---
route: /wyraz-logarytm-za-pomoca-a-i-b-zamiana-podstawy-matura-rozszerzona
title: Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b - zamiana podstawy logarytmu w zadaniach z matury rozszerzonej
description: Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b: wzór na zamianę podstawy, łańcuch logarytmów, dowody typu wykaż i 5 przykładów z matury rozszerzonej krok po kroku.
type: task_solution
category: Logarytmy
tags: wyraź logarytm za pomocą a i b, zamiana podstawy logarytmu, wzór na zamianę podstawy logarytmu, logarytmy matura rozszerzona, wykaż że logarytm jest równy, łańcuch logarytmów, logarytm o podstawie pierwiastek, dowód z logarytmami, iloczyn logarytmów o różnych podstawach, zadania z logarytmów matura rozszerzona
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-10-02T07:19:21.057+00:00
updated: 2026-10-02T07:21:33.441+00:00
---
# Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b - zamiana podstawy logarytmu w zadaniach z matury rozszerzonej
Żeby wyrazić logarytm za pomocą danych liczb \(a\) i \(b\), sprowadzasz wszystkie logarytmy do jednej wspólnej podstawy wzorem na zamianę podstawy \(\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}\), a potem rozkładasz liczby pod logarytmami na czynniki pierwsze i korzystasz z logarytmu iloczynu i potęgi. Wspólną podstawą jest zwykle podstawa logarytmu danego w treści. Na przykład gdy \(a = \log_2 3\), to \(\log_6 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 6} = \frac{2 + a}{1 + a}\). Ten typ zadania regularnie wraca na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona), zarówno jako zadanie zamknięte, jak i jako dowód typu „wykaż, że”.

W arkuszach CKE wyglądało to tak. W [maju 2021](/exams/matura-rozszerzona-maj-2021) (zadanie 6) dany był \(\log_2 18 = c\) i trzeba było wykazać wzór na \(\log_3 4\). W [czerwcu 2022](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2022) (zadanie 1) z danych \(\log_5 2 = a\) i \(\log_5 3 = b\) trzeba było wybrać wartość \(\log_{18} 40\). W [maju 2024](/exams/matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023) (zadanie 5 w formule 2023) dane logarytmy miały różne podstawy: \(\log_5 4 = a\) i \(\log_4 3 = b\). Same własności logarytmów, czyli logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, omawia wpis [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku). Tutaj jest jeden typ zadania: przepisać logarytm na dane litery.

## Wzór na zamianę podstawy i skąd się bierze

Wzór na zamianę podstawy mówi, że logarytm przy dowolnej podstawie \(a\) jest ilorazem dwóch logarytmów przy nowej, wspólnej podstawie \(c\): \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\). Działa dla dodatnich \(a\), \(b\), \(c\), przy czym \(a \ne 1\) i \(c \ne 1\). Nową podstawę wybierasz sam, więc wybierasz taką, w której masz dane.

Wyprowadzenie zajmuje dwie linijki. Niech \(x = \log_a b\). Z definicji logarytmu \(a^x = b\). Logarytmujesz obie strony przy podstawie \(c\) i korzystasz z logarytmu potęgi: \(x \cdot \log_c a = \log_c b\). Dzielisz przez \(\log_c a\), które jest różne od zera, bo \(a \ne 1\), i dostajesz wzór.

Z tego samego wzoru wynikają trzy skróty, które oszczędzają czas:

- odwrotność: \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\), czyli zamiana miejscami podstawy i liczby odwraca logarytm;
- łańcuch: \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\), czyli środkowa liczba się skraca;
- podstawa w postaci potęgi: \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b\), na przykład \(\log_{\sqrt{2}} x = 2\log_2 x\).

## Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b: schemat w czterech krokach

Każde zadanie tego typu rozwiązujesz tym samym schematem. Zmienia się tylko to, ile pracy wymaga krok drugi.

