\circ\) jest ostry, więc sinus jest dodatni i \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\), co po usunięciu pierwiastka wewnętrznego daje znaną postać \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}259\). Ten sam schemat, czyli wzór na podwojony kąt czytany od kąta większego do mniejszego, nazywa się wzorem na połowę kąta. ## Typowe pułapki przy wzorach na podwojony kąt **\(\sin 2\alpha\) to nie jest \(2\sin\alpha\).** Sprawdź na liczbach: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\), a \(2\sin 30^\circ = 1\). Różne wyniki, więc skracanie w ten sposób jest po prostu błędem. Ta sama uwaga dotyczy cosinusa i tangensa. **Dzielenie równania przez funkcję trygonometryczną gubi rozwiązania.** W przykładzie 4 podzielenie przez \(\sin x\) wycina \(x = 0^\circ\) i \(x = 180^\circ\). Zawsze wyłączaj wspólny czynnik przed nawias zamiast dzielić. **Mylenie \(2\cos^2\alpha - 1\) z \(1 - 2\sin^2\alpha\).** Kolejność jest inna, bo cosinus wchodzi z plusem, a sinus z minusem. Jeśli masz wątpliwość, sprawdź wzór dla \(\alpha = 0^\circ\): powinno wyjść \(\cos 0^\circ = 1\). **Zapominanie o ćwiartce przy wyznaczaniu drugiej funkcji.** Z jedynki dostajesz kwadrat, a pierwiastek ma dwa znaki. O znaku decyduje położenie kąta, nie rachunek. **Wzór na \(\operatorname{tg} 2\alpha\) nie zawsze istnieje.** Mianownik zeruje się, gdy \(\operatorname{tg}^2\alpha = 1\), czyli dla \(\alpha = 45^\circ + k \cdot 90^\circ\). Potrzebny jest też sam \(\operatorname{tg}\alpha\), więc \(\cos\alpha \neq 0\). ## Czy wzory na podwojony kąt są potrzebne na maturze podstawowej Na poziomie podstawowym wzory na podwojony kąt nie są ci potrzebne, a na rozszerzeniu są standardowym narzędziem. Sprawdziliśmy to na własnej bazie zadań: wśród 127 zadań z trygonometrii pochodzących z arkuszy podstawowych CKE nie ma ani jednego, którego rozwiązanie wymagałoby \(\sin 2\alpha\) czy \(\cos 2\alpha\). Zadania podstawowe operują jedynką trygonometryczną, wartościami kątów charakterystycznych oraz twierdzeniami sinusów i cosinusów. Ta sama logika działa przy karcie wzorów. W części trygonometrycznej karty dla poziomu podstawowego znajdziesz jedynkę, definicję tangensa, tabelę wartości dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\) oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. Zanim wejdziesz na salę, otwórz [aktualną kartę wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) dla swojego poziomu i sprawdź, które wzory masz podane, a które musisz umieć wyprowadzić. Jeśli zdajesz rozszerzenie, zajrzyj też do zestawienia [wymagań matury rozszerzonej z matematyki](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy), gdzie podwojony kąt pojawia się przy tożsamościach i równaniach. Jeżeli dopiero układasz powtórkę z tego działu, zacznij od [zadań z trygonometrii z rozwiązaniami](/topics/trygonometria), a potem przećwicz [wartości funkcji trygonometrycznych kątów charakterystycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). Bez płynnego liczenia \(\sin 30^\circ\) czy \(\cos 45^\circ\) wzory na podwojony kąt niewiele dadzą. ## Najczęstsze pytania ### Czy \(\sin 2\alpha\) to to samo co \(2\sin\alpha\)? Nie. Funkcje trygonometryczne nie są liniowe, więc mnożnika nie da się wyciągnąć przed sinus. Poprawny wzór to \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), czyli w wyniku pojawia się dodatkowo cosinus. Najszybszy kontrprzykład: dla \(\alpha = 30^\circ\) lewa strona wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), a prawa \(1\). ### Którą z trzech postaci cosinusa podwojonego kąta wybrać w zadaniu? Tę, która zostawi tylko funkcję znaną z treści. Gdy dany jest sinus, bierz \(1 - 2\sin^2\alpha\), gdy cosinus, bierz \(2\cos^2\alpha - 1\), a przy dowodzie tożsamości najwygodniejsza jest postać symetryczna \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\). ### Czy wzory na podwojony kąt obowiązują na maturze podstawowej? Nie są tam wymagane. W bazie 127 zadań z trygonometrii z arkuszy podstawowych żadne nie potrzebuje tych wzorów, a karta wzorów dla podstawy zawiera w tej części jedynkę, tabelę wartości oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. To materiał poziomu rozszerzonego. ### Jak z \(\cos 2\alpha\) wrócić do \(\sin^2\alpha\) albo \(\cos^2\alpha\)? Użyj wzorów na obniżenie stopnia: \(\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\) oraz \(\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\). Wyprowadzisz je w jednej linijce, przekształcając \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) i \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\). ### Kiedy wzór na \(\operatorname{tg} 2\alpha\) nie działa? Wtedy, gdy mianownik \(1 - \operatorname{tg}^2\alpha\) jest zerem, czyli dla \(\alpha = 45^\circ + k \cdot 90^\circ\). Dodatkowo musi istnieć sam \(\operatorname{tg}\alpha\), więc \(\cos\alpha\) nie może być zerem. W takich przypadkach licz osobno \(\sin 2\alpha\) i \(\cos 2\alpha\), a potem podziel jedno przez drugie. ### Czy te wzory działają dla kątów ujemnych i większych niż \(360^\circ\)? Tak. To tożsamości prawdziwe dla każdego kąta rzeczywistego, więc możesz ich używać zarówno dla \(-40^\circ\), jak i dla \(700^\circ\). Zmienia się tylko znak wyniku, zależny od ćwiartki, w której leży kąt. ### Jak szybko sprawdzić, czy dobrze policzyłem \(\sin 2\alpha\) i \(\cos 2\alpha\)? Podstaw wyniki do jedynki trygonometrycznej zapisanej dla kąta \(2\alpha\), czyli sprawdź, czy \(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1\). Jeśli suma nie wychodzi \(1\), gdzieś jest błąd rachunkowy albo zgubiony znak. ### Czy istnieje wzór na potrojony kąt? Tak: \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\) oraz \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\). Na maturze nie są wymagane i pojawiają się rzadko, ale wyprowadzisz je, zapisując \(3\alpha = 2\alpha + \alpha\) i łącząc wzór na sumę kątów ze wzorami na podwojony kąt. ## Checklista: co musisz umieć - Zapisać z pamięci \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) oraz trzy postacie \(\cos 2\alpha\). - Wyprowadzić te wzory z sinusa i cosinusa sumy kątów, gdyby wypadły z głowy. - Dobrać postać cosinusa do danych z zadania, zamiast liczyć na siłę. - Wyznaczyć drugą funkcję z jedynki trygonometrycznej i poprawnie ustalić znak na podstawie ćwiartki. - Rozwiązać równanie z \(\sin 2x\) lub \(\cos 2x\) przez wyłączenie czynnika albo podstawienie \(t = \cos x\). - Zapisać założenia przy upraszczaniu wyrażeń z tangensem i ułamkami. - Sprawdzić wynik jedynką trygonometryczną dla kąta \(2\alpha\). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)