---
route: /wykres-funkcji-sinus-cosinus-okres-amplituda-przesuniecia
title: Wykres funkcji sinus i cosinus - okres, amplituda, przesunięcia
description: Jak amplituda, okres i przesunięcia zmieniają wykres sinusa i cosinusa. Wzory, cztery przykłady krok po kroku, materiał do matury rozszerzonej.
type: task_solution
category: Trygonometria
tags: wykres funkcji sinus, wykres funkcji cosinus, amplituda funkcji trygonometrycznej, okres funkcji trygonometrycznej, przekształcenia wykresów trygonometria, matura rozszerzona trygonometria, przesunięcie wykresu sinusa, funkcje trygonometryczne wzory, wzór funkcji z wykresu, trygonometria zadania maturalne
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-11T07:12:11.428+00:00
updated: 2026-08-11T07:12:11.428+00:00
---
# Wykres funkcji sinus i cosinus - okres, amplituda, przesunięcia
Wykres funkcji sinus i cosinus to falująca krzywa, która powtarza się co \(2\pi\) (to jej okres) i przyjmuje wartości od -1 do 1 (to jej amplituda). Gdy funkcję przekształcasz do postaci \(f(x) = A \sin(\omega(x - x_0)) + B\), liczba \(|A|\) zmienia amplitudę, \(\omega\) zmienia okres na \(T = 2\pi / |\omega|\), a \(x_0\) i \(B\) przesuwają wykres w poziomie i w pionie. To jeden z tematów, które na maturze rozszerzonej pojawiają się razem z odczytywaniem wzoru funkcji z opisu wykresu.

W tym artykule rysujemy krok po kroku, jak podstawowy wykres sinusa i cosinusa zmienia się pod wpływem każdego z tych czterech parametrów, i przechodzimy przez cztery pełne przykłady, w tym zadanie odwrotne - odczytanie wzoru funkcji z danych o wykresie.

## Podstawowy wykres funkcji sinus i cosinus

Funkcje \(y = \sin x\) oraz \(y = \cos x\) mają dziedzinę \(\mathbb{R}\) i zbiór wartości \([-1, 1]\). Obie są okresowe z okresem \(T = 2\pi\), co oznacza, że \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) dla każdego \(x\).

Kluczowe różnice między nimi widać od razu na wykresie:

- \(y = \sin x\) przechodzi przez początek układu współrzędnych - \(\sin 0 = 0\), rośnie do 1 w \(x = \pi/2\), spada do -1 w \(x = 3\pi/2\).
- \(y = \cos x\) zaczyna od maksimum - \(\cos 0 = 1\), spada do -1 w \(x = \pi\), wraca do 1 w \(x = 2\pi\).
- Wykres cosinusa to wykres sinusa przesunięty o \(\pi/2\) w lewo: \(\cos x = \sin(x + \pi/2)\).

Obie funkcje są nieparzyste albo parzyste - \(\sin(-x) = -\sin x\) (funkcja nieparzysta, wykres symetryczny względem początku układu), \(\cos(-x) = \cos x\) (funkcja parzysta, wykres symetryczny względem osi OY). Jeśli ten podział jest dla Ciebie nowy, warto najpierw przypomnieć sobie [wartości funkcji trygonometrycznych w tabeli](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela), bo do rysowania wykresu potrzebujesz znać wartości w charakterystycznych punktach: 0, \(\pi/2\), \(\pi\), \(3\pi/2\), \(2\pi\).

## Jak przekształcenia zmieniają wykres funkcji trygonometrycznej

Ogólna postać przekształconej funkcji sinus wygląda tak:

$$f(x) = A \sin\big(\omega(x - x_0)\big) + B$$

Każdy z czterech parametrów odpowiada za inną zmianę wykresu:

- **Amplituda \(|A|\)** - rozciąga (gdy \(|A| > 1\)) albo ściska (gdy \(|A|  0\)) lub w lewo (jeśli \(x_0  0\)) lub w dół (jeśli \(B  0\)) i o 1 jednostkę w górę (bo \(B = 1\)). Amplituda i okres się nie zmieniają, bo \(A = 1\) i \(\omega = 1\).

**Krok 3: Sprawdź zbiór wartości**

Zbiór wartości to \([B - |A|, B + |A|] = [1 - 1, 1 + 1] = [0, 2]\).

**Krok 4: Zweryfikuj tożsamością trygonometryczną**

Warto znać wzór redukcyjny \(\sin(x - \pi/2) = -\cos x\), więc naszą funkcję można też zapisać jako \(y = -\cos x + 1\). To dobry sposób na sprawdzenie wyniku - oba zapisy muszą dawać ten sam wykres. Jeśli nie pamiętasz takich wzorów, zajrzyj do [tabeli wzorów redukcyjnych](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania).