1. **Wybierz wspólną podstawę.** Weź podstawę logarytmu danego w treści. Gdy dane mają różne podstawy, przejdź na jedną z nich i resztę przelicz łańcuchem.
2. **Przygotuj klocki.** Ustal, logarytmy jakich liczb pierwszych są potrzebne, i wyraź je przez dane. Jeśli dany jest logarytm liczby złożonej, na przykład \(\log_3 12\), rozbij go i wylicz z niego logarytm liczby pierwszej.
3. **Zamień podstawę szukanego logarytmu.** Zapisz go jako iloraz dwóch logarytmów przy wspólnej podstawie.
4. **Rozłóż i podstaw.** Rozłóż liczby na czynniki pierwsze, rozbij logarytmy na sumy i wstaw dane.

W zadaniu typu „wykaż” robisz dokładnie to samo, tylko zaczynasz od jednej strony równości i przekształcasz ją, aż dojdziesz do drugiej. Ogólne zasady zapisu dowodu zebrane są we wpisie o [dowodach na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Wzory

Zamiana podstawy logarytmu:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Odwrotność logarytmu:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Łańcuch logarytmów:

$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$$

Podstawa w postaci potęgi:

$$\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$$

Logarytm iloczynu i potęgi:

$$\log_c \left(x^m \cdot y^n\right) = m\log_c x + n\log_c y$$

Wszystkie wzory działają dla dodatnich liczb logarytmowanych i dodatnich podstaw różnych od \(1\). Wykładnik \(k\) musi być różny od zera, a \(m\) i \(n\) mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi, także ujemnymi.

## Przykład 1: Jedna dana, wybór odpowiedzi

**Treść:** Wiadomo, że \(\log_3 2 = a\). Wtedy liczba \(\log_6 24\) jest równa:

- A) \(\frac{3a}{a+1}\)
- B) \(\frac{3a+1}{a+1}\)
- C) \(\frac{a+3}{a+1}\)
- D) \(4a\)

**Krok 1: Wybierz podstawę.** Dana jest przy podstawie \(3\), więc przechodzisz na podstawę \(3\):

$$\log_6 24 = \frac{\log_3 24}{\log_3 6}$$

**Krok 2: Rozłóż liczby.** \(24 = 2^3 \cdot 3\) oraz \(6 = 2 \cdot 3\):

$$\log_3 24 = 3\log_3 2 + \log_3 3 = 3a + 1, \qquad \log_3 6 = \log_3 2 + \log_3 3 = a + 1$$

**Krok 3: Złóż wynik.**

$$\log_6 24 = \frac{3a + 1}{a + 1}$$

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A wychodzi, gdy zapomnisz, że \(\log_3 3 = 1\) w liczniku, a C powstaje, gdy wykładnik \(3\) zostanie dodany do \(a\) zamiast pomnożony przez \(a\).

## Przykład 2: Dwie dane przy tej samej podstawie

**Treść:** Wiadomo, że \(\log_2 3 = a\) i \(\log_2 5 = b\). Wyraź \(\log_{15} 60\) za pomocą \(a\) i \(b\).

**Krok 1: Zamień podstawę na 2.**

$$\log_{15} 60 = \frac{\log_2 60}{\log_2 15}$$

**Krok 2: Rozłóż licznik.** \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\):

$$\log_2 60 = 2 + \log_2 3 + \log_2 5 = 2 + a + b$$

**Krok 3: Rozłóż mianownik.** \(15 = 3 \cdot 5\):

$$\log_2 15 = \log_2 3 + \log_2 5 = a + b$$

**Odpowiedź:** \(\log_{15} 60 = \frac{2 + a + b}{a + b}\). Dwójka w liczniku to \(\log_2 4\), czyli logarytm, który liczysz wprost, bez danych.

