---
route: /wzajemne-polozenie-dwoch-okregow-matura-zadania
title: Wzajemne położenie dwóch okręgów - warunki, wzory i zadania maturalne
description: Wzajemne położenie dwóch okręgów na maturze: kiedy okręgi są styczne zewnętrznie i wewnętrznie, kiedy się przecinają. Warunki, tabela i zadania CKE.
type: task_solution
category: Planimetria
tags: wzajemne położenie dwóch okręgów, okręgi styczne zewnętrznie, okręgi styczne wewnętrznie, okręgi przecinające się, okręgi rozłączne, odległość środków okręgów, wzajemne położenie prostej i okręgu, styczność okręgów zadania, planimetria matura, okręgi zadania maturalne
published: 2026-07-30T07:11:27.465+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:24.823376+00:00
---
# Wzajemne położenie dwóch okręgów - warunki, wzory i zadania maturalne
Wzajemne położenie dwóch okręgów rozstrzygasz jednym porównaniem: zestawiasz odległość \(d\) między środkami okręgów z sumą promieni \(r_1 + r_2\) oraz z wartością bezwzględną ich różnicy \(|r_1 - r_2|\). Okręgi są styczne zewnętrznie, gdy \(d = r_1 + r_2\), styczne wewnętrznie, gdy \(d = |r_1 - r_2| > 0\), przecinają się w dwóch punktach, gdy \(|r_1 - r_2|  r_1 + r_2\) (leżą osobno) albo \(d  r_1 + r_2\) | rozłączne zewnętrznie | 0 |
| \(d = r_1 + r_2\) | styczne zewnętrznie | 1 |
| \(\vert r_1 - r_2 \vert  0\) | styczne wewnętrznie | 1 |
| \(d  r\), prosta i okrąg są rozłączne, gdy \(d = r\), prosta jest styczna do okręgu, a gdy \(d  5\).

**Krok 3: Rozwiąż nierówność \(|r - 3|  5\) i \(r  r_1\), a to nie ma sensu geometrycznego.
- **Promień z równania okręgu.** W równaniu \((x-a)^2 + (y-b)^2 = 9\) promień to \(3\), a nie \(9\). Prawa strona równania to \(r^2\), nie \(r\).
- **Rozłączne nie znaczy daleko od siebie.** Okręgi rozłączne to także przypadek, gdy jeden leży w całości wewnątrz drugiego. W zadaniach z parametrem musisz sprawdzić oba przypadki braku punktów wspólnych.
- **Zapomniany warunek \(r > 0\).** Przy dyskusji z parametrem promień musi być dodatni, więc wynikowy przedział zawsze przetnij z przedziałem \((0, \infty)\).

## Najczęstsze pytania

### Kiedy dwa okręgi są styczne zewnętrznie?
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość ich środków równa się sumie promieni: \(d = r_1 + r_2\). Mają wtedy dokładnie jeden punkt wspólny i leży on na odcinku łączącym środki okręgów.

### Kiedy dwa okręgi są styczne wewnętrznie?
Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, gdy odległość ich środków równa się wartości bezwzględnej różnicy promieni: \(d = |r_1 - r_2|\) i jednocześnie \(d > 0\). Mniejszy okrąg leży wtedy wewnątrz większego i dotyka go w dokładnie jednym punkcie.

### Ile punktów wspólnych mogą mieć dwa okręgi?
Dwa różne okręgi mogą mieć zero punktów wspólnych (rozłączne zewnętrznie albo jeden wewnątrz drugiego), jeden punkt wspólny (styczne zewnętrznie lub wewnętrznie) albo dwa punkty wspólne (przecinające się). Trzech punktów wspólnych mieć nie mogą, bo przez trzy punkty niewspółliniowe przechodzi dokładnie jeden okrąg.

### Czy okręgi współśrodkowe są styczne?
Nie. Okręgi współśrodkowe, czyli o wspólnym środku (\(d = 0\)) i różnych promieniach, nie mają żadnego punktu wspólnego, więc są rozłączne wewnętrznie. Styczność wymaga dokładnie jednego punktu wspólnego.

### Jak określić wzajemne położenie okręgów danych równaniami?
Odczytaj z równań środki i promienie obu okręgów, oblicz odległość środków ze wzoru na odległość dwóch punktów, a następnie porównaj ją z sumą promieni i z modułem ich różnicy. Wynik porównania jednoznacznie wskazuje jedno z pięciu możliwych położeń.

### Czy wzajemne położenie dwóch okręgów pojawia się na maturze podstawowej?
Tak. Rozpoznawanie wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz dwóch okręgów to wymaganie z planimetrii w podstawie programowej. Najczęściej pojawia się jako zadanie zamknięte, w którym podane są promienie i odległość środków. Przećwiczysz je na [zadaniach CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

## Checklista: co musisz umieć

- rozpoznać wszystkie pięć położeń dwóch okręgów po porównaniu \(d\) z \(r_1 + r_2\) i \(|r_1 - r_2|\),
- zapisać warunek styczności zewnętrznej \(d = r_1 + r_2\) i wewnętrznej \(d = |r_1 - r_2|\),
- odczytać środek i promień z równania okręgu i obliczyć odległość środków,
- rozwiązać zadanie z parametrem: dla jakich promieni okręgi przecinają się, są styczne albo rozłączne,
- określić liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu, porównując odległość środka od prostej z promieniem.

Chcesz więcej zadań z okręgów? Zobacz wpis o [kątach wpisanych i środkowych w okręgu](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania) oraz kompletny przewodnik po [planimetrii na maturze](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia), a potem rozwiąż serię zadań z tego działu w naszej bazie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)