### Przykład 3: Odczytaj wzór funkcji z opisu wykresu

Wiadomo, że funkcja ma postać \(f(x) = a\sin(bx)\), gdzie \(a > 0\) i \(b > 0\). Jej największa wartość wynosi 4, a okres funkcji jest równy \(\pi\). Wyznacz \(a\) i \(b\).

**Krok 1: Wyznacz \(a\) z największej wartości**

Największa wartość funkcji \(a\sin(bx)\) to \(a\) (bo sinus osiąga maksymalnie wartość 1). Skoro ta wartość wynosi 4, to \(a = 4\).

**Krok 2: Wyznacz \(b\) z okresu**

$$T = \frac{2\pi}{b} = \pi \implies b = \frac{2\pi}{\pi} = 2$$

**Krok 3: Zapisz wzór funkcji**

$$f(x) = 4\sin(2x)$$

Ten typ zadania - odczytywanie współczynników z opisanych własności wykresu zamiast samego rysowania - to dokładnie to, czego oczekuje [arkusz maturalny](/exams/cke-2015-2023-pp) w zadaniach otwartych z trygonometrii. Podobny mechanizm rachunkowy znajdziesz w [zadaniu 42 z bazy CKE](/task/cke-2015-2023-pp-42), gdzie też trzeba połączyć własności wykresu z konkretnym wzorem funkcji.

### Przykład 4: Dziedzina, zbiór wartości i monotoniczność funkcji \(y = 2\cos x - 3\)

**Krok 1: Ustal dziedzinę**

Funkcja cosinus jest określona dla każdej liczby rzeczywistej, więc \(D = \mathbb{R}\) - przesunięcia i mnożenie przez stałą tego nie zmieniają.

**Krok 2: Ustal zbiór wartości**

Skoro \(\cos x \in [-1, 1]\), to \(2\cos x \in [-2, 2]\), a po odjęciu 3: \(2\cos x - 3 \in [-5, -1]\).

**Krok 3: Ustal monotoniczność**

Podstawowy cosinus jest malejący na \([0, \pi]\) i rosnący na \([\pi, 2\pi]\) (w jednym okresie). Mnożenie przez dodatnią liczbę \(2\) i odjęcie stałej \(3\) nie zmienia kierunku monotoniczności (przesunięcie w pionie nie ma na to wpływu), więc funkcja \(y = 2\cos x - 3\) jest malejąca na \([0, \pi]\) i rosnąca na \([\pi, 2\pi]\), z tą samą okresowością co przesuwałaby monotoniczność, gdyby przy cosinusie stał współczynnik ujemny - wtedy kierunki by się odwróciły.

## Kiedy ten temat pojawia się na maturze

Dział [Trygonometria](/topics/trygonometria) w bazie zadań na Sprawnej Maturze to ponad 120 zadań, a przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych łączy się bezpośrednio z odczytywaniem monotoniczności, dziedziny i zbioru wartości - czyli tematami, które osobno pojawiają się przy [funkcjach w ogóle](/wlasnosci-funkcji-na-maturze-parzystosc-zlozenie-odwrotna), a przy trygonometrii dochodzi jeszcze okresowość. W zadaniach z [arkuszy CKE](/exams/cke-2015-2023-pp) ten temat najczęściej występuje jako zadanie otwarte: opis własności wykresu, z którego trzeba odtworzyć wzór funkcji, dokładnie jak w Przykładzie 3.

## Typowe błędy przy rysowaniu wykresów funkcji trygonometrycznych

- **Mylenie kierunku przesunięcia w poziomie.** We wzorze \(f(x) = A\sin(\omega(x - x_0))\) dodatnie \(x_0\) oznacza przesunięcie w prawo, nie w lewo - to najczęstsza pomyłka ze znakiem, bo intuicyjnie "minus" kojarzy się z przesunięciem w lewo.
- **Liczenie okresu bez wartości bezwzględnej.** Wzór to \(T = 2\pi / |\omega|\), więc nawet gdy \(\omega\) jest ujemne (np. \(\omega = -2\)), okres i tak wychodzi dodatni: \(T = 2\pi/2 = \pi\).
- **Zapominanie o odbiciu przy ujemnej amplitudzie.** Gdy \(A < 0\), wykres nie tylko się rozciąga czy ściska - odbija się symetrycznie względem osi OX. Funkcja \(y = -2\sin x\) w punkcie \(x = \pi/2\) ma wartość \(-2\), a nie \(2\).
- **Mieszanie przesunięcia w pionie ze zmianą amplitudy.** \(B\) w \(A\sin(\ldots) + B\) przesuwa całą "oś symetrii" wykresu, nie zmienia rozpiętości fali. Zbiór wartości liczysz jako \([B-|A|, B+|A|]\), a nie jako \([-|A|,|A|]\) z dodanym \(B\) tylko do jednej granicy.
- **Zakładanie, że okres zawsze wynosi \(2\pi\).** To prawda tylko dla \(\omega = 1\). Gdy w zadaniu pojawia się \(\sin(2x)\), \(\cos(3x)\) albo podobny zapis, okres trzeba przeliczyć ze wzoru \(T = 2\pi/|\omega|\).