## Przykład 3: Dany logarytm liczby złożonej (wykaż, że)

**Treść:** Niech \(\log_3 12 = c\). Wykaż, że \(\log_2 18 = \frac{c + 3}{c - 1}\).

**Krok 1: Wylicz logarytm liczby pierwszej.** Z danej wyciągasz \(\log_3 2\). Ponieważ \(12 = 2^2 \cdot 3\):

$$c = \log_3 12 = 2\log_3 2 + 1 \quad \Rightarrow \quad \log_3 2 = \frac{c - 1}{2}$$

**Krok 2: Zamień podstawę lewej strony na 3.**

$$\log_2 18 = \frac{\log_3 18}{\log_3 2}$$

**Krok 3: Rozłóż licznik.** \(18 = 2 \cdot 3^2\), więc:

$$\log_3 18 = \log_3 2 + 2 = \frac{c - 1}{2} + 2 = \frac{c + 3}{2}$$

**Krok 4: Podziel.**

$$\log_2 18 = \frac{\frac{c + 3}{2}}{\frac{c - 1}{2}} = \frac{c + 3}{c - 1}$$

**Odpowiedź:** lewa strona po przekształceniach jest równa prawej, co kończy dowód. Mianownik \(c - 1\) jest różny od zera, bo \(c = \log_3 12 > \log_3 3 = 1\).

## Przykład 4: Dane przy różnych podstawach

**Treść:** Wiadomo, że \(\log_2 3 = a\) i \(\log_3 5 = b\). Wyraź \(\log 45\) za pomocą \(a\) i \(b\).

**Krok 1: Sprowadź dane do jednej podstawy.** Łańcuch daje logarytm piątki przy podstawie \(2\):

$$\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = ab$$

**Krok 2: Zamień podstawę szukanego logarytmu.** Zapis \(\log 45\) oznacza logarytm dziesiętny, więc:

$$\log 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 10}$$

**Krok 3: Rozłóż obie liczby.** \(45 = 3^2 \cdot 5\) oraz \(10 = 2 \cdot 5\):

$$\log_2 45 = 2a + ab, \qquad \log_2 10 = 1 + ab$$

**Odpowiedź:** \(\log 45 = \frac{2a + ab}{1 + ab}\). Gdyby wspólną podstawą była trójka, wynik wyglądałby inaczej, ale miałby tę samą wartość. Bezpieczniej zostać przy podstawie, w której dana jest liczba \(a\), bo wtedy nie pojawiają się ułamki typu \(\frac{1}{a}\).

## Przykład 5: Iloczyn logarytmów o różnych podstawach

**Treść:** Oblicz wartość wyrażenia \(\log_{\sqrt{5}} 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_4 8\).

**Krok 1: Przepisz każdy czynnik przy podstawie 10.**

$$\log_{\sqrt{5}} 3 = \frac{\log 3}{\frac{1}{2}\log 5} = \frac{2\log 3}{\log 5}, \qquad \log_9 25 = \frac{2\log 5}{2\log 3} = \frac{\log 5}{\log 3}$$

**Krok 2: Ostatni czynnik policz wprost.** \(4 = 2^2\) i \(8 = 2^3\), więc:

$$\log_4 8 = \frac{3\log 2}{2\log 2} = \frac{3}{2}$$

**Krok 3: Pomnóż i skróć.**

$$\frac{2\log 3}{\log 5} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$$

**Odpowiedź:** wartość wyrażenia jest równa \(3\). Ten sam typ iloczynu, w którym logarytmy skracają się parami, pojawia się w zadaniach zamkniętych z arkuszy rozszerzonych.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania typu „wykaż” z arkuszy rozszerzonych CKE. W pierwszym dane logarytmy mają różne podstawy, jak w przykładzie 4. W drugim jedna z danych ma podstawę \(\sqrt{2}\), więc przyda się wzór na podstawę w postaci potęgi. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [abonamencie](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023-5

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2025-2

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Logarytm sumy rozbity na sumę logarytmów. \(\log_2 (3 + 5)\) to \(3\), a nie \(\log_2 3 + \log_2 5\). Na sumę rozbijasz wyłącznie logarytm iloczynu, dlatego najpierw rozkładasz liczby na czynniki pierwsze.

**Pułapka 2:** Odwrócony iloraz. We wzorze na zamianę podstawy dawna podstawa idzie do mianownika: \(\log_6 24 = \frac{\log_3 24}{\log_3 6}\), a nie odwrotnie. Jeśli nie pamiętasz kolejności, sprawdź ją na \(\log_4 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2\).

**Pułapka 3:** Pierwiastek w podstawie. \(\log_{\sqrt{2}} x = 2\log_2 x\), bo \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) i odwrotność \(\frac{1}{2}\) to \(2\). Częsty błąd to pomnożenie przez \(\frac{1}{2}\).

**Pułapka 4:** Zakładanie tezy w dowodzie. W zadaniu „wykaż, że” nie zapisujesz na początku równości, którą masz udowodnić, i nie przekształcasz jej obustronnie. Przekształcasz jedną stronę, aż otrzymasz drugą.

**Wskazówka:** Zanim zaczniesz liczyć, wypisz rozkłady na czynniki pierwsze wszystkich liczb z zadania. Od razu widać, logarytmy których liczb pierwszych są potrzebne i czy dane wystarczą.

## Co musisz umieć

- Zapisać i wyprowadzić wzór na zamianę podstawy logarytmu.
- Wybrać wspólną podstawę, w której dane są logarytmy z treści.
- Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze i rozbić logarytm iloczynu i potęgi na sumę.
- Wyliczyć logarytm liczby pierwszej z danego logarytmu liczby złożonej.
- Sprowadzić dane o różnych podstawach do jednej podstawy łańcuchem logarytmów.
- Zapisać dowód typu „wykaż, że”, przekształcając jedną stronę równości w drugą.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania z logarytmów z arkuszy rozszerzonych: dowody typu „wykaż, że”, zadania, w których wynik wyraża się przez dane litery, i obliczenia, w których logarytmy o różnych podstawach upraszczają się po zamianie podstawy. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [logarytmy](/topics/logarytmy), a zadania z poziomu podstawowego w bazie [zadań CKE z logarytmów](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami). Jeśli potrzebujesz powtórki z definicji i własności, zacznij od wpisu [logarytmy na maturze: wzory i własności](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

Następny krok: Wszystkie działy matury rozszerzonej (/matura-rozszerzona)

## Najczęstsze pytania

### Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b?

Przejdź wzorem na zamianę podstawy na podstawę danych logarytmów, rozłóż liczby pod logarytmami na czynniki pierwsze i rozbij logarytmy na sumy. Każdy logarytm liczby pierwszej zastąp daną literą. Gdy \(\log_2 3 = a\) i \(\log_2 5 = b\), to \(\log_{15} 60 = \frac{2 + a + b}{a + b}\).

### Jaki jest wzór na zamianę podstawy logarytmu?

\(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\) dla dodatnich \(a\), \(b\), \(c\), przy czym \(a \ne 1\) i \(c \ne 1\). Nową podstawę \(c\) wybierasz dowolnie, najwygodniej taką, w której masz dane albo w której liczby są potęgami.

### Jaką podstawę wybrać przy zamianie?

Podstawę logarytmu danego w treści. Wtedy dane wstawiasz bez przeliczania. Jeśli dane mają różne podstawy, wybierz jedną z nich i drugą daną przelicz łańcuchem \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\).

### Co zrobić, gdy dany jest logarytm liczby złożonej, na przykład log₃ 12?

Rozłóż ją na czynniki i wylicz z równania logarytm liczby pierwszej. Z \(\log_3 12 = c\) i \(12 = 2^2 \cdot 3\) dostajesz \(c = 2\log_3 2 + 1\), czyli \(\log_3 2 = \frac{c - 1}{2}\). Dalej postępujesz jak w zwykłym zadaniu z jedną daną.

### Jak zapisać rozwiązanie zadania „wykaż, że” z logarytmami?

Zacznij od strony bardziej skomplikowanej, zwykle od samego logarytmu, i przekształcaj ją aż do drugiej strony. Każde przejście uzasadnij wzorem, a na końcu napisz wprost, że otrzymałeś prawą stronę. Nie przekształcaj obustronnie tezy, której masz dowieść.

### Czy takie zadania są na maturze podstawowej?

Zadania z arkuszy, które cytuje ten wpis, pochodzą z poziomu rozszerzonego. Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi przy jednej podstawie omawia wpis [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku), a pełny zakres rozszerzenia opisuje wpis o [wymaganiach na maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).