## Podsumowanie - co musisz umieć

- narysować podstawowy wykres \(y = \sin x\) i \(y = \cos x\) z charakterystycznymi punktami w 0, \(\pi/2\), \(\pi\), \(3\pi/2\), \(2\pi\),
- rozpoznać w ogólnym wzorze \(f(x) = A\sin(\omega(x-x_0)) + B\), który parametr odpowiada za amplitudę, okres, przesunięcie w poziomie i w pionie,
- policzyć okres ze wzoru \(T = 2\pi/|\omega|\) i zbiór wartości ze wzoru \([B-|A|, B+|A|]\),
- odczytać wzór funkcji na podstawie opisanych własności wykresu (maksimum, okres, przesunięcie),
- ustalić dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność przekształconej funkcji trygonometrycznej.

Ten temat naturalnie łączy się z [rozwiązywaniem równań trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura) - w wielu zadaniach maturalnych najpierw czytasz własności wykresu, a potem szukasz konkretnych rozwiązań równania na tym wykresie. Jeśli potrzebujesz przypomnienia całego działu, zacznij od [przeglądu trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Najczęstsze pytania

### Czym różni się amplituda od okresu funkcji trygonometrycznej?
Amplituda \(|A|\) mówi, jak wysoko i nisko sięga wykres względem swojej osi symetrii - to "wysokość fali". Okres \(T = 2\pi/|\omega|\) mówi, po jakim odcinku na osi OX wykres zaczyna się dokładnie powtarzać - to "szerokość jednego pełnego wahnięcia". To dwie niezależne od siebie wielkości.

### Jak sprawdzić przesunięcie wykresu, jeśli wzór funkcji nie jest w standardowej postaci?
Doprowadź wzór do postaci \(A\sin(\omega(x-x_0)) + B\), wyciągając \(\omega\) przed nawias. Na przykład \(\sin(2x - \pi)\) zapisujesz jako \(\sin(2(x - \pi/2))\), więc przesunięcie w poziomie wynosi \(x_0 = \pi/2\), a nie \(\pi\) - to częsty błąd, gdy się tego kroku pominie.

### Czy wykres cosinusa to po prostu przesunięty wykres sinusa?
Tak, dokładnie: \(\cos x = \sin(x + \pi/2)\), czyli wykres cosinusa to wykres sinusa przesunięty o \(\pi/2\) w lewo. Dlatego wszystkie reguły przekształceń, które poznajesz dla sinusa, działają identycznie dla cosinusa.

### Jak zmienia się wykres, gdy amplituda jest ujemna?
Funkcja \(y = A\sin x\) z \(A < 0\) ma wykres odbity symetrycznie względem osi OX w porównaniu do \(y = |A|\sin x\). Tam, gdzie zwykły sinus rośnie, funkcja z ujemną amplitudą maleje, i odwrotnie.

### Czy na maturze podstawowej trzeba umieć zmieniać okres funkcji trygonometrycznej?
Zmiana okresu (czyli przypadek \(\omega \neq 1\), na przykład \(\sin(2x)\)) to głównie materiał z zakresu rozszerzonego. Na poziomie podstawowym częściej pojawiają się proste przesunięcia wykresu sinusa i cosinusa o wektor, bez zmiany częstotliwości fali.

### Jak odczytać wzór funkcji, gdy zadanie podaje tylko opis wykresu, a nie sam wykres?
Szukasz trzech informacji: wartości największej i najmniejszej (z nich liczysz amplitudę \(|A|\) i przesunięcie pionowe \(B\)), długości jednego pełnego okresu (z niej liczysz \(\omega\)) oraz punktu, w którym funkcja przyjmuje wartość środkową i rośnie (z niego liczysz przesunięcie poziome \(x_0\)). Te trzy kroki wystarczą w większości zadań maturalnych tego typu